1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第八章第八章 四边形四边形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2828课时课时 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1矩形矩形 定定 义：有一个角是义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形的平行四边形叫做矩形 性性 质：质：(1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是 ； (2)矩形的对角线矩形的对角线 注注 意：意：(1)矩形的定义可作为性质；矩形的定义可作为性质； (2)矩形具备平行四边形的所有性质矩形具备平行四边形的所有性质 直角直角
2、直角直角 相等且互相平分相等且互相平分 首 页 末 页 判判 定：定：(1)有三个角是直角的四边形是有三个角是直角的四边形是 ； (2)对角线相等的平行四边形是对角线相等的平行四边形是 注注 意：意：矩形的定义可作为判定矩形的定义可作为判定 证明方法：证明方法：(1)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角；先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角； (2)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等 矩形矩形 矩形矩形 首 页 末 页 2菱形菱形 定定 义：有一组邻边义：有一组邻边 的平行四边形是菱形的平行四边形
3、是菱形 性性 质：质：(1)菱形的四条边菱形的四条边 ； (2)菱形的对角线菱形的对角线 ，并且每一条对角线，并且每一条对角线 注注 意：意：(1)菱形的定义可作为性质；菱形的定义可作为性质； (2)菱形具备平行四边形的所有性质；菱形具备平行四边形的所有性质； (3)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 条对称轴条对称轴 相等相等 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 平分一组对角平分一组对角 两两 首 页 末 页 判判 定：定：(1)四条边都相等的四边形是四条边都相等的四边形是 ； (2)对角线互相垂直的平行四边形是对角线互相垂直的平行四边形是 注注
4、 意：意：(1)菱形的定义可作为判定；菱形的定义可作为判定； (2)对角线平分一组对角的平行四边形是菱形对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 菱形菱形 菱形菱形 首 页 末 页 证明方法：证明方法：(1)先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或者对先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或者对角线互相垂直；角线互相垂直； (2)可以证明一个四边形的四条边相等可以证明一个四边形的四条边相等 面面 积：积：(1)可用平行四边形的面积计算公式，即底可用平行四边形的面积计算公式，即底高；高； (2)两条对角线乘积的一半若菱形的两条对角线长为两条对角线乘积的一半若菱形的两条对角
5、线长为a和和b，则，则S菱形菱形 . 12ab 首 页 末 页 3正方形正方形 定定 义：四边义：四边 且四个角都是且四个角都是 的四边形叫做正方形的四边形叫做正方形 注注 意：意：(1)正方形既是有一组邻边相等的正方形既是有一组邻边相等的 ，又是有一个角是直角的，又是有一个角是直角的 ； (2)正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形正方形、矩形、菱正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如下：形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如下： 相等相等 直角直角 矩形矩形 菱形菱形 首 页 末 页 性性 质：质：(1)正方
6、形的四条边都正方形的四条边都 ，四个角都是，四个角都是 ； (2)正方形的对角线正方形的对角线 ，并且互相，并且互相 ，每一条对角线，每一条对角线 注注 意：意：(1)平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备；平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备； (2)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴，对称中心是对角正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴，对称中心是对角线的交点线的交点 相等相等 直角直角 相等相等 垂直平分垂直平分 平分一组对角平分一组对角 首 页 末 页 判判 定：定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)
7、有一个角是直角的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形； (3)四条边都相等，且四个角都相等的四边形是正方形；四条边都相等，且四个角都相等的四边形是正方形； (4)对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形； (5)对角线相等的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形； (6)对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形 首 页 末 页 注注 意：意：正方形的定义可作为判定正方形的定义可作为判定 证明方法：证明方法：判定一个四边形是正方形，可以先判定它是一个平行四边形，再判定判定一个四边形是正方形，可以先判定它是一个平行四边形，再判定它
8、是矩形或是菱形，然后再证明它是正方形它是矩形或是菱形，然后再证明它是正方形 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 株洲株洲对于任意的矩形，下列说法一定正确的是对于任意的矩形，下列说法一定正确的是( ) A对角线垂直且相等对角线垂直且相等 B四边都互相垂直四边都互相垂直 C四个角都相等四个角都相等 D是轴对称图形，但不是中心对称图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直选项根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直选项A是错误是错误的；的； 矩形相邻的两边互相垂直，对边互相平行选项矩形相邻的两边
9、互相垂直，对边互相平行选项B是错误的；是错误的； 矩形的四个角都是直角所以相等；选项矩形的四个角都是直角所以相等；选项C是正确的；是正确的； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形选项矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形选项D是错误的故选是错误的故选C. 首 页 末 页 22019 娄底娄底顺次连接菱形四边中点得到的四边形是顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( ) A平行四边形平行四边形 B.菱形菱形 C矩形矩形 D.正方形正方形 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图在菱形如答图在菱形ABCD中，中，E，F，G，H分别是边分别是边AB，BC，CD，DA的中点，的中点， 第第2题答图题答图
10、 首 页 末 页 EHFGBD，EHFG12BD. EFHGAC，EFHG12AC， 故四边形故四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 又又ACBD， EHEF，HEF90 . 四边形四边形EFGH是矩形故选是矩形故选C. 首 页 末 页 32019 怀化怀化如图，在如图，在 ABCD中，中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足分别为垂足 求证：求证：(1)ABECDF； (2)四边形四边形AECF是矩形是矩形 首 页 末 页 证明：证明：(1)四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， ABCD，BD. AEBC，CFAD， AEBCFD90 . ABECDF(AAS) 首 页 末 页
11、 (2)ABECDF， BEDF. 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， ADBC，ADBC. AFCE，AFCE. 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 AEBC， AEC90 . 四边形四边形AECF是矩形是矩形 首 页 末 页 42019 娄底娄底如图，点如图，点E，F，G，H分别在矩形分别在矩形ABCD的边的边AB，BC，CD，DA(不包括端点不包括端点)上运动，且满足上运动，且满足AECG，AHCF. (1)求证：求证：AEHCGF； (2)试判断四边形试判断四边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边形ABCD
12、为矩形，为矩形， AC90 . 又又AECG，AHCF， AEHCGF(SAS) (2)解：解：四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 理由：由理由：由(1)中中AEHCGF，可得，可得HEFG. 首 页 末 页 在矩形在矩形ABCD中，中，BD90 ，ABCD，BCAD， 且有且有AECG，AHCF， HDFB，BEDG. BEFDGH(SAS) EFGH. 四边形四边形EFGH为平行四边形为平行四边形 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 矩形的判定矩形的判定 2019 原创原创如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点E，点，点G
13、为为AD的的中点，连接中点，连接CG，CG的延长线交的延长线交BA的延长线于点的延长线于点F，连接，连接FD. (1)求证：求证：ABAF； (2)若若AGAB，BCD120 ，试判断四边形，试判断四边形 ACDF的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， AFCD，ABCD. FAGCDG. G为为AD的中点，的中点， AGDG. 首 页 末 页 在在AGF与与DGC中，中， FAGCDG，AGDG，AGFDGC， AGFDGC(ASA) AFDC. ABAF. 首 页 末 页 (2)解：解：四边形四边形A
14、CDF为矩形为矩形 证明：证明：BCD120 ， BAD120 . FAG180 BAD60 . 又又AGAB，ABAF， AGAF. AGF为等边三角形为等边三角形 首 页 末 页 AGFG. AFCD，AFCD， 四边形四边形ACDF为平行四边形为平行四边形 AD2AG，CF2FG. ADCF. 四边形四边形ACDF为矩形为矩形 【点悟】【点悟】 证明一个四边形是矩形，常用的方法有：证明一个四边形是矩形，常用的方法有：(1)有三个角是直角的四边有三个角是直角的四边形；形；(2)有一个角是直角的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形；(3)对角线相等的平行四边形等对角线相等的平行四边形等 首
15、 页 末 页 12019 新疆新疆如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，E是是CD中中点，连接点，连接OE.过点过点C作作CFBD交交OE的延长线于点的延长线于点F，连接，连接DF. 求证：求证：(1)ODEFCE； (2)四边形四边形OCFD是矩形是矩形 首 页 末 页 证明：证明：(1)CFBD， ODEFCE. E是是CD中点，中点， ECED. CEFDEO， ODEFCE(ASA) 首 页 末 页 (2)ODEFCE， OEFE. DEEC， 四边形四边形OCFD是平行四边形是平行四边形 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， BDAC. D
16、OC90 . 四边形四边形OCFD是矩形是矩形 首 页 末 页 类型之二类型之二 矩形的性质矩形的性质 2018 张家界张家界如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E在在BC上，上，AEAD，DFAE，垂足为垂足为F. (1)求证：求证：DFAB； (2)若若FDC30 ，且，且AB4，求，求AD的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，在矩形如答图，在矩形ABCD中，中，ADBC， 12. 又又DFAE，DFA90 . DFAB. 又又ADEA，ADFEAB(AAS) DFAB. 首 页 末 页 (2)解：解：1390 ，FDC390 ， 1FDC30 .AD2DF. 又又D
17、FAB4， AD248. 首 页 末 页 22017 荆州荆州如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，连接对角线中，连接对角线AC，BD，将，将ABC沿沿BC方向方向平移，使点平移，使点B移到点移到点C，得到，得到DCE. (1)求证：求证：ACDEDC； (2)请探究请探究BDE的形状，并说明理由的形状，并说明理由 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， ABDC，ADBC. 由平移的性质，可得由平移的性质，可得DEAC，CEBC， ADEC. 在在ACD和和EDC中，中， ADEC，ACED，CDDC， ACDEDC(SSS) 首 页 末 页 (2)解：解：BD
18、E是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下： 在矩形在矩形ABCD中，中，ACBD， 由平移可得由平移可得DEAC， BDDE， BDE是等腰三角形是等腰三角形 首 页 末 页 类型之三类型之三 菱形的判定菱形的判定 2019 贺州贺州如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E，F分别是边分别是边BC，AD上的点，且上的点，且AECF. (1)求证：求证：ABECDF； (2)当当ACEF时，四边形时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由是菱形吗？请说明理由 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， BD90 ，ABCD. 在在RtABE和和RtCDF中，中， A
19、BCD，AECF， RtABERtCDF(HL) 首 页 末 页 (2)解：解：当当ACEF时，四边形时，四边形AECF是菱形，理由如下：是菱形，理由如下： 矩形矩形ABCD中，中，ADBC，ADBC， 由由(1)知知RtABERtCDF， BEDF， BCAD， CEAF， CEAF， 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 又又ACEF， 四边形四边形AECF是菱形是菱形 首 页 末 页 32018 日照日照如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，AOCO，BODO.添加下列条件，不能判定四边形添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的
20、是是菱形的是( ) B AABAD BACBD CACBD DABOCBO 首 页 末 页 42018 北京北京如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABDC，ABAD，对角线，对角线AC，BD交交于点于点O，AC平分平分BAD，过点，过点C作作CEAB，交，交AB的延长线于点的延长线于点E，连接，连接OE. (1)求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形；是菱形； (2)若若AB 5，BD2，求，求OE的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：AC平分平分BAD， DACBAC. ABDC， DCABAC. DACDCA. DADC. 又又ABAD， 首 页 末 页 ABDC. 又又A
21、BDC， 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 又又ABAD， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 首 页 末 页 (2)解：解：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， OAOC，OBOD12BD1，ACBD. 在在RtABO中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 OA AB2OB2 5 2122. AC2OA4. CEAB，在，在RtACE中，中， OE12AC2. 首 页 末 页 类型之四类型之四 菱形的性质菱形的性质 2019 原创原创如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，对角线是菱形，对角线AC，BD相交于点相交于点O，且，且AB2. (1)求菱形求菱形ABCD的周长；的周长； (
22、2)若若AC2，求，求BD的长的长 首 页 末 页 解：解：(1)四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ABBCCDDA2. 菱形菱形ABCD的周长为的周长为8. (2)四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， OAOC12AC1，OBOD，且，且AOB90 . 首 页 末 页 在在RtAOB中，中， OB AB2OA2 2212 3， BD2OB2 3. 【点悟】【点悟】 菱形的四条边都相等，有一个角是菱形的四条边都相等，有一个角是60 的菱形可以被其中一条对角线的菱形可以被其中一条对角线分成两个等边三角形分成两个等边三角形 首 页 末 页 52019 湖州湖州如图，已知在如图，已知在ABC中，
23、中，D，E，F分别是分别是AB，BC，AC的中点，的中点，连接连接DF，EF，BF. (1)求证：四边形求证：四边形BEFD是平行四边形；是平行四边形； (2)若若AFB90 ，AB6，求四边形，求四边形BEFD的周长的周长 首 页 末 页 (1)证明：证明：D，E，F分别是分别是AB，BC，AC的中点，的中点， EFAB，DFBC. 四边形四边形BEFD是平行四边形是平行四边形 (2)解：解：AFB90 ，AB6，D点是点是AB的中点，的中点， DFDB12AB3. 平行四边形平行四边形BEFD是菱形是菱形 BEEFDFBD3. C四边形四边形BEFD4DF12. 首 页 末 页 类型之五类
24、型之五 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 2019 长沙长沙如图，正方形如图，正方形ABCD，点，点E，F分别在边分别在边AD，CD上，且上，且DECF，AF与与BE相交于点相交于点G. (1)求证：求证：BEAF； (2)若若AB4，DE1，求，求AG的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， BAEADF90 ，ABADCD. DECF，AEDF. 在在BAE和和ADF中，中， BAAD，BAEADF，AEDF， BAEADF(SAS)， BEAF. 首 页 末 页 (2)解：解：由由(1)得：得：BAEADF， EBAFAD， EBAAEG9
25、0 ， FADAEG90 ，AGE90 . AB4，DE1， 首 页 末 页 AE3，BE AB2AE25. 在在RtABE中，中， 12AB AE12BE AG， AG345125. 首 页 末 页 62019 凉山凉山如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O，E是是OC上一上一点，连接点，连接EB.过点过点A作作AMBE，垂足为，垂足为M，AM与与BD相交于点相交于点F.求证：求证：OEOF. 证明：证明：在正方形在正方形ABCD中中 ACBD，AMBE， AOFBOEAME90 ， FAOAEBEBOAEB90 ， FAOEBO. 首 页 末 页 AC
26、BD，OA12AC，OB12BD， OAOB， AOFBOE(ASA)， OEOF. 首 页 末 页 72018 白银白银如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E是是AD边上一个动点，点边上一个动点，点F，G，H分别分别是是BC，BE，CE的中点的中点 (1)求证：求证：BGFFHC； (2)设设ADa，当四边形，当四边形EGFH是正方形时，求矩形是正方形时，求矩形ABCD的面积的面积 首 页 末 页 (1)证明：证明：点点F是是BC边上的中点，边上的中点， BFFC. 点点F，G，H分别是分别是BC，BE，CE的中点，的中点， GF，FH是是BEC的中的中位线位线 GFHC，FHBG. 在
27、在BGF和和FHC中，中， BFFC，BGFH，FGCH， BGFFHC(SSS) 首 页 末 页 (2)解：解：当四边形当四边形EGFH是正方形时，是正方形时， BEC90 ，FGGEEHHF. GF，FH是是BEC的中位线，的中位线， BECE. BEC是等腰直角三角形是等腰直角三角形 首 页 末 页 如答图，连接如答图，连接EF. EFBC，EF12BC12AD12a. S矩形矩形ABCDBC EFa12a12a2. 【点悟】【点悟】 正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明三角形全正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明三角形全等的有力工具等的有力工具 首 页
28、末 页 类型之六类型之六 平行四边形的折叠问题平行四边形的折叠问题 2019 滨州滨州如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E在边在边CD上，将上，将BCE沿沿BE折叠，折叠，使点使点C落在落在AD边上的点边上的点F处，过点处，过点F作作FGCD交交BE于点于点G，连接，连接CG. (1)求证：四边形求证：四边形CEFG是菱形；是菱形； (2)若若AB6，AD10，求四边形，求四边形CEFG的面积的面积 首 页 末 页 (1)证明：证明：由题意可得由题意可得BCEBFE， BECBEF，FECE. FGCE， FGECEB，FGEFEG， FGFE，FGEC. 四边形四边形CEFG是平行
29、四边形是平行四边形 又又CEFE， 四边形四边形CEFG是菱形是菱形 首 页 末 页 (2)解：解：在矩形在矩形ABCD中，中，AB6，AD10，BCBF， BAF90 ，ADBCBF10， AF8，DF2. 设设EFx，则，则CEx，DE6x. D90 ， 22(6x)2x2， 解得解得x103，CE103， S四边形四边形CEFGCE DF1032203. 首 页 末 页 82017 衢州衢州如图，在矩形纸片如图，在矩形纸片ABCD中，中，AB4，BC6，将，将ABC沿沿AC折折叠，使点叠，使点B落在点落在点E处，处，CE交交AD于点于点F，则，则DF的长为的长为( ) B A.35 B.
30、53 C73 D.54 首 页 末 页 【解析】【解析】 矩形矩形ABCD沿对角线沿对角线AC折叠，使折叠，使ABC落在落在AEC的位置，的位置， AEAB4，EB90 . 又又四边形四边形ABCD为矩形，为矩形， ABCD，D90 . AECD，ED. 在在AEF与与CDF中，中， 首 页 末 页 AFECFD，ED，AECD， AEFCDF(AAS) EFDF，AFCF. 设设DFx，则，则CFAF6x. 首 页 末 页 在在RtCDF中中，CF2CD2DF2， 即即(6x)242x2，解得，解得x53. DF53.故选故选B. 首 页 末 页 92019 青岛青岛如图，在正方形纸片如图，
31、在正方形纸片ABCD中，中，E是是CD的中点，将正方形纸片折的中点，将正方形纸片折叠，点叠，点B落在线段落在线段AE上的点上的点G处，折痕为处，折痕为AF.若若AD4 cm，则，则CF的长为的长为 cm. 62 5 首 页 末 页 【解析】【解析】 由勾股定理，得由勾股定理，得AE2 5 cm. 根据题意，得根据题意，得GE(2 54)cm. 设设BFx cm，则，则FC(4x)cm. (2 54)2x222(4x)2， 解得解得x2 52，CF(62 5)cm. 首 页 末 页 102019 天水天水如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，AD5，点，点E在边在边DC上，将矩上，将矩
32、 形形ABCD沿沿AE折叠，使点折叠，使点D恰好落在恰好落在BC边上的点边上的点F处，那么处，那么sinEFC的值为的值为_. 45 首 页 末 页 【解析】【解析】 四边形四边形ABCD为矩形，为矩形， ADBC5，ABCD3. 矩形矩形ABCD沿沿AE折叠，顶点折叠，顶点D恰好落在恰好落在BC边上的点边上的点F处，处， AFAD5，EFDE， 在在RtABF中中BF AF2AB24， CFBCBF541， 设设CEx，则，则DEEF3x. 首 页 末 页 在在RtECF中，中，CE2FC2EF2， 即即x212(3x)2，解得，解得x43. EF3x53. sinEFCCEEF45. 【点
33、悟】【点悟】 折叠的实质是轴对称，折叠前后折叠的实质是轴对称，折叠前后对应部分重合，即对应角相等，对应对应部分重合，即对应角相等，对应边相等，对应图形全等边相等，对应图形全等 首 页 末 页 类型之七类型之七 中点四边形中点四边形 2019 遵义遵义我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，已知四边形点四边形，已知四边形ABCD的中点四边形是正方形，对角线的中点四边形是正方形，对角线AC与与BD的关系，的关系，下列说法正确的是下列说法正确的是( ) AAC，BD相等且互相平分相等且互相平分 BAC，BD垂直且互相平分垂
34、直且互相平分 CAC，BD相等且互相垂直相等且互相垂直 DAC，BD垂直且平分对角垂直且平分对角 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 由于中点四边形是正方形，正方形的对角线相等且垂直平分，根据中由于中点四边形是正方形，正方形的对角线相等且垂直平分，根据中位线定理可证任意位线定理可证任意四边形的中点四边形都是平行四边形，四边形的中点四边形都是平行四边形，原四边形的对角线原四边形的对角线AC，BD相等且互相垂直故选相等且互相垂直故选C 【点悟】【点悟】 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系的关系(相等、垂直
35、、相等且垂直相等、垂直、相等且垂直)有关有关 首 页 末 页 112019 雅安雅安如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD，AC，BD是对角线，是对角线，E，F，G，H分别是分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形，则四边形EFGH的形状是的形状是( ) A平行四边形平行四边形 B.矩形矩形 C菱形菱形 D.正方形正方形 C 首 页 末 页 【解析【解析】 点点E，F，G，H分别是分别是AD，BD，BC，CA的中点，的中点， EFGH12AB，EHFG12CD. ABCD，EFFGGHEH，四边形四边形EFGH是菱形故选是菱形故选C.
36、首 页 末 页 12如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD的边长为的边长为10，A60 .顺次连接菱形顺次连接菱形ABCD各边中各边中点，可得四边形点，可得四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形，顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形各边中点，可得四边形A2B2C2D2，顺次连接四边形，顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形各边中点，可得四边形A3B3C3D3，按此按此 规律继续下去，则四边形规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是的周长是 ，四边形，四边形A2 019B2 019C2 019D2 019的的 周长是周长是 . 20 5 3521 008 首 页 末
37、 页 课课 时时 作作 业业 (70分分) 一、选择题一、选择题(每题每题5分，共分，共25分分) 12019 无锡无锡下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A内角和为内角和为360 B.对角线互相平分对角线互相平分 C对角线相等对角线相等 D.对角线互相垂直对角线互相垂直 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且互相平本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，分，菱形的对角线垂直且互相平分，矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相矩形具有而菱
38、形不具有的性质为对角线相等故选等故选C. 首 页 末 页 22018 上海上海已知已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) AAB B.AC CACBD D.ABBC B 首 页 末 页 3如图，在如图，在ABC中，点中，点D是是BC边上的点边上的点(与与B，C两点不重合两点不重合)，过点，过点D作作DEAC，DFAB，分别交，分别交AB，AC于于E，F两点，则下列说法正确的是两点，则下列说法正确的是( ) D A若若ADBC，则四边形，则四边形AEDF是矩形是矩形 B若若AD垂直平分垂直平分BC，则四边形，则四边形AED
39、F是矩形是矩形 C若若BDCD，则四边形，则四边形AEDF是菱形是菱形 D若若AD平分平分BAC，则四边形，则四边形AEDF是菱形是菱形 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据根据DEAC，DFAB，可证明四边形，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断若矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断若ADBC，无法判定四边形，无法判定四边形AEDF是矩形，是矩形，A错误；若错误；若AD垂直平分垂直平分BC，可以判定四边形，可以判定四边形AEDF是菱形，是菱形，B错错误；若误；若BDCD，无法判定四边形，无法判定四边形AEDF是菱形，是菱形
40、，C错误；若错误；若AD平分平分BAC，则，则EADFADADF，AFDF.又又四边形四边形AEDF是平行四边形，是平行四边形，四边四边形形AEDF是菱形是菱形D正确故选正确故选D. 首 页 末 页 42019 眉山眉山如图，在矩形如图，在矩形ABCD中中AB6，BC8，过对角线交点，过对角线交点O作作EFAC交交AD于点于点E，交，交BC于点于点F，则，则DE的长是的长是( ) A1 B.74 C2 D.125 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接CE. 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， ADC90 ，OCOA，ADBC8，DCAB6. EFAC，OAOC， A
41、ECE. 在在RtDEC中，中， DE2DC2CE2，即，即DE236(8DE)2， DE74.故选故选B. 首 页 末 页 52019 包头包头如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，AB1，点，点E，F分别在边分别在边BC和和CD上，上，AEAF，EAF60 ，则，则CF的长是的长是( ) A.312 B.32 C 31 D.23 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的应用等本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的应用等 如答图，连接如答图，连接EF. 则由则由HL可证可证RtABERtADF. BEDF，CECF. EA
42、F60 ，EFAEAF. 设设CFx，则，则DF1x. 在在RtEFC中，中，EF22x2. 在在RtADF中，中，AF21(1x)2， 2x21(1x)2， 解得解得x11 3，x21 3(舍去舍去)， x1 3.故选故选C. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题5分，共分，共25分分) 62018 黔东南州黔东南州已知一个菱形的边长为已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为，较长的对角线长为23 ，则这个菱，则这个菱形的面积是形的面积是 . 72019 徐州徐州如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AC，BD交于点交于点O，M，N分别为分别为BC，OC的中点若的中点若MN4，则
43、，则AC的长为的长为 . 2 3 16 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查了矩形的性质和三角形中位线的性质本题考查了矩形的性质和三角形中位线的性质 四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， OAOBOCOD. M，N分别为分别为BC，OC的中点，的中点， OB2MN248， AC2OB16. 首 页 末 页 82019 镇江镇江将边长为将边长为1的正方形的正方形ABCD绕点绕点C按顺时针方向旋转到按顺时针方向旋转到FECG的位置的位置(如图如图)，使得点，使得点D落在对角线落在对角线CF上，上，EF与与AD相交于点相交于点H，则，则HD (结果结果保留根号保留根号) 21 首 页 末 页
44、【解析】【解析】 四边形四边形ABCD为正方形，为正方形， CD1，CDA90 . 边长为边长为1的正方形的正方形ABCD绕点绕点C按顺时针方向旋转到按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点的位置，使得点D落落在对角线在对角线CF上，上， CF 2，CFE45 ， DFH为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， DHDFCFCD 21. 首 页 末 页 92019 泰安泰安如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB36 ，BC12，E为为AD中点，中点，F为为AB上一点，连接上一点，连接CF.将将AEF沿沿EF折叠后，点折叠后，点A恰好落到恰好落到CF上的点上的点G处，则折痕处，则折痕EF的长是
45、的长是 . 2 15 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接CE. 点点E是是AD的中点，的中点， AEEDEG，EGCD90 ， EGCEDC(HL)， GCAB3 6. 设设AFGFx，FB3 6x. 首 页 末 页 在在RtFBC中中， FB2BC2FC2， 即即(3 6x)2122(x3 6)2， 解得解得x2 6. 在在RtAFE中中， EF AE2AF22 15. 首 页 末 页 102018 天水天水如图如图，菱形菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O.若若AC6，BD 8，AEBC，垂足为垂足为E，则则AE的长为的长为 . 245 首 页
46、末 页 【解析】【解析】 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ABBC，ACBD， CO12AC3，BO12BD4. 在在RtBCO中，中，BC CO2BO25. SABC12AC BO12BC AE， 1264125AE. 解得解得AE245. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共20分分) 11(10分分)2019 江西江西如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD，ADBC，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点O，且，且OAOD. 求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形 首 页 末 页 证明证明：ABCD，ADBC， 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四
47、边形， AC，BD互相平分互相平分 又又OAOD， ACBD， 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 首 页 末 页 12(10分分)2019 聊城聊城如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，点中，点P是是BC边上一点，连接边上一点，连接AP，点，点E，F是是AP上的两点，连接上的两点，连接DE，BF，使得，使得AEDABC，ABFBPF. 求证：求证：(1)ABFDAE； (2)DEBFEF. 首 页 末 页 证明：证明：(1)四边形四边形ABCD是菱形，是菱形， ABAD，ADBC， BPADAE. 在在ABP和和DAE中中 ABCAED，BAFADE. ABFBPF且且BPADAE， ABFDA
48、E. 又又ABDA， ABFDAE(ASA) 首 页 末 页 (2)ABFDAE， AEBF，DEAF. AFAEEFBFEF， DEBFEF. 首 页 末 页 (20分分) 13(5分分)2018 天津天津如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E，F分别为分别为AD，BC的中点，的中点，P为对角线为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于上的一个动点，则下列线段的长等于APEP最小值的是最小值的是( ) AAB B.DE CBD D.AF D 首 页 末 页 【解析】【解析】如答图，取如答图，取CD的中点的中点E，连接，连接AE，PE. 由正方形的轴对称性质，可知由正方形的轴对称性质
49、，可知EPEP，AFAE. APEPAPEP. APEP的最小值是的最小值是AE， 即即APEP的最小值是的最小值是AF.故选故选D. 首 页 末 页 14(5分分)2018 贵港贵港如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AC62，BD6，E是是BC的中的中点，点，P，M分别是分别是AC，AB上的动点，连接上的动点，连接PE，PM，则，则PEPM的最小值是的最小值是( ) C A6 B.3 3 C2 6 D.4.5 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，作点如答图，作点M关于关于AC的对称点的对称点M，则点，则点M在在AD上显然，当上显然，当E，P，M在同一直线上，且在同一直线上，且EM
50、AD时，时，EM最短，此时最短，此时PEPM最小最小 AD 32 3 2 23 3， 且且S菱形菱形ABCDAD EM12AC BD， 3 3EM126 26. 解得解得EM2 6. PEPM的最小值为的最小值为2 6.故选故选C. 首 页 末 页 15(10分分)2019 甘肃甘肃如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E是是BC的中点，连接的中点，连接DE，过，过点点A作作AGED交交DE于点于点F，交，交CD于点于点G. (1)证明：证明：ADGDCE； (2)连接连接BF，证明：，证明：ABBF. 首 页 末 页 证明：证明：(1)四边形四边形ABCD是正方形，是正方形， AD