1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第十章第十章 相似形相似形 思思 维维 导导 图图 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第3232课时课时 相似相似 首 页 末 页 思思 维维 导导 图图 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1相似图形相似图形 定定 义：义：具有相同形状的图形称为相似图形具有相同形状的图形称为相似图形 2比例线段比例线段 定定 义：对于四条线段义：对于四条线段 a，b，c，d，如果其中，如果其中 两条线段两条线段 的比等于另外的比等于另外 的比，如的比，如abcd(即即 adbc)，那么
2、这四条线段，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比叫做成比例线段，简称比例线段例线段，简称比例线段 两条线段两条线段 首 页 末 页 注注 意：意：(1)线段线段 a，b，c，d 成比例是有顺序的，它表示成比例是有顺序的，它表示abcd(或或 abcd)； (2)要统一线段的长度单位才能求它们的比要统一线段的长度单位才能求它们的比 黄金分割：黄金分割：在线段在线段 AB 上，点上，点 C 把线段把线段 AB 分成两条线段分成两条线段 AC 和和 BC(ACBC)，如，如 果果 ，那么称线段，那么称线段 AB 被点被点 C 黄金分割，点黄金分割，点 C 叫做线段叫做线段 AB 的黄金分的黄金分
3、割点，割点，AC 与与 AB 的比叫做黄金分割比，即的比叫做黄金分割比，即ACAB512 . 注注 意：意：一条线段的黄金分割点有一条线段的黄金分割点有 个个 0618 ACABBCAC 2 首 页 末 页 3比例线段的性质比例线段的性质 性性 质：质：(1)基本性质：如果基本性质：如果 abcd 或或abcd，那么，那么 ad ；特别地，；特别地，如果如果 abbc 或或abbc，那么，那么 b2 ； (2)合比性质：如果合比性质：如果abcd，那么，那么a bb ； (3)等比性质：如果等比性质：如果abcdmnk(bdn0)，那么，那么acmbdn . bc ac c dd k 首 页
4、末 页 4平行线分线段成比例平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组基本事实：两条直线被一组 所截，所得的对应线段成比例所截，所得的对应线段成比例 推推 论：论： 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的或两边的 )，所得的，所得的对应线段成比例对应线段成比例 平行线平行线 延长线延长线 首 页 末 页 5相似多边形相似多边形 定定 义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形么这两个多边形叫做相似多边形 注注 意：意：仅对应边成比例的两个多边形
5、不一定相似，如菱形；仅对应角相等的仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形；仅对应角相等的两个多边形也不一定相似，如矩形两个多边形也不一定相似，如矩形 相似比：相似比：相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做 注注 意：意：相似比为相似比为 的两个多边形全等的两个多边形全等 性性 质：质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形的对应角相等，对应边成比例 相似比相似比 1 首 页 末 页 6相似三角形相似三角形 定定 义：对应角义：对应角 ，对应边，对应边 的三角形叫做相似三角形的三角形叫做相似三角形 判判 定：定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线
6、和其他两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交，所构相交，所构成的三角形与原三角形相似；成的三角形与原三角形相似； (2)三边成比例的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似； (3)两边成比例且两边成比例且 相等的两个三角形相似；相等的两个三角形相似； (4)两角分别两角分别 的两个三角形相似；的两个三角形相似； 相等相等 成比例成比例 夹角夹角 相等相等 首 页 末 页 (5)如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似角三角形相似 规规 律：律： 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角
7、三角形与原三角形彼此相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形彼此相似 首 页 末 页 性性 质：质：(1)相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边，对应边 ； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； (3)相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于 ； (4)相似三角形面积的比等于相似三角形面积的比等于 注注 意：意：利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时，要注意利用相似三角形的性质得到对应角相等或对应线段成比例时，要注意对应关系对应关系 相等相等 成比例成比例 相似比
8、相似比 相似比相似比 相似比的平方相似比的平方 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12018 永州永州如图，在如图，在ABC 中，点中，点 D 是是 AB 边上的一点，边上的一点，ADCACB，AD2，BD6，则，则 AC 的长为的长为( ) A2 B.4 C6 D.8 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 AA，ADCACB， ADCACB.ACABADAC， 即即AC262AC. 解得解得 AC4.故选故选 B. 首 页 末 页 22019 常德常德如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形 ABC 中，中，ABAC，图中所有三角形均相似，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为其中
9、最小的三角形的面积为 1，ABC 的面积为的面积为 42，则四边形，则四边形 DBCE 的面积是的面积是( ) D A20 B.22 C24 D.26 首 页 末 页 【解析】【解析】 图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为 1，ABC 的面的面积为积为 42， 最小的三角形与最小的三角形与ABC 的相似比为的相似比为142.ADEABC， SADESABC DEBC2.DEBC4142442，SADESABC1642821， SADE8214216， S四边形四边形DBCESABCSADE26.故选故选 D. 首 页 末 页 32019
10、郴州郴州若若xyx32，则，则yx . 【解析】【解析】 xyx1yx32，yx32112. 12 首 页 末 页 42018 株洲株洲如图，如图，RtABM 和和 RtADN 的斜边分别为正方形的斜边分别为正方形 ABCD 的边的边 AB和和 AD，其中，其中 AMAN. (1)求证：求证：RtABMRtADN； (2)连接线段连接线段 MN 与线段与线段 AD 相交于点相交于点 T，若，若 AT14AD，求，求 tanABM 的值的值 首 页 末 页 (1)证明：证明：AMAN，ABAD， RtABMRtADN(HL) (2)解：解：由由(1)知知DANBAM， DANDAMBAMDAM9
11、0 . 又又DANNDA90 ， DAMNDA，即，即TAMTDN. 首 页 末 页 又又ATMDTN， AMTDNT. ATDTAMDNMTNT. AT14AD， ATDTAMDN13. 首 页 末 页 AMAN， ANDN13. tanABMtanADNANDN13. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 2019 淮安淮安如图，如图，l1l2l3，直线，直线 a，b 与与 l1，l2，l3分别相交于点分别相交于点 A，B，C 和点和点 D，E，F.若若 AB3，DE2，BC6，则，则 EF . 4 首 页 末 页 【解析】【解析】
12、 l1l2l3， ABBCDEEF. 又又AB3，DE2，BC6， 362EF，EF4. 首 页 末 页 12017 长春长春如图，直线如图，直线 abc，直线，直线 l1，l2与这三条平行线分别交于点与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点和点 D，E，F.若若 ABBC12，DE3，则，则 EF 的长为的长为 . 6 【解析】【解析】 abc， ABBCDEEF， 123EF.EF6. 首 页 末 页 22019 凉山凉山如图，在如图，在ABC 中，点中，点 D 在在 AC 边上，边上，ADDC12，O 是是 BD的中点，连接的中点，连接 AO 并延长交并延长交 BC 于点于点 E，则，
13、则 BEEC( ) A12 B.13 C14 D.23 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 D 作作 DFAE， 则则BEEFBOOD1，EFFCADDC12， BEEFFC112，BEEC13.故选故选 B. 首 页 末 页 类型之二类型之二 相似三角形的判定相似三角形的判定 2018 杭州杭州如图，在如图，在ABC 中，中，ABAC，AD 为为 BC 边上的中线，边上的中线，DEAB 于点于点 E. (1)求证：求证：BDECAD； (2)若若 AB13，BC10，求线段，求线段 DE 的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：ABAC， BC. AD 是是
14、BC 边上的中线，边上的中线， ADBC. 又又DEAB，DEBADC. BDECAD. 首 页 末 页 (2)解：解：BC10，BD12BC5. AD AB2BD2 1325212. BDECAD， BDCADEAD，即，即513DE12. DE6013. 首 页 末 页 32017 杭州杭州如图，在锐角如图，在锐角ABC 中，点中，点 D，E 分别在边分别在边 AC，AB 上，上，AGBC于点于点 G，AFDE 于点于点 F，EAFCAG. (1)求证：求证：ADEABC； (2)若若 AD3，AB5，求，求AFAG的值的值 首 页 末 页 (1)证明：证明：AGBC，AFDE， AFEA
15、GC90 . EAFCAG， AEDACB. 又又EADCAB， ADEABC. 首 页 末 页 (2)解：解：由由(1)可知可知ADEABC， ADABAEAC35. 由由(1)易知易知EAFCAG， AFAGAEAC， AFAG35. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 判定两个三角形相似的常规思路：判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等；先找两对对应角相等；(2)若只能若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角若找不到角相等，就判断三边是否成比例另外，可考虑相似三角形的相等，就判
16、断三边是否成比例另外，可考虑相似三角形的“传递性传递性” 首 页 末 页 类型之三类型之三 相似三角形的性质相似三角形的性质 2019 原创原创已知已知ABCDEF，相似比为，相似比为 21，且，且ABC 的面积为的面积为 16，则则DEF 的面积为的面积为( ) A32 B.8 C4 D.16 C 首 页 末 页 42019 重庆重庆 B 卷卷下列命题是真命题的是下列命题是真命题的是( ) A如果两个三角形相似，相似比为如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的周长比为，那么这两个三角形的周长比为 23 B如果两个三角形相似，相似比为如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个
17、三角形的周长比为，那么这两个三角形的周长比为 49 C如果两个三角形相似，相似比为如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的面积比为，那么这两个三角形的面积比为 23 D如果两个三角形相似，相似比为如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的面积比为，那么这两个三角形的面积比为 49 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方，即如果两个三角形相似，相似比为是相似比的平方，即如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的，那么这两个
18、三角形的周长比为周长比为 49；面积比是相似比的平方，即；面积比是相似比的平方，即 1681.故选故选 B. 首 页 末 页 类型之四类型之四 相似三角形与圆相似三角形与圆 2019 黄冈黄冈如图，在如图，在 RtABC 中，中，ACB90 ，以，以 AC 为直径的为直径的O 交交AB 于点于点 D，过点，过点 D 作作O 的切线交的切线交 BC 于点于点 E，连接，连接 OE. 求证：求证：(1)DBE 是等腰三角形；是等腰三角形； (2)COECAB. 首 页 末 页 证明：证明：(1)如答图，连接如答图，连接 OD. DE 是是O 的切线，的切线，ODE90 . ADOBDE90 . 又
19、又ACB90 ，AB90 . OAOD，AADO， BDEB. EBED. DBE 是等腰三角形是等腰三角形 首 页 末 页 (2)ACB90 ，AC 是是O 的直径，的直径， CB 是是O 的切线的切线 又又DE 是是O 的切线，的切线， DEEC. DEEB， ECEB. OAOC， OEAB， COECAB. 首 页 末 页 52019 娄底娄底如图，点如图，点 D 在以在以 AB 为直径的为直径的O 上，上，AD 平分平分BAC，DCAC，过点过点 B 作作O 的切线交的切线交 AD 的延长线于点的延长线于点 E. (1)求证：直线求证：直线 CD 是是O 的切线；的切线； (2)求证
20、：求证：CD BEAD DE. 首 页 末 页 证明：证明：(1)如答图，连接如答图，连接 OD. 在在O 中，有中，有 OAOD， OADODA. 又又AD 平分平分BAC， OADCAD， ODACAD. 首 页 末 页 ODAC. 又又DCAC， ODCD. 直线直线 CD 是是O 的切线的切线 首 页 末 页 (2)如答图，连接如答图，连接 BD. AB 为为O 的直径，的直径， ADBBDE90 . 又又DCAC， CBDE. 首 页 末 页 BE 为为O 的切线，的切线，DCAC，AD 平分平分BAC， CADDBE， ACDBDE， CDADDEBE. CD BEAD DE. 首
21、 页 末 页 类型之五类型之五 相似三角形对应高的比的应用相似三角形对应高的比的应用 2018 永州改编永州改编如图如图，在，在ABC 中，矩形中，矩形 EFGH 的一边的一边 EF 在在 AB 上，上，顶点顶点 G，H 分别在分别在 BC，AC 上，上，CD 是是 AB 边上的高，边上的高，CD 交交 GH 于点于点 I.若若 CI4，HI3，AD92，矩形，矩形 DFGI 恰好为正方形恰好为正方形 首 页 末 页 (1)求正方形求正方形 DFGI 的边长；的边长； (2)如图如图， 延长， 延长 AB 至点至点 P， 使得， 使得 ACCP， 将， 将矩形矩形 EFGH 沿沿 BP 的方向
22、向右平移，的方向向右平移，当点当点 G 刚好落在刚好落在 CP 上时，试判断移动后的矩形与上时，试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？形还是四边形，为什么？ 首 页 末 页 解：解：(1)HIAD，HIADCICD， 即即3924CD.CD6. IDCDCI2. 正方形正方形 DFGI 的边长为的边长为 2. 首 页 末 页 (2)如答图，设点如答图，设点 G 落在落在 PC 时的对应点为时的对应点为 G，点，点 F 的对应点为的对应点为 F. 例例 5 答图答图 CACP，CDPA， ACDPCD，AP. HGPA，CHGA，CGHP. C
23、HGCGH.CHCG. IGDFIH3. 首 页 末 页 IGDB，GIBDCICD， 即即2DB46.DB3. DFDB. 点点 B 与点与点 F重合，重合， 移动后的矩形与移动后的矩形与CBP 重叠部分是重叠部分是BGG. 移动后的矩形与移动后的矩形与CBP 重叠部分的形状是三角形重叠部分的形状是三角形 首 页 末 页 6如图如图，有一块三角形余料，有一块三角形余料 ABC，它的边，它的边 BC120 mm，高，高 AD80 mm.要把要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在 AB，AC上问加工成的正方
24、形零件的边长为多少毫米？上问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？ 首 页 末 页 小颖解得此题的答案为小颖解得此题的答案为 48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：小颖善于反思，她又提出了如下的问题： (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图组成，如图所示，则这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？所示，则这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图所示，这样，此矩形零件的所示，这样，此矩
25、形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形零件的面积有最大值，求达到这个最大值时，两条边长就不能确定，但这个矩形零件的面积有最大值，求达到这个最大值时，矩形零件的两条边长矩形零件的两条边长 首 页 末 页 解：解：(1)四边形四边形 PNMQ 是矩形，是矩形， PNQM.APNABC. PNBCAEAD. 设设 PQEDx mm，则，则 PN2x mm，AE(80 x)mm. 2x12080 x80.解得解得 x2407.2x4807. 这个矩形零件的两条边长分别是这个矩形零件的两条边长分别是2407 mm 和和4807 mm. 首 页 末 页 (2)四边形四边形 PNMQ 是矩形，是矩形， PN
26、QM.APNABC. PNBCAEAD. 设设 PQEDx mm，则，则 AE(80 x)mm. PN12080 x80，即，即 PN80 x80 1203 80 x 2. 首 页 末 页 S矩形矩形PNMQPN PQ3 80 x 2 x32x2120 x32(x40)22 400， 当当 x40 时，时，S矩形矩形PNMQ取得最大值取得最大值 2 400 mm2. 此时此时 PQ40 mm，PN3 8040 260(mm) 这个矩形零件的面积达到最大值时，矩形零件的两条边长分别为这个矩形零件的面积达到最大值时，矩形零件的两条边长分别为 40 mm 和和 60 mm. 首 页 末 页 课课 时
27、时 作作 业业 (70 分分) 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 30 分分) 12019 重庆重庆 A 卷卷如图，如图，ABOCDO，若，若 BO6，DO3，CD2，则，则 AB的长是的长是( ) C A2 B.3 C4 D.5 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABOCDO，ABCDBODO.BO6，DO3，CD2，AB263.AB4.故选故选 C. 首 页 末 页 22019 雅安雅安如图，每个小正方形的边长均为如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形，则下列图形中的三角形(阴影部阴影部分分)与与A1B1C1相似的是相似的是 ( ) B 首 页 末 页 【解
28、析】【解析】 A1B1C1的各边分别为的各边分别为 1， 2， 5. A 中三边分别为中三边分别为 2， 5，3，三边不能与，三边不能与A1B1C1各边对应成比例，故两三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；不相似； B 中三边分别为中三边分别为 2，2， 10，三边与，三边与A1B1C1的各边对应成比例，故两三角形相的各边对应成比例，故两三角形相似；似； C 中三边分别为中三边分别为 1， 5，2 2，三边不能与，三边不能与A1B1C1各边对应成比例，故两三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；不相似； D 中三边分别为中三边分别为 2， 5， 13，三边不能与，三边不能与A1B1C1各边对
29、应各边对应成比例，故两三角形成比例，故两三角形不相似故选不相似故选 B. 首 页 末 页 32019 杭州杭州如图，在如图，在ABC 中，点中，点 D，E 分别在分别在 AB 和和 AC 边上，边上，DEBC，M为为 BC 边上一点边上一点(不与点不与点 B，C 重合重合)连接连接 AM 交交 DE 于点于点 N，则，则( C ) A.ADANANAE B.BDMNMNCE C.DNBMNEMC D.DNMCNEBM 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据根据 DEBC，可得，可得ADNABM 与与ANEAMC，再应用相似，再应用相似三角形的性质可得结论三角形的性质可得结论 DNBM，ADNA
30、BM，DNBMANAM. NEMC，ANEAMC，NEMCANAM， DNBMNEMC.故选故选 C. 首 页 末 页 42019 淄博淄博如图，在如图，在ABC 中，中，AC2，BC4，D 为为 BC 边上的一点，且边上的一点，且CADB.若若ADC 的面积为的面积为 a，则，则ABD 的面积为的面积为( ) C A2a B.52a C3a D.72a 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在BAC 和和ADC 中中， C 是公共角是公共角，CADB， BACADC.AC2，BC4， BCAC2， SABCSDAC BCAC24. 首 页 末 页 又又ADC 的面积为的面积为 a， ABC 的
31、面积为的面积为 4a， ABD 的面积为的面积为 3a.故选故选 C. 首 页 末 页 52019 安徽安徽如图，在如图，在 RtABC 中，中，ACB90 ，AC6，BC12.点点 D 在边在边BC 上，点上，点 E 在线段在线段 AD 上，上，EFAC 于点于点 F，EGEF 交交 AB 于点于点 G，若，若 EFEG，则，则 CD 的长为的长为( ) A3.6 B.4 C4.8 D.5 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 D 作作 DHCA 交交 AB 于点于点 H. EFAC，ACB90 ， CDEF. EGEF， EGAC，EGDH， EFDCAEADEG
32、DH. 首 页 末 页 又又EFEG，CDDH. 设设 CDDHx，则，则 BD12x. 由由 DHCA，得，得DHCABDBC， 即即x612x12， 解得解得 x4，故，故 CD4.故选故选 B. 首 页 末 页 62019 巴中巴中如图，在如图，在 ABCD 中，中，F 为为 BC 的中点，延长的中点，延长 AD 至点至点 E，使，使 DEAD13，连接，连接 EF 交交 DC 于点于点 G，则，则 SDEGSCFG( ) D A23 B.32 C94 D.49 首 页 末 页 【解析】【解析】 DEAD13，F 为为 BC 的中点，的中点， DECF23. 在在 ABCD 中，中，DE
33、CF， DEGCFG，相似比为，相似比为 23， SDEGSCFG49.故选故选 D. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题 4 分，共分，共 20 分分) 72018 成都成都已知已知a6b5c4，且，且 ab2c6，则，则 a 的值为的值为 . 12 【解析】【解析】 设设a6b5c4k， 则则 a6k，b5k，c4k. ab2c6，6k5k8k6. 解得解得 k2.a6k12. 首 页 末 页 82018 北京北京如图，在矩形如图，在矩形 ABCD 中，中，E 是边是边 AB 的中点，连接的中点，连接 DE，交对角线，交对角线 AC 于点于点 F.若若 AB4，AD3，则，则
34、CF . 103 首 页 末 页 【解析】【解析】 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形， DCAB4，ABCD，ADC90 . 在在 RtADC 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 AC 32425. E 是边是边 AB 的中点，的中点， AE12AB2. 首 页 末 页 ABCD， CDFAEF. CFAFCDAE，即，即CF5CF42. 解得解得 CF103. 首 页 末 页 92017 潍坊潍坊如图，在如图，在ABC 中，中，ABAC，D，E 分别为边分别为边 AB，AC 上的点，上的点， AC3AD，AB3AE，点，点 F 为为 BC 边上一点，添加一个条件：边上一点，添加一个条
35、件： _, 可以使得可以使得FDB 与与ADE 相似相似(只需写出一个即可只需写出一个即可) ABDF或或A BFD 或或ADEBFD 或或ADEBDF 或或 DFAC 或或BDEABFED或或BDEDBFEA 首 页 末 页 【解析】【解析】 AC3AD，AB3AE，ADACAEAB13.又又AA，ADEACB.AEDB.故要使故要使FDB 与与ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可或夹角的两边成比例即可 首 页 末 页 102019 包头包头如图，如图，BD 是是O 的直径，的直径，A 是是O 外一点，点外一点，点 C 在在O 上，上
36、，AC与与O 相切于点相切于点 C，CAB90 ，若，若 BD6，AB4，ABCCBD，则弦，则弦 BC的长为的长为 . 2 6 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 CD. BD 是直径，是直径，DCB90 CAB， 又又ABCCBD， RtDCBRtCAB， BCBABDBC， BC2AB BD24，BC2 6. 首 页 末 页 112019 荆州荆州如图，如图，AB 为为O 的直径，的直径，C 为为O 上一点，过上一点，过 B 点的切线交点的切线交 AC的延长线于点的延长线于点 D，E 为弦为弦 AC 的中点，的中点，AD10，BD6，若点，若点 P 为直径为直径
37、AB 上的上的一个动点，连接一个动点，连接 EP，当，当AEP 是直角三角形时，是直角三角形时，AP 的长为的长为 . 4或或256 首 页 末 页 【解析】【解析】 过过 B 点的切线点的切线交交 AC 的延长线于点的延长线于点 D， ABBD， AB AD2BD2 102628， 当当AEP90 时，时，AEEC， EP 经过圆心经过圆心 O， APAO4. 首 页 末 页 此时此时 A 为公共角，为公共角，AEOABD90 ， AEOABD， AEABAOAD，得，得 AE3.2. 当当APE90 时，则时，则 EPBD， APABAEAD. AP2.56. 综上，综上，AP 的长为的长
38、为 4 或或 2.56. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共 20 分分) 12(10 分分)2019 自贡改编自贡改编如图，在如图，在 RtABC 中，中，ACB90 ，AB10，BC6，CDAB，ABC 的平分线的平分线 BD 交交 AC 于点于点 E，求，求 DE. 解：解：BD 平分平分ABC， ABDCBD. ABCD， DABD， 首 页 末 页 CBDD， CDBC6. 在在 RtABC 中，中， AC AB2BC2 102628. ABCD， ABECDE， 首 页 末 页 CEAEDEBECDAB61035， CE35AE，DE35BE. 即即 CE38AC3883.
39、 在在 RtBCE 中，中， BE BC2CE2 62323 5. DE35BE353 59 55. 首 页 末 页 13(10 分分)2019 达州达州如图，在如图，在 RtABC 中，中，ACB90 ，AC2，BC3. (1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹尺规作图：不写作法，保留作图痕迹作作ACB 的平分线，交斜边的平分线，交斜边 AB 于点于点D； 过点过点 D 作作 BC 的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点 E； (2)在在(1)作出的图形中，求作出的图形中，求 DE 的长的长 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图 (2)DEBC，ACB90 ， DEAC， ACDCDE. CD
40、 平分平分ACB， ACDDCE， 首 页 末 页 DCECDE， EDEC. DEAC， BEDBCA， DEACBEBC. 首 页 末 页 设设 EDECx，则，则 BE3x， x23x3. 解得解得 x65. DE 的长为的长为65. 首 页 末 页 (20 分分) 14(10 分分)2018 雅安雅安如图，四如图，四边形边形 ABCD 和四边形和四边形 ACED 都是平行四边形，点都是平行四边形，点R 为为 DE 的中点，的中点，BR 分别交分别交 AC，CD 于点于点 P，Q. (1)求证：求证：ABCDCE； (2)求求PQPR的值的值 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边
41、形 ABCD 和四边形和四边形 ACED 都是平行四边形，都是平行四边形， ABDC，BCADCE，ACDE， ABCDCE(SSS) (2)解：解：在在BRE 中，中，C 为为 BE 的中点，且的中点，且 CPRE， CP 为为BER 的中位线的中位线 CPRE12. 首 页 末 页 R 为为 DE 的中点，的中点， REDR.CPDR12. 又又CPDR， CPQDRQ. PQRQCPDR12. PQPR13. 首 页 末 页 15(10 分分)2019 菏泽菏泽如图，如图，BC 是是O 的直径，的直径，CE 是是O 的弦，过点的弦，过点 E 作作O的切线，交的切线，交 CB 的延长线于点
42、的延长线于点 G，过点，过点 B 作作 BFGE 于点于点 F，交，交 CE 的延长线于的延长线于点点 A. (1)求证：求证：ABG2C； (2)若若 GF3 3，GB6，求，求O 的半径的半径 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 OE. EG 是是O 的切线，的切线， OEEG. BFGE， OEAB， ABGEOB. 又又EOB2C， ABG2C. 首 页 末 页 (2)解：解：BFGE，BFG90 . GF3 3，GB6，BF BG2GF23. BFOE，BGFOGE， BFOEBGOG，3OE66OE， OE6，O 的半径为的半径为 6. 首 页 末 页 (1
43、0 分分) 16(10 分分)2019 凉山凉山如图，如图，ABDBCD90 ，DB 平分平分ADC，过点，过点 B 作作BMCD 交交 AD 于点于点 M，连接，连接 CM 交交 DB 于点于点 N. (1)求证：求证：BD2AD CD； (2)若若 CD6，AD8，求，求 MN 的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：BD 平分平分ADC，ADBBDC. ABDBCD90 ，DABDBC， BDCDADBD，BD2AD CD. (2)解：解：由由(1)可知，可知，BD2AD CD. CD6，AD8，BD4 3. 又又 AD8， AB AD2BD2 82 4 324， 首 页 末 页 AB12AD， ADB30 ，BDCADB30 . 又又ABDBCD90 ， ADBC60 . BMCD， MBDBDC30 ，ABMABDMBD60 ， ABM 是等边三角形，故是等边三角形，故 BMAB4. 首 页 末 页 ABDBCD，ABBCDBDC， BCAB CDDB464 32 3. BMCD，CBM180 BCD90 ， CM BM2CB242 2 322 7. BMCD，BMNDCN， 首 页 末 页 MNCNMBCD4623， CN1.5MN，又，又 CNMNCM2 7， MN4 75. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！