1、首 页 末 页 第一部分第一部分 数与代数数与代数 第五章第五章 函数及其图象函数及其图象 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第1818课时课时 二次函数的应用二次函数的应用 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题 建建 模：模：把问题中的各个量用两个变量来表示，并建立两种量的二次函数把问题中的各个量用两个变量来表示，并建立两种量的二次函数关关系，再求二次函数的最大系，再求二次函数的最大(小小)值，从而解决实际问题值，从而解决实际问题 注注 意：意：在实际问题中，自变量的取值往往
2、受到制约，不要忽略自变量的取值在实际问题中，自变量的取值往往受到制约，不要忽略自变量的取值范围，要在允许的范围内取值范围，要在允许的范围内取值 2建立平面直角坐标系，利用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，利用二次函数的图象解决实际问题 注注 意：意：建立平面直角坐标系时，遵从建立平面直角坐标系时，遵从“就简避繁就简避繁”的原则，这样求解析式比的原则，这样求解析式比较简便较简便 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 2018 衡阳衡阳一名在校大学生利用一名在校大学生利用“互联网互联网”自主创业，销售一种产品，这种产自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为品的成本价为10元元/件已
3、知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售件已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于价不高于16元元/件市场调查发现，该产品每天的销售量件市场调查发现，该产品每天的销售量y(件件)与售价与售价x(元元/件件)之间之间的函数关系如图所示的函数关系如图所示 (1)求求y与与x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围； (2)求每天的销售利润求每天的销售利润W(元元)与售价与售价x(元元/件件)之间的函数关系之间的函数关系 式每件售价为多少元时，一天的销售利润最大？最大利式每件售价为多少元时，一天的销售利润最大？最大利 润是多少？润是多
4、少？ 首 页 末 页 解：解：(1)设设y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为ykxb(k0) 把把(10,30)，(16,24)代入，得代入，得 10kb30，16kb24.解得解得 k1，b40. y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为yx40(10 x16) 首 页 末 页 (2)W(x10)(x40) x250 x400 (x25)2225. 10 x16， 当当x16时，时，W最大，最大为最大，最大为144， 即当售价为即当售价为16元元/件时，一天的销售利润最大，最大利润是件时，一天的销售利润最大，最大利润是144元元 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类
5、型之一 利用二次函数解决抛物线形问题利用二次函数解决抛物线形问题 2018 衢州衢州某游乐园有一个直径为某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3 m处达到最高，高度为处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系 首 页 末 页 (1)求水柱所在抛物线求水柱所
6、在抛物线(第一第一象限部分象限部分)的函数关系式的函数关系式 (2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物原装饰物(高度不变高度
7、不变)处汇合请探究扩建改造后水柱的最大高度处汇合请探究扩建改造后水柱的最大高度 首 页 末 页 解：解：(1)抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(3,5)， 设其函数关系式为设其函数关系式为ya(x3)25(a0) 将将(8,0)代入关系式，求得代入关系式，求得a15. 抛物线的函数关系式为抛物线的函数关系式为y15(x3)25， 即即y15x265x165(0 x8) 首 页 末 页 (2)当当y1.8时，时，1.815x265x165， 解得解得x17，x21(舍去舍去) 答：王师傅必须站在离水池中心答：王师傅必须站在离水池中心7 m以内以内 (3)由由y15x265x165可得原抛物线
8、与可得原抛物线与y轴的交点为轴的交点为 0，165. 装饰物的高度不变，装饰物的高度不变， 新抛物线也经过点新抛物线也经过点 0，165. 首 页 末 页 喷水柱的形状不变，喷水柱的形状不变，a15. 直径扩大到直径扩大到32 m， 新抛物线过点新抛物线过点(16,0) 设新抛物线为设新抛物线为y新新15x2bxc(0 x4时，时，y随随x值的增大而减小，值的增大而减小，B正确；正确； 首 页 末 页 联立方程联立方程y4x12x2与与y12x，解得，解得 x0，y0或或 x7，y72，则抛物线与直线的交点则抛物线与直线的交点坐标为坐标为(0,0)和和 7，72，C正确；正确； 由点由点 7，
9、72知坡度为知坡度为72712(也可以根据也可以根据y12x中系数中系数12的意义判断坡度为的意义判断坡度为12)，D正确故选正确故选A. 首 页 末 页 类型之二类型之二 利用二次函数解决商品销售问题利用二次函数解决商品销售问题 2019 黔三州黔三州某山区不仅有美丽风光，还有许多令人喜爱的土特产，为实某山区不仅有美丽风光，还有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本为知某种土特产每袋成本为10元试元试销阶段每袋的售价销阶段每袋的售价x(元元)与该土特
10、产的日销售量与该土特产的日销售量y(袋袋)之间的关系如下表：之间的关系如下表： 首 页 末 页 x/元元 15 20 30 y/袋袋 25 20 10 若日销售量若日销售量y是售价是售价x的一次函数，试求：的一次函数，试求： (1)日销售量日销售量y(袋袋)与售价与售价x(元元)的函数关系式；的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？大，每袋的售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 首 页 末 页 【解析】【解析】 (1
11、)首先设日销售量首先设日销售量y(袋袋)与售价与售价x(元元)的函数关系式为的函数关系式为ykxb(k0)，然后在表格中选取两组数代入关系式，解出然后在表格中选取两组数代入关系式，解出k和和b的值即可；的值即可； (2)写写出利润出利润w的解析式并配方即可得出当的解析式并配方即可得出当x取何值时取何值时w取得最大值取得最大值 解：解：(1)设日销售量设日销售量y(袋袋)与售价与售价x(元元)的函数关系式为的函数关系式为ykxb(k0)， 由题意，得由题意，得 15kb25，20kb20.解得解得 k1，b40. 日销售量日销售量y(袋袋)与售价与售价x(元元)的函数关系式为的函数关系式为yx4
12、0. 首 页 末 页 (2)根据题意可得这种土特产的利润根据题意可得这种土特产的利润w(x10)(x40)x250 x400(x25)2225. 当当x25时时w取得最大值，取得最大值，w最大值最大值225. 答：每袋的售价应定为答：每袋的售价应定为25元，每日销售的最大利润是元，每日销售的最大利润是225元元 首 页 末 页 42019 宿迁宿迁超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元元(市场管理部门规市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过定，该种玩具每件利润不能超过60元元)，那么每天可售出，那么每天可售出50件根据市场调查发件根据市场调查发现，销
13、售单价每增加现，销售单价每增加2元，每天的销售量就会减少元，每天的销售量就会减少1件设销售单价增加件设销售单价增加x元，每元，每天售出天售出y件件 (1)请写出请写出y与与x之间的函数表达式；之间的函数表达式； (2)当当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利为多少时，超市每天销售这种玩具可获利2 250元？元？ (3)设超市每天销售这种玩具可获利设超市每天销售这种玩具可获利w元，当元，当x为多少时为多少时w最大，最大值是多少？最大，最大值是多少？ 首 页 末 页 解：解：(1)根据题意，得，根据题意，得，y12x50. (2)根据题意，得根据题意，得(40 x) 12x50 2 250， 解
14、得解得x150，x210. 每件利润不能超过每件利润不能超过60元，元， x10. 答：当答：当x为为10时，超市每天销售这种玩具可获利时，超市每天销售这种玩具可获利2 250元元 首 页 末 页 (3)根据题意，得根据题意，得w(40 x) 12x50 12x230 x2 00012(x30)22 450. a120， 当当x30时，时，w随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x20时，时，w最大为最大为2 400. 答：当答：当x为为20时时w最大，最大值是最大，最大值是2 400. 首 页 末 页 52019 衢州衢州某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为某宾馆有若干间标准房，当标准房
15、的价格为200元时，每天入住的元时，每天入住的房间数为房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170240元之间元之间(含含170元，元，240元元)浮动时，每天入住浮动时，每天入住的房间数的房间数(间间)与每间标准房的价格与每间标准房的价格x(元元)的数的数据如下表：据如下表： 首 页 末 页 (1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象；根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象； (2)求求y关于关于x的函数表达式，并写出自变量的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围； (3)设客房的日营业额为设客房的日营
16、业额为w(元元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？ 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图 变式跟进变式跟进5答图答图 首 页 末 页 (2)设设ykxb(k0)，把，把(200,60)和和(220,50)代入，代入， 得得 200kb60，220kb50.解得解得 k12，b160. y12x160(170 x240) 首 页 末 页 (3)wx yx 12x160 12(x160)212 800. a120， 当当170 x240时，时，w随随x的增
17、大而减小的增大而减小 故当故当x取取170时，时，w有最大值，最大为有最大值，最大为12 750. 【点悟】【点悟】 此题是二次函数在销售问题方面的应用利用二次函数解决销售问题此题是二次函数在销售问题方面的应用利用二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，解决这类问题一般是先求出两个变量的一次函数是我们生活中经常遇到的问题，解决这类问题一般是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值关系，再求二次函数关系，然后转化为求二次函数的最值 首 页 末 页 类型之三类型之三 二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用 2017 绍兴绍兴某农场拟建一间矩形
18、种牛饲养室，饲养室的一面靠墙某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够墙足够长长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室的长为设饲养室的长为x(m)，占，占地面积为地面积为y(m2) 首 页 末 页 (1)如图如图，问饲养室的长为多少时，占地面积最大？，问饲养室的长为多少时，占地面积最大？ (2)如图如图，现要求在图中所示位置留，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大小敏说：大小敏说：“只要饲养室的长比只要饲养室的长比(1)中的长中的长多多2 m就行了就行了”请你通过计算，
19、判请你通过计算，判断小敏的说法是否正确断小敏的说法是否正确 解：解：(1)yx50 x212(x25)26252， 当当x25时，占地面积最大，时，占地面积最大， 即饲养室的长为即饲养室的长为25 m时，占地面积最大时，占地面积最大 首 页 末 页 (2)不正确，不正确，yx50 x2 212(x26)2338， 当当x26时，占地面积最大，时，占地面积最大， 即饲养室的长为即饲养室的长为26 m时，占地面积最大时，占地面积最大 262512，小敏的说法不正确小敏的说法不正确 首 页 末 页 62018 沈阳沈阳如图，一块矩形土地如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与由篱笆围着，并
20、且由一条与CD边平行边平行的篱笆的篱笆EF分开已知篱笆的总长为分开已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计篱笆的厚度忽略不计)，当，当AB m时，矩形土地时，矩形土地ABCD的面积最大的面积最大 150 首 页 末 页 【解析】【解析】 设设ABx m，矩形土地，矩形土地ABCD的面积为的面积为y m2. 由题意，得由题意，得yx9003x232(x150)233 750. 320， 该函数图象开口向下，当该函数图象开口向下，当x150时，该函数有最大值，即时，该函数有最大值，即AB150 m时，矩形时，矩形土地土地ABCD的面积最大的面积最大 首 页 末 页 7某农场拟建三间矩形种牛饲
21、养室，饲养室的一面靠墙某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长墙长50 m)，中间用两道，中间用两道墙隔开墙隔开(如图如图)已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间矩形种，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积的最大值为牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2. 144 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图如答图 变式跟进变式跟进7答图答图 设总占地面积为设总占地面积为S m2，AB的长度为的长度为x m. 由题意，知由题意，知ABCDEFGHx m， BH484x. 00，0 x1.55，此球能过网此球能过网 首 页 末 页 (2)把
22、点把点(0,1)， 7，125代入代入ya(x4)2h， 得得 16ah1，9ah125.解得解得 a15，h215. a15. 首 页 末 页 (16分分) 11(16分分)2019 绍兴绍兴有一块形状如图的五边形余料有一块形状如图的五边形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90 ，C135 ，E90 .要在这块余料中截取一块矩形材要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在料，其中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大上，并使所截矩形的面积尽可能大 (1)若所截矩形材料的一条边是若所截矩形材料的一条边是BC或或AE，求矩形材料的面积；，求矩形材料的面积； (2)能否截出比能否截出比(1
23、)中面积更大的矩形材料？如果能，请求出矩形材中面积更大的矩形材料？如果能，请求出矩形材 料面积的最大值，如果不能，请说明理由料面积的最大值，如果不能，请说明理由 首 页 末 页 解：解：(1)截法一：如答图截法一：如答图，S四边形四边形ABCFAB BC6530. 截法二：如答图截法二：如答图.过点过点C作作CHFG于点于点H. 则四边形则四边形BCHG为矩形，为矩形，CHF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， HGBC5，BGCH，FHCH， BGCHFHFGHGAEHG651， AGABBG615. S四边形四边形AGFEAE AG6530. 首 页 末 页 (2)如答图如答图，在，在CD上取点上取点F，过点，过点F作作FMAB于点于点M，FNAE于点于点N，过点，过点C作作CGFM于点于点G. 则四边形则四边形AMFN，BCGM为矩形，为矩形， CGF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， MGBC5，BMCG，FGCG. 设设AMx，则，则BM6x， 第第11题答图题答图 首 页 末 页 FMGMFGGMCGBCMB11x， S四边形四边形AMFNAM FMx(11x)(x5.5)230.25， 当当x5.5时，时，S的最大值为的最大值为30.25. 30.2530， 能截出此能截出此(1)中面积更大的矩形材料中面积更大的矩形材料