1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第七章第七章 三角形三角形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2424课时课时 直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1直角三角形的概念直角三角形的概念 定定 义：有一个角是直角的三角形叫做义：有一个角是直角的三角形叫做 ，其中夹直角的两边叫做，其中夹直角的两边叫做直角边，另一条边叫做斜边直角边，另一条边叫做斜边 直角三角形直角三角形 首 页 末 页 2直角三角形的性质直角三角形的性质 性性 质：质：(1)在直角三角形中，在直角三
2、角形中，30 的锐角所对的直角边等于的锐角所对的直角边等于 ； (2)在直角三角形中，如果有一条直角边等于在直角三角形中，如果有一条直角边等于 ，那么这条直角边，那么这条直角边所对的锐角等于所对的锐角等于30 ； (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半斜边的一半 斜边的一半斜边的一半 斜边的一半斜边的一半 首 页 末 页 重要结论：重要结论：(1)SRtABC12ab12ch，其中，其中a，b为两直角边，为两直角边，c为斜边，为斜边，h为斜边上的为斜边上的高；高； (2)RtABC的内切圆半径的内切圆半径rabc2，外接圆半径，外接圆半径Rc2，其中
3、，其中a，b为两直角边，为两直角边，c为斜边为斜边 首 页 末 页 3直角三角形的判定直角三角形的判定 判判 定：定：(1)两个内角两个内角 的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形； (2)一边上的中线等于这边的一边上的中线等于这边的 的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 4勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理 定定 理：如果直角三角形的两条直角边分别为理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么 . 互余互余 一半一半 a2b2c2 首 页 末 页 定理变式：定理变式：a2c2b2； b2c2a2； a c2b2； b c2a2； c a2b2. 逆定理：逆定
4、理：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足 ，那么这个三角形是直，那么这个三角形是直角三角形，其中角三角形，其中c为斜边为斜边 a2b2c2 首 页 末 页 注注 意：意：(1)勾股定理的逆定理可作为判定直角三角形的方法勾股定理的逆定理可作为判定直角三角形的方法 (2)勾股定理与逆定理的联系勾股定理与逆定理的联系与区别：与区别： 联系：两者都与三角形的三边有关，且都包含等式联系：两者都与三角形的三边有关，且都包含等式a2b2c2； 区别：勾股定理是以区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形一个三角形是直角三角形”作为条件得到作为条件得到a2b2c2，而其逆定理是以而其逆定理是
5、以“一个三角形的三边一个三角形的三边a，b，c满足满足a2b2c2”作为条件得到这个作为条件得到这个三角形是直角三角形，可见二者的条件和结论正好相反三角形是直角三角形，可见二者的条件和结论正好相反 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 1下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的下列每组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是是( ) A3,4,5 B.6,8,10 C. 3，2， 5 D.5,12,13 C 首 页 末 页 22019 益阳益阳已知已知M，N是线段是线段AB上的两点，上的两点，AMMN2，NB1，以点，以点A为为圆心，圆心，AN长
6、为半径画弧；再以点长为半径画弧；再以点B为圆心，为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点长为半径画弧，两弧交于点C，连，连接接AC，BC，则，则ABC一定是一定是( ) A锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D.等腰三角形等腰三角形 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 AMMN2，NB1， ABAMMNNB2215， ACANAMMN224， BCBMBNMN123， AB25225，AC24216，BC2329， AC2BC2AB2， ABC是直角三角形故选是直角三角形故选B. 首 页 末 页 32018 娄底娄底如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的
7、面积是如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小，小正方形的面积为正方形的面积为49，则，则sin cos 等于等于( ) D A.513 B.513 C713 D.713 首 页 末 页 【解析】【解析】 小正方形的面积为小正方形的面积为49，大正方形的面积为，大正方形的面积为169，小正方形的边长是小正方形的边长是7，大正方形的边长是，大正方形的边长是13. 在在RtABC中，中，AC2BC2AB2， 即即AC2(7AC)2132， 整理，得整理，得AC27AC600. 首 页 末 页 解得解得AC5或或AC12(舍去舍去) BC7AC12. sin ACAB513，co
8、s BCAB1213. sin cos 5131213713.故选故选D. 首 页 末 页 42019 邵阳邵阳公元三世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了公元三世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图赵爽弦图”如图，设勾如图，设勾a6，弦，弦c10，则小正方形，则小正方形ABCD的面积是的面积是 . 4 【解析】【解析】 勾勾a6，弦，弦c10， 股股b 102628， 小正方形的边长为小正方形的边长为862， 小正方形的面积为小正方形的面积为224. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 直角三角形性质的运用直角三角形性质的运用 2019 陕西陕
9、西如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90 ，A65 ，CDAB，垂足为垂足为D，E是是BC的中点，连接的中点，连接ED，则，则EDC的度数是的度数是( ) D A25 B.30 C50 D.65 首 页 末 页 【解析】【解析】 CDAB，ADCBDC90 ， ACD90 A25 . ACB90 ， DCE90 ACD65 . 在在RtCDB中，中，E是是BC的中点，的中点， ECED， EDCDCE65 .故选故选D. 首 页 末 页 12018 扬州扬州如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90 ，CDAB于点于点D，CE平分平分ACD，交，交AB于点于点E，则下列结论一定成立的是
10、，则下列结论一定成立的是( ) ABCEC B.ECBE CBCBE D.AEEC C 首 页 末 页 【解析】【解析】 ACB90 ，CDAB，ACDBCD90 ，ACDA90 .BCDA.CE平分平分ACD，ACEDCE.又又BECAACE，BCEBCDDCE，BECBCE.BCBE.故选故选C. 首 页 末 页 类型之二类型之二 勾股定理的应用勾股定理的应用 2018 湘潭湘潭九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股匀股”一章中记载了一道一章中记载了一道“折竹抵地折竹抵地”问题：问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，今有竹高一丈，末折
11、抵地，去本三尺，问折者高几何？问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在翻译成数学问题是：如图，在ABC中，中，ACB90 ，ACAB10，BC3，求，求AC的长若设的长若设ACx，则可列方程为，则可列方程为 . x232(10 x)2 首 页 末 页 【解析】【解析】 设设ACx. ACAB10， AB10 x. 在在RtABC中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 AC2BC2AB2，即，即x232(10 x)2. 首 页 末 页 22017 绍兴绍兴如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为底端到左墙
12、角的距离为0.7 m，顶端距离地面，顶端距离地面2.4 m若保持梯子底端位置不动，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为，则小巷的宽度为( ) A0.7 m B.1.5 m C2.2 m D.2.4 m C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，在如答图，在RtACB中，中， ACB90 ，BC0.7 m，AC2.4 m， AB 0.722.422.5(m) 在在RtABD中，中， ADB90 ，AD2 m，ABAB2.5 m， BD 2.52221.5(m) CDBCBD0.71.52.2(m)故选故选C. 首 页
13、末 页 类型之三类型之三 勾股定理与拼图勾股定理与拼图 2020 中考预测中考预测如图，以直角三角形的三边如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外分别作等为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四个情况的面积关系满足边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四个情况的面积关系满足S1S2S3的图形个数有的图形个数有( ) D A1个个 B.2个个 C3个个 D.4个个 首 页 末 页 【解析】【解析】 S134a2，S234b2，S334c2， a2b2c2，34a234b234c2. S1S2S3. 首 页 末 页 S18a2，S28b2，S38c2， a2b2c
14、2，8a28b28c2. S1S2S3. 首 页 末 页 S114a2，S214b2，S314c2， a2b2c2，14a214b214c2. S1S2S3. S1a2，S2b2，S3c2， a2b2c2，S1S2S3. 综上，可得面积关系满足综上，可得面积关系满足S1S2S3的图形有的图形有4个个 故选故选D. 首 页 末 页 3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形是直角三角形若正方形A，B，C，D的面积分别为的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形，则最大的正方形E的的面积
15、是面积是 . 10 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据勾股定理的根据勾股定理的几何意义，可得几何意义，可得A，B的面积和为的面积和为S1，C，D的面积和为的面积和为S2，S1S2S3，于是，于是S3251210. 首 页 末 页 4如图，四边形如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为都是正方形，边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一条直线上，则五点在同一条直线上，则c (用含有用含有a，b的代数式表的代数式表示示) a2b2 【解析】【解析】 先证明先证明BCNENH, 得得EHBN， 再根据勾股定理，得再根据勾股定理，得BC2BN2CN2 . c a2b
16、2. 首 页 末 页 5如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为2，其面积标记为，其面积标记为S1，以，以CD为斜边作等腰直角三为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，按照此规律继续下去，S2 019的值为的值为( ) D A. 222 015 B. 222 018 C. 122 015 D. 122 016 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据题意，第一个正方形的边长为根据题意，第一个正方形的边长为2， 第二个正方形的边长为第二个正方形的边长为22
17、2， 第三个正方形的边长为第三个正方形的边长为 2222， ， 首 页 末 页 第第n个正方形的边长是个正方形的边长是 22n12， 则第则第2 019个正方形的边长为个正方形的边长为 222 0182. S2 019的值为的值为 122 016.故选故选D. 【点悟】【点悟】 勾股定理既反映了直角三角形的三边关系，同时也反映了以直角三角勾股定理既反映了直角三角形的三边关系，同时也反映了以直角三角形三边为边长所作正方形的面积关系，这是勾股定理的另一种表现形式形三边为边长所作正方形的面积关系，这是勾股定理的另一种表现形式 首 页 末 页 类型之四类型之四 平面展开图中的最短路径问题平面展开图中的
18、最短路径问题 2018 黄冈黄冈如图，圆柱形玻璃杯高为如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为，底面周长为32 cm，在杯内壁，在杯内壁离杯底离杯底5 cm的点的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与与蜂蜜相对的点蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处到内壁B处的最短距离为处的最短距离为 cm(杯壁杯壁厚度不计厚度不计) 20 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图为展开图的一半，点如答图为展开图的一半，点E与点与点A关于直线关于直线l对称，连接对称，连接EB，即为蚂，即为蚂蚁爬行的蚁爬行的最短路
19、径过点最短路径过点B作作BCAE于点于点C，则在，则在RtEBC中，中，BC32 216(cm)，EC314512(cm)，EB EC2BC220(cm) 首 页 末 页 62018 东营东营如图，圆柱的高如图，圆柱的高AB3，底面直径，底面直径BC3，现在有一只蚂蚁想从，现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是处捕食，则它爬行的最短距离是( ) A3 4 B.3 2 C.3 422 D.3 42 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 将圆柱沿将圆柱沿AB侧面展开，得到矩形如答图，则侧面展开，得到矩形如答图，则AB3，BC32.在在RtABC中
20、，由勾股定理，得中，由勾股定理，得AC AB2BC232 3223 422.故选故选C. 首 页 末 页 类型之五类型之五 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如图，点如图，点E是正方形是正方形ABCD内的一点，连接内的一点，连接AE，BE，CE，将，将ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90 到到CBE的位置若的位置若AE1，BE2，CE3，则，则BEC . 135 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接EE. 将将ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90 到到CBE的位置，的位置，AE1，BE2，CE3， 首 页 末 页 EBE90 ，BEBE2，AEEC1. EE2 2
21、，BEE45 . EE2EC2819，EC29， EE2EC2EC2. EEC是直角三角形，是直角三角形，EEC90 . BEC45 90 135 . 首 页 末 页 72019 巴中巴中如图，等边三角形如图，等边三角形ABC内有一点内有一点P，分别连接，分别连接AP，BP，CP，若，若AP6，BP8，CP10，则，则SABPSBPC . 16 324 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，将如答图，将ABP绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转60 到到CBP，连接，连接PP. BPBP，PBP60 ， BPP是等边三角形，其边长是等边三角形，其边长BP为为8. SBPP16 3. PP8，PC
22、PA6，PC10， PP2PC2PC2， PPC是直角三角形，是直角三角形，SPPC24， SABPSBPCSBPPSPPC16 324. 首 页 末 页 8如图，已知如图，已知AB4，BC3，AD12，DC13，B90 ，则四边形，则四边形ABCD的面积为的面积为 . 36 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接AC.B90 ， AC AB2BC2 1695. AD12，DC13， AC2AD2DC2，CAD90 . S四边形四边形ABCDSABCSACD 12341212536. 首 页 末 页 类型之六类型之六 赵爽弦图赵爽弦图 2018 湖州湖州如图，在每个小正方形
23、的边长为如图，在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点以顶点都在格点上的正方形形的顶点为格点以顶点都在格点上的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形都是格点，且四边形EFGH为正为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图方形，我们把这样的图形称为格点弦图 首 页 末 页 例如，在如图所示的格点弦图中，正方形例如，在如图所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为的边长为 65，此时正方形，此时正方形EFGH的面积为的面积为5.问：当格点弦图中
24、的正方形问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为的边长为65时，正方形时，正方形EFGH的面的面积的所有可能值是积的所有可能值是 (不包括不包括5) 9,13和和49 首 页 末 页 【解析】【解析】 设图中直角三角形的长直角边为设图中直角三角形的长直角边为a，短直角边为，短直角边为b，则，则a2b265，正方，正方形形EFGH的面积为的面积为(ab)2.只要能把长为只要能把长为a和和b的线段在网格中画出来，并且的线段在网格中画出来，并且a和和b的端点都在格点上即可的端点都在格点上即可65可以写作可以写作641或或4916，a，b的值分别为的值分别为8,1或或7,4，此时正方形，此时正方形EF
25、GH的面积为的面积为49或或9. 例例6答图答图 首 页 末 页 另外，长为另外，长为13和和5的线段也可以在网格中画出，的线段也可以在网格中画出，65还可以写成还可以写成5213或或4520，此时，此时a，b的值分别为的值分别为2 13， 13和和3 5，2 5，此时正方形，此时正方形EFGH的面积为的面积为13和和5. 正方形正方形EFGH的面积为的面积为9,13和和49，对应的图形分别为答图中的，对应的图形分别为答图中的. 首 页 末 页 92019 绵阳绵阳公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图赵爽弦图”如图所
26、示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是一个大正方形若大正方形的面积是125，小正方形面积是，小正方形面积是25，则，则(sin cos )2的值为的值为( ) A.15 B.55 C3 55 D.95 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 大正方形的面积是大正方形的面积是125，小正方形面积是，小正方形面积是25， 大正方形的边长为大正方形的边长为5 5，小正方形的边长为，小正方形的边长为5， 5 5cos 5 5sin 5， cos sin 55， (sin cos )215.故选故选A.
27、首 页 末 页 102019 大庆大庆我国古代数学家赵爽的我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示如图所示)如果大正方形的面积是如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么，那么(ab)2的的值是值是 . 1 【解析】【解析】 直角三角形两直角三角形两直角边的差即为小正直角边的差即为小正 方形边长，所以方形边长，所以(ab)2就等于小正方形的面积就等于小正方形的面积 首 页
28、 末 页 课课 时时 作作 业业 (70分分) 一、选择题一、选择题(每题每题5分，共分，共35分分) 12019 滨州滨州满足下列条件时，满足下列条件时，ABC不是直角三角形的为不是直角三角形的为( ) AAB 41，BC4，AC5 BABBCAC345 C CABC345 D|cos A12 tan B3320 首 页 末 页 【解析】【解析】 A5242251641( 41)2， ABC是直角三角形，不符合题意；是直角三角形，不符合题意； B(3x)2(4x)29x216x225x2(5x)2， ABC是直角三角形，不符合题意；是直角三角形，不符合题意； 首 页 末 页 CABC345，
29、C5345180 75 90 ，ABC不是直角三角形，符合题意；不是直角三角形，符合题意； D|cos A12 tan B3320，cos A12，tan B33，A60 ，B30 ，C90 ，ABC是直角三角形，不符合题意是直角三角形，不符合题意 故选故选C. 首 页 末 页 22019 毕节毕节如图，点如图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边AB上，若上，若EB1，EC2，则正方，则正方形形ABCD的面积为的面积为( ) A. 3 B.3 C 5 D.5 B 【解析】【解析】 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，B90 ， BC2EC2EB222123， S正方形正方形ABCDBC2
30、3.故选故选B. 首 页 末 页 3在在RtABC中，中，C90 ，AC9，BC12，则点，则点C到到AB的距离是的距离是( ) A.365 B.1225 C94 D.3 34 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据题意画出相应的图形，如答图根据题意画出相应的图形，如答图 在在RtABC中，中，AC9，BC12，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得ABAC2BC215.过点过点C作作CDAB，交，交AB于点于点D.SABC12AC BC12AB CD，CDAC BCAB91215365，即点，即点C到到AB的距离是的距离是365.故选故选A. 首 页 末 页 42018 长沙长沙我国南宋著名
31、数学家秦久韶的著作数书九章里记载有这样一我国南宋著名数学家秦久韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：道题目：“有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，里，12里，里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的里，问这块沙田面积有多大？题中的“里里”是我国市制长度单位，是我国市制长度单位，1里里500 m，则该沙田的面积为，则该沙田的面积为( ) A7.5 km2 B.15 km2 C75 km2 D.7
32、50 km2 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 将里换算为千米，则三角形沙田的三边长为将里换算为千米，则三角形沙田的三边长为2.5 km,6 km,6.5 km.2.52626.52，这个三角形为直角三角形，直角边长为这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5 km和和6 km.S1262.57.5(km2)故选故选A. 首 页 末 页 52018 黄冈黄冈如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90 ，CD为为AB边上的高，边上的高，CE为为AB边上的中线，边上的中线，AD2，CE5，则，则CD的长为的长为( ) A2 B.3 C4 D.2 3 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在R
33、tABC中，中，CE为为AB边上的中线，边上的中线， CE12ABAE. CE5，AE5. AD2，DE3. CD为为AB边上的高，边上的高， 在在RtCDE中，中，CD CE2DE24.故选故选C. 首 页 末 页 62018 淄博淄博如图，在如图，在RtABC中，中，CM平分平分ACB，交，交AB于点于点M，过点，过点M作作MNBC，交，交AC于点于点N，且，且MN平分平分AMC.若若AN1，则，则BC的长为的长为( ) A4 B.6 C4 3 D.8 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 CM平分平分ACB，MN平分平分AMC，且，且MNBC， AMNNMCB， NCMBCMNMC， A
34、CB2B，NMNC. A90 ，B30 . AMN30 . AN1，MNNC2AN2. ACANNC3. BC2AC6.故选故选B. 首 页 末 页 72019 宁波宁波勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图经中早有记载如图，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出积，则一定能求出( ) A直角三角形的面积直角三角
35、形的面积 B最大正方形的面积最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和最大正方形与直角三角形的面积和 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 设图中三个正方形边长从小到大依次为：设图中三个正方形边长从小到大依次为：a，b，c.则则S阴影阴影c2a2b2a(abc)， 由勾股定理可知，由勾股定理可知，c2a2b2， S阴影阴影c2a2b2S重叠重叠S重叠重叠， 即即S阴影阴影S重叠重叠故选故选C. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题5分，共分，共25分分) 82018 福建福建如图，在如图，在RtABC中，中，ACB9
36、0 ，AB6，D为为AB的中点，则的中点，则CD . 3 首 页 末 页 9已知直角三角形的两边长分别是已知直角三角形的两边长分别是3和和4，则第三边的长为，则第三边的长为 . 10如图，有两棵树，一棵树高如图，有两棵树，一棵树高12 m，另一棵树高，另一棵树高6 m，两树相距，两树相距8 m一只鸟从一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行 m. 5或或 7 10 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，大树高如答图，大树高AB12 m，小树高，小树高CD6 m，过点，过点C作作CEAB于点于点E，则四边形，则四边形EBDC是矩形是
37、矩形，连接，连接AC. EB6 m，EC8 m， AEABEB1266(m) 在在RtAEC中，中，AC 628210(m) 故小鸟至少要飞行故小鸟至少要飞行10 m. 首 页 末 页 112019 北京北京如图所示的网格是正方形网格，则如图所示的网格是正方形网格，则PABPBA .(点点A，B，P是网格线交点是网格线交点) 45 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，延长如答图，延长AP至点至点C，连接，连接BC. 设图中小正方形的边长为设图中小正方形的边长为1， 由勾股由勾股定理得定理得PC212225， BC212225，PB2123210. PC2BC2PB2，且，且PCBC. 即
38、即PBC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BPC45 . 由三角形外角的性质，得由三角形外角的性质，得PABPBABPC45 . 首 页 末 页 122019 安顺安顺如图，在如图，在RtABC中，中，BAC90 ，AB3，AC4，点，点D为斜为斜 边边BC上的一个动点，过上的一个动点，过D分别作分别作DMAB于点于点M，作，作DNAC于点于点N，连接，连接MN， 则线段则线段MN长度的最小值为长度的最小值为 . 125 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接AD. DMAB，DNAC， AMDAND90 . 又又BAC90 ， 四边形四边形AMDN是矩形是矩形 MNAD
39、. 首 页 末 页 BAC90 ，AB3，AC4， BC5， 当当ADBC时，时，AD最短，最短， 此时此时SABC12BC AD12AB AC， ADAB ACBC125， 线段线段MN长度的最小值为长度的最小值为125. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共10分分) 13(10分分)2019 福建改编福建改编如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90 ，ACB30 ，将将ABC绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转60 得到得到DEC，点，点A，B的对应点分别为的对应点分别为D，E，F为为AC的中点连接的中点连接BE，BF，FD，求证：，求证： (1)BFED； (2)四边形四边形BED
40、F是平行四边形是平行四边形 首 页 末 页 证明：证明：(1)在在RtABC中，中，ABC90 ，ACB30 ，F为为AC的中点，的中点， AC2AB，AC2BF，BFBA. 由旋转的性质知由旋转的性质知BAED，BFED. (2)由旋转的性质知由旋转的性质知ABCDEC，BCE60 . 延长延长BF交交EC于点于点G(图略图略)，由，由(1)知知BFCF， FBCFCB30 ， 首 页 末 页 BGC180 FBCBCE90 . BGE90 ，而，而DECABC90 ， DEGBGE，BFED. 由由(1)知知BFED，四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形 首 页 末 页 (20分分
41、) 14(10分分)2018 广安广安如图，有如图，有4张形状、大小完张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是个小正方形的边长都是1，请在图中的方格纸中分别画出符合要求的图形，所画，请在图中的方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下： 首 页 末 页 (1)画一个直角边长为画一个直角边长为4，面积为，面积为6的直角三角形；的直角三角形； (2)画一个底边长为画一个底边长为4，面积为，面积为8的等腰三角形；的等腰三角形； (3)画一个面积
42、为画一个面积为5的等腰直角三角形；的等腰直角三角形； (4)画一个边长为画一个边长为2 2，面积为，面积为6的等腰三角形的等腰三角形 首 页 末 页 解：解：如答图如答图 首 页 末 页 15(10分分)2019 巴中巴中等腰直角三角板如图放置，直角顶点等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线在直线m上，分别过上，分别过点点A，B作作AE直线直线m于点于点E，BD直线直线m于点于点D. (1)求证：求证：ECBD； (2)若设若设AEC三边分别为三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理，利用此图证明勾股定理 首 页 末 页 证明：证明：(1)ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ACB
43、90 ，ACCB， ACEBCD90 ， AEEC， EACACE90 ，BCDCAE. BDCD， AECCDB90 ， AECCDB(AAS)， ECBD. 首 页 末 页 (2)AECCDB，AEC三边分别为三边分别为a，b，c， BDCEa，CDAEb，BCCAc， S梯形梯形AEDB12(AEBD) ED12(ab)2， 且且S梯形梯形AEDB12ab12c212ab， 12(ab)212ab12c212ab， 整理，得整理，得a2b2c2，故勾股定理得证，故勾股定理得证 首 页 末 页 (10分分) 16(10分分)2017 宜昌宜昌能够成为直角三角形三条边长的三个正整数能够成为直
44、角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为其勾股数组公式为 a12 m2n2 ，bmn，c12 m2n2 ，其中其中mn0，m，n是互质的奇数当是互质的奇数当n1时，求有一边长为时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长的直角三角形的另外两条边长 首 页 末 页 解：解：将将n1代入勾股数组公式，得代入勾股数组公式，得 a12(m21)， bm, c12(m21). 直角三角形有一边长为直角三角形有一边长为5， 当当a5时，即时，即12(m21)5， 首 页 末 页 解得解得m 11(不合题意，舍去不合题意，舍去)； 当当b5时，即时，即m5， 代入代入，得，得a12，c13； 当当c5时，即时，即12(m21)5， 解得解得m 3， m0，m3， 代入代入，得，得a4，b3. 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12,13或或3,4. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！