1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第七章第七章 三角形三角形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第2323课时课时 等腰三角形等腰三角形 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1等腰三角形的概念等腰三角形的概念 定义：定义：有有 相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的 叫做腰，另叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做一边叫做底边，两腰的夹角叫做 ，腰与底边的夹角叫做底角，腰与底边的夹角叫做底角 两边两边 两边两边 顶角顶角 首 页 末 页 2等腰三角形的性质等腰三角形的
2、性质 性质：性质：(1)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角 (简称为简称为“等边对等角等边对等角”)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线 (简称为简称为“三线合一三线合一”) 相等相等 互相重合互相重合 首 页 末 页 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定 判定：判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为简称为“等角对等边等角对等边”) 注意：注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定要正确区别等腰三角形的性质和判定“性质性质”指的是由边相等
3、得出角相指的是由边相等得出角相等，即等，即“等边对等角等边对等角”；而；而“判定判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形，即最后得出边相等腰三角形，即最后得出边相等 首 页 末 页 4等边三角形等边三角形 定义：定义： 都相等的三角形叫做等边三角形都相等的三角形叫做等边三角形 注意：注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形 5等边三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定 性质：性质：(1)等边三角形的三条边都等边三角形的三条边都 ； (2)等边三角形的每一
4、个角都等于等边三角形的每一个角都等于 . 判定：判定：(1)各边或角都相等的三角形是等边三角形；各边或角都相等的三角形是等边三角形； (2)有一个角等于有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 三边三边 相等相等 60 60 首 页 末 页 相关规律：相关规律：(1)边长为边长为a的等边三角形的面积等于的等边三角形的面积等于34a2； (2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点 首 页 末 页 6线段的垂直平分线线段的垂直平分线 定义：定义：经过线段的经过线段的 与这条线段与这条线段 的直线叫做这条线段的垂直平分线的直线
5、叫做这条线段的垂直平分线 注意：注意：线段的垂直平分线的两个要点线段的垂直平分线的两个要点“垂直垂直”和和“平分平分”要同时存在要同时存在 性质：性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 判定：判定：与一条线段两个端点距离与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上的点，在这条线段的垂直平分线上 中点中点 垂直垂直 相等相等 相等相等 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 1一个等腰三角形一边长为一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周，那么这个等腰三角形的周长是长是( ) A13
6、cm B.14 cm C13 cm或或14 cm D.以上都不对以上都不对 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 当当4 cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4 cm,4 cm,5 cm，符，符合三角形的三边关系，此时周长合三角形的三边关系，此时周长为为13 cm； 当当5 cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，为等腰三角形的腰时，三边分别是，5 cm，5 cm，4 cm，符合三角形的三，符合三角形的三边关系，此时周长为边关系，此时周长为14 cm.故选故选C. 首 页 末 页 22017 益阳益阳如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BAC36 ，
7、DE是线段是线段AC的垂直的垂直平分线，若平分线，若BEa，AEb，则用含，则用含a，b的代数式表示的代数式表示ABC的周长为的周长为 . 2a3b 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABAC，BEa，AEb， ACABab. DE是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线， AECEb， ECABAC36 . BAC36 ，ABAC， ABCACB72 ， 首 页 末 页 BCEACBECA36 ， BEC180 ABCECB72 ， CEBCb， ABC的周长为的周长为ABACBC2a3b. 首 页 末 页 32019 怀化怀化若等腰三角形的一个底角为若等腰三角形的一个底角为72 ，则这个
8、等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的顶角为 . 【解析】【解析】 等腰三角形的一个底角为等腰三角形的一个底角为72 ， 这个等腰三角形的顶角为这个等腰三角形的顶角为180 72 236 . 36 首 页 末 页 42018 娄底娄底如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D，DEAB于点于点E，BFAC于点于点F，若，若DE3 cm，则，则BF cm. 6 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点D作作DHAC于点于点H. ABAC，ADBC， AD是是BAC的平分线的平分线 DEAB，DHAC， DHDE3 cm. SABC12AC BF12AB DE12
9、AC DH，且，且ABAC， BFDEDH6 cm. 首 页 末 页 52018 张家界张家界如图，将如图，将ABC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转150 得到得到ADE，这时点，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则恰好在同一直线上，则B的度数为的度数为 . 15 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转150 得到得到ADE， BAD150 ，ABAD. BAD是等腰三角形是等腰三角形 BADB12(180 BAD)15 . 首 页 末 页 62019 常德常德如图，如图，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，ABAC，BAC45 ，点，点D在在AC边上，将边上，将A
10、BD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转45 得到得到ACD，且点，且点D，D，B三点在同一三点在同一直线上，则直线上，则ABD的度数是的度数是 . 225 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据题意可知根据题意可知ABDACD， BACCAD45 ，ADAD， ADDADD180 45267.5 . D，D，B三点在同一直线上，三点在同一直线上， ABDADDBAC22.5 . 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 2018 绍兴绍兴数学课上，张老师举了下面的例题：数学课上，张老师举了下面的例题： 例例1：在等腰三角形：在等腰三角形ABC中，中
11、，A110 ，求，求B的度数的度数(答案：答案：35 ) 例例2：在等腰三角形：在等腰三角形ABC中，中，A40 ，求，求B的度数的度数(答案：答案：40 或或70 或或100 ) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 首 页 末 页 在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，A80 ，求，求B的度数的度数 (1)请你解答以上的变式题；请你解答以上的变式题； (2)解解(1)后，小敏发现，后，小敏发现，A的度数不同，得到的度数不同，得到B的的度数的个数也可能不同如度数的个数也可能不同如果在等腰三角形果在等腰三角形ABC中，设中，设Ax ，那么当，
12、那么当B有三个不同的度数时，请你探索有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围的取值范围 首 页 末 页 【解析】【解析】 (1)由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论； (2)分两种情况：分两种情况：90 x180；0 x90，结合三角形的内角和定理求解即可，结合三角形的内角和定理求解即可 解：解：(1)若若A为顶角，为顶角，B为底角，为底角， 则则B(180 A) 250 ； 若若A为底角，为底角，B为顶角，为顶角， 则则B180 280 20 ； 若若A为底角，为底角，B为底角，则为底角，则B80 . 故故B50 或或20 或
13、或80 . 首 页 末 页 (2)分两种分两种情况：情况： 当当90 x180时，时，A只能为顶角，只能为顶角， B的度数只有一个；的度数只有一个； 当当0 x90时，时， 若若A为顶角，为顶角，B为底角，则为底角，则B 180 x2 ； 首 页 末 页 若若A为底角，为底角，B为顶角，则为顶角，则B(1802x) ； 若若A为底角，为底角，B为底角，则为底角，则Bx . 当当180 x21802x且且1802xx且且180 x2x， 即即x60时，时，B有三个不同的度数有三个不同的度数 综上所述，当综上所述，当0 x90且且x60时，时，B有三个不同的度数有三个不同的度数 【点悟】【点悟】
14、根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形的内角和结合，利根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形的内角和结合，利用方程求解用方程求解 首 页 末 页 12019 衢州衢州“三等分角三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的如图所示的“三等分角仪三等分角仪”能三等分任意角这个三等分角仪由两根有槽的棒能三等分任意角这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在组成，两根棒在O点相连并可绕点相连并可绕O点转动点转动C点固定，点固定，OCCDDE，点，点D，E可在槽中滑动，若可在槽中滑动，若BDE75 ，则，则CDE的度数
15、是的度数是( ) A60 B.65 C75 D.80 D 首 页 末 页 【解析】【解析】 本题考查等腰三角形及三角形外角的性质本题考查等腰三角形及三角形外角的性质 OCCDDE， OCDO，DCECED. DCE2O，EDB3O75 ， O25 ，CEDECD50 ， CDE180 CEDECD180 50 50 80 .故选故选D. 首 页 末 页 22018 遵义遵义如图，在如图，在ABC中，点中，点D在在BC边上，边上，BDADAC，E为为CD的中的中点若点若CAE16 ，则，则B . 37 首 页 末 页 【解析】【解析】 ADAC，E为为CD的中点，的中点， DAC2CAE32 .
16、 ADC12(180 DAC)74 . BDAD，B12ADC37 . 首 页 末 页 类型之二类型之二 等腰三角形的性质与线段的垂直平分线的结合等腰三角形的性质与线段的垂直平分线的结合 2018 黄冈黄冈如图，在如图，在ABC中，中，DE是是AC的垂直平分线，分别交的垂直平分线，分别交BC，AC于点于点D，E，B60 ，C25 ，则，则BAD的度数为的度数为( ) A50 B.70 C75 D.80 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在ABC中，中，B60 ，C25 ， BAC180 60 25 95 . DE是是AC的垂直平分线，的垂直平分线， DADC.DACC25 . BADBA
17、CDAC70 .故选故选B. 首 页 末 页 32018 襄阳襄阳如图，在如图，在ABC中，分别以点中，分别以点A和点和点C为圆心，大于为圆心，大于12AC的长为半的长为半径画弧，两弧相交于点径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，作直线MN，分别交，分别交BC，AC于点于点D，E.若若AE3 cm，ABD的周长为的周长为13 cm，则，则ABC的周长为的周长为( ) A16 cm B.19 cm C22 cm D.25 cm B 首 页 末 页 【解析】【解析】 由尺规作图可知，由尺规作图可知，MN是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线， ADCD，AC2AE6(cm) ABBCABBDDC
18、ABBDADCABD13 cm. CABCABBCAC13619(cm)故选故选B. 首 页 末 页 类型之三类型之三 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 2019 重庆重庆B卷卷如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D. (1)若若C42 ，求，求BAD的度数；的度数； (2)若点若点E在边在边AB上，上，EFAC交交AD的延长线于点的延长线于点F.求证：求证：AEFE. 首 页 末 页 (1)解：解：方法一：方法一：ABAC，C42 ， BC42 ， BAC180 BC180 42 42 96 . ADBC， BAD12BAC1296 48 . 首 页 末 页 方法二：方法
19、二：ABAC，C42 ， BC42 . ADBC于点于点D， ADB90 ， BAD180 90 42 48 . 首 页 末 页 (2)证明：证明：EFAC， CAFF. ABAC，ADBC， CAFBAF， FBAF， AEFE. 【点悟】【点悟】 判定等腰三角形的一般方法是判定等腰三角形的一般方法是“两边相等两边相等”和和“等角对等边等角对等边”两种，两种，这就涉及了证明线段相等或角相等这就涉及了证明线段相等或角相等的问题，因此，结合三角形全等可以解决线段的问题，因此，结合三角形全等可以解决线段相等或角相等的问题相等或角相等的问题 首 页 末 页 42019 无锡无锡如图，在如图，在ABC
20、中，中，ABAC，点，点D，E分别在边分别在边AB，AC上，上，BDCE，BE，CD相交于点相交于点O. 求证：求证：(1)DBCECB； (2)OBOC. 首 页 末 页 证明：证明：(1)ABAC， ECBDBC. 在在DBC与与ECB中，中， BDCE，DBCECB，BCCB， DBCECB(SAS) 首 页 末 页 (2)由由(1)知知DBCECB， DCBEBC， OBOC. 首 页 末 页 类型之四类型之四 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 2019 原创原创如图，已知如图，已知ABC为等边三角形，为等边三角形，D为为BC延长线上的一点，延长线上的一点，CE平分平分AC
21、D，CEBD，求证：，求证：ADE为等边三角形为等边三角形 首 页 末 页 【解析】【解析】 由条件可以证明由条件可以证明ABDACE，得出，得出ADAE，BADCAE，进，进一步得出一步得出DAE60 ，即可证明，即可证明ADE为等边三角形为等边三角形 证明：证明：ABC为等边三角形，为等边三角形， BACBBAC60 ，ABAC. ACD120 . CE平分平分ACD， ACEECD60 . 首 页 末 页 BACE. 在在ABD与与ACE中，中， ABAC，BACE，BDCE， ABDACE(SAS) 首 页 末 页 ADAE，BADCAE. BADCADCAECAD， BACDAE60
22、 . ADE为等边三角形为等边三角形 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质在对一些几何图形的基本性质(如本题是等边三角形的基本性质如本题是等边三角形的基本性质)的掌握之上，借的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解决问题的思路和方法，从而达到解决问助这些图形的特性，可以启发我们寻找解决问题的思路和方法，从而达到解决问题的目的题的目的 首 页 末 页 5如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E分别是分别是AB，BC边上的两个动点边上
23、的两个动点(不与点不与点A，B，C重合重合)，且始终保持，且始终保持BDCE. 首 页 末 页 (1)当点当点D，E运动到如图运动到如图所示的位置时，求证：所示的位置时，求证：CDAE； (2)把图把图中的中的ACE绕着点绕着点A顺时针旋转顺时针旋转60 到到ABF的位置的位置(如图如图)，分别连接，分别连接DF，EF.找出图中所有的等边三角形找出图中所有的等边三角形(ABC除外除外)，并对其中一个给予证明，并对其中一个给予证明 首 页 末 页 (1)证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形， BCCA，BECA60 . 又又BDCE， BCDCAE(SAS) CDAE. 首 页 末 页
24、(2)解：解：图中有图中有2个等边三角形，分别是个等边三角形，分别是BDF，AFE. 如选择如选择AFE是等边三角是等边三角形，证明如下：形，证明如下： 由题意知，由题意知，ACEABF， AFAE，FABEAC. FABBAEEACBAE， 即即FAEBAC60 . AFE是等边三角形是等边三角形 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (60分分) 一、选择题一、选择题(每题每题5分，共分，共25分分) 12018 雅安雅安如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，C72 ，BC5 ，以点，以点B为圆为圆心，心，BC的长为半径画弧，交的长为半径画弧，交AC于点于点D，则线段，则线段AD的长为
25、的长为( ) A2 2 B.2 3 C. 5 D. 6 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在ABC中，中，ABAC，C72 ， ABC72 ，A36 . BCBD， BDCC72 . ABDBDCA36 A. ADBDBC 5.故选故选C. 首 页 末 页 22018 湖州湖州如图，如图，AD，CE分别是分别是ABC的中线和角平分线若的中线和角平分线若ABAC，CAD20 ，则，则ACE的度数是的度数是( ) A20 B.35 C40 D.70 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABAC，AD是是ABC的中线，的中线， ADBC. CAD20 ，ACD70 . CE是是ACB的平分线
26、，的平分线，ACE35 .故选故选B. 首 页 末 页 32019 天水天水如图，等边三角形如图，等边三角形OAB的边长为的边长为2，则点，则点B的坐标为的坐标为( ) A(1,1) B.(1， 3) C( 3，1) D.( 3， 3) B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点B作作BHOA于点于点H. OAB是等边三角形，是等边三角形， OH1，BH 3. 点点B的坐标为的坐标为(1， 3)故选故选B. 首 页 末 页 42019 南充南充如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交BC于点于点E，若若BC6，AC5，则，则ACE
27、的周长为的周长为( ) B A8 B.11 C16 D.17 首 页 末 页 5如图，在如图，在ABC中，中，ABC和和ACB的角平分线交于点的角平分线交于点E，过点，过点E作作MNBC，分别交，分别交AB，AC于点于点M，N.若若BMCN9，则线段，则线段MN的长为的长为( ) A6 B.7 C8 D.9 D 首 页 末 页 【解析】【解析】 ABC，ACB的角平分线相交于点的角平分线相交于点E， MBEEBC，ECNECB. MNBC， EBCMEB，NECECB. MBEMEB，NECECN. BMME，ENCN. BMCN9，MEEN9， 即即MN9.故选故选D. 首 页 末 页 二、
28、填空题二、填空题(每题每题5分，共分，共25分分) 62019 广安广安等腰三角形的两边长分别为等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为，其周长为 cm. 32 【解析】【解析】 由题意知，应分两种情况：由题意知，应分两种情况： (1)当腰长为当腰长为6 cm时，三角形三边长为时，三角形三边长为6 cm,6 cm，13 cm，66”“”“”或或“”) 理由如下：如图理由如下：如图，过点，过点E作作EFBC，交，交AC于点于点F(请你完成解答过程请你完成解答过程)； (3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题 若若ABC的边长为的边长为10，AE2，求，求CD的长的长 首 页 末
29、页 解：解：(1)AEDB.理由如下：理由如下： ABC是等边三角形，点是等边三角形，点E为为AB的中点，的中点， ABCACB60 ，BCE12ACB30 ，AEBE. EDEC， DBCE30 . ABCDBED， BEDABCD30 D. BEDB.AEDB. 首 页 末 页 (2)AEDB.理由如下：理由如下： ABC是等边三角形，是等边三角形， ABCACBA60 . DBE120 . EFBC， AEFABC，AFEACB，FECDCE. AAEFAFE60 . 首 页 末 页 AEF是等边三角形，是等边三角形，EFC120 ，AEEF. EDEC，DDCE， FECD. 在在EFC和和DBE中，中， EFCDBE，FECD，ECDE， 首 页 末 页 EFCDBE(AAS) EFDB.AEDB. (3)ABC的边长为的边长为10， BC10. 由由(2)可知可知AEDB，DB2. CDDBBC21012. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！