1、首 页 末 页 第一部分第一部分 数与代数数与代数 第三章第三章 方程与方程组方程与方程组 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第8 8课时课时 二元一次方程组二元一次方程组 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1二元一次方程的有关概念二元一次方程的有关概念 定义：定义：含有含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程的整式方程 二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫做的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程的
2、解 两个两个 1 相等相等 首 页 末 页 2二元一次方程组的有关概念二元一次方程组的有关概念 定义：定义：把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组组 二元一次方程组的解：二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解 公共解公共解 首 页 末 页 3二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 代入消元法：代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知
3、数用 表示出来，再表示出来，再 另一个方程，消去一个未知数得到一元另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法叫做代入消元法，简称代入法 含另含另 一个未知数的式子一个未知数的式子 代入代入 首 页 末 页 易错点：易错点：(1)在用代入消元法求解时，不能正确地用其中一个未知数去表示另一个在用代入消元法求解时，不能正确地用其中一个未知数去表示另一个未知数；未知数； (2)在求一个未知数时，还原代入了原方程在求一个未知数时，还原代入了原方程
4、加减消元法：加减消元法：当两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将当两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别两个方程的两边分别 或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法 其他方法：其他方法：在解二元一次方程组时，也可以用整体代入、换元等方法来解决在解二元一次方程组时，也可以用整体代入、换元等方法来解决 相加相加 首 页 末 页 4运用二元一次方程组解决实际问题运用二元一次方程
5、组解决实际问题 步骤：步骤：(1)设两个未知数；设两个未知数； (2)根据已知条件列出与未知数的个数相等的两根据已知条件列出与未知数的个数相等的两个独立方程组成的方程组；个独立方程组成的方程组； (3)解方程组；解方程组； (4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义检验求得的未知数的值是否符合实际意义 首 页 末 页 5三元一次方程组的概念和解法三元一次方程组的概念和解法 定义：定义：含有含有 未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ，并且一，并且一共有共有 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组 思路：思路：用代
6、入法、加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元用代入法、加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一次方程组一次方程组 三元一次方程组三元一次方程组消元消元二元一次方程组二元一次方程组消元消元一元一次方程一元一次方程 三个三个 三个三个 1 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 长沙长沙孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？长几何？”意思是：用一根绳
7、子去量一根木头的长，绳子还剩余意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是尺，则所列方程组正确的是( ) 首 页 末 页 A. yx4.5，0.5yx1 B. yx4.5，y2x1 C. yx4.5，0.5yx1 D. yx4.5，y2x1 【解析】【解析】 根据题意找出相等关系式，可得方程组根据题意找出相等关系式，可得方程组 yx4.5，0.5yx1.故选故选A. 【答案答案】 A 首 页 末 页
8、 22019 邵阳邵阳某出租车起步价所包含的路程为某出租车起步价所包含的路程为02 km，超过，超过2 km的部分按每千的部分按每千米另收费津津乘坐这种出租车走了米另收费津津乘坐这种出租车走了7 km，付了，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km，付了，付了28元设这种出租车的起步价为元设这种出租车的起步价为x元，超过元，超过2 km后超过部分每千米收后超过部分每千米收费费y元，则下列方程组正确的是元，则下列方程组正确的是( ) A. x7y16，x13y28 B. x 72 y16，x13y28 C. x7y16，x 132 y28 D. x 72 y16，x
9、 132 y28 D 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据题意，可得方程组为根据题意，可得方程组为 x 72 y16，x 132 y28.故选故选D. 首 页 末 页 32019 常德常德二元一次方程组二元一次方程组 xy6，2xy7的解为的解为 . x1，y5 【解析】【解析】 xy6， 2xy7. ，得，得x1，将，将x1代入代入，得，得y5.方程组的方程组的解为解为 x1，y5. 首 页 末 页 42019 常州常州若若 x1，y2是关于是关于x，y的二元一次方程的二元一次方程axy3的解，则的解，则a . 1 【解析】【解析】 将将 x1，y2代入方程代入方程axy3，得，得a23，
10、解得，解得a1. 首 页 末 页 52019 怀化怀化解二元一次方程组：解二元一次方程组： x3y7，x3y1. 解：解： x3y7， x3y1. ，得，得2x8， 解得解得x4. 首 页 末 页 把把x4代入代入，得，得y1. 方程组的解为方程组的解为 x4，y1. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 二元一次方程二元一次方程(组组)的有关概念的有关概念 2019 菏泽菏泽已知已知 x3，y2是方程组是方程组 axby2，bxay3的解，则的解，则ab的值是的值是( ) A1 B.1 C5 D.5 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 将将 x3，y2代入代入 axby
11、2，bxay3， 可得可得 3a2b2，3b2a3. 两式相加，得两式相加，得ab1.故选故选A. 【点悟】【点悟】 二元一次方程组的解适合方程组中的每一个方程，只要把解代入原方二元一次方程组的解适合方程组中的每一个方程，只要把解代入原方程组，则可利用解方程组的方法求出待定字母的值程组，则可利用解方程组的方法求出待定字母的值 首 页 末 页 1甲、乙两人共同解方程组甲、乙两人共同解方程组 ax5y15， 4xby2. 由于甲看错了方程由于甲看错了方程中的中的a，得，得到方程组的解为到方程组的解为 x3，y1；乙看错了方程乙看错了方程中的中的b，得到方程组的解为，得到方程组的解为 x5，y4.
12、(1)求出求出a，b的值；的值； (2)求求2a3b5的立方根的立方根 首 页 末 页 解：解：(1)将将x3，y1代入代入，得，得12b2. b10. 将将x5，y4代入代入，得，得5a2015. a1. (2)a1，b10， 2a3b5230527. 27的立方根为的立方根为3. 首 页 末 页 类型之二类型之二 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 用两种方法解方程组用两种方法解方程组 2x5y3， 4xy3. 解：解：(方法一方法一)加减法：加减法： 2，得，得9y9，解得，解得y1. 将将y1代入代入，得，得2x53， 解得解得x1. 故方程组的解为故方程组的解为 x1，y1.
13、首 页 末 页 (方法二方法二)代入法：代入法： 由由得得y4x3. 将将y4x3代入代入，得，得2x5(4x3)3， 解得解得x1. 将将x1代入代入y4x3，得，得y431. 故方程组的解为故方程组的解为 x1，y1. 首 页 末 页 22019 金华金华解方程组：解方程组： 3x4 x2y 5，x2y1. 解：解： 3x4 x2y 5， x2y1. 由由，得，得x8y5， ，得，得6y6，解得，解得y1. 把把y1代入代入，得，得x211.解得解得x3. 原方程组的解为原方程组的解为 x3，y1. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 当两个方程中的某个未知数的系数相等当两个方程中的某个未知
14、数的系数相等(或互为相反数或互为相反数)，或者相应系，或者相应系数之间存在倍数关系时，一般采用加减消元法数之间存在倍数关系时，一般采用加减消元法求解，其步骤是运用等式性质，把求解，其步骤是运用等式性质，把某一个未知数的系数化成相同的数某一个未知数的系数化成相同的数(或相反数或相反数)，通过相减，通过相减(或相加或相加)消去一个未知消去一个未知数，达到消元求解的目的数，达到消元求解的目的 首 页 末 页 类型之三类型之三 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 2019 陇南陇南小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求中性小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求中性笔和笔记本的
15、单价分别是多少元笔和笔记本的单价分别是多少元 首 页 末 页 解：解：设中性笔和笔记本的单价分别是设中性笔和笔记本的单价分别是x元、元、y元元 根据题意，可得根据题意，可得 12y20 x112，12x20y144.解得解得 x2，y6. 答：中性笔和笔记本的单价分别是答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、元、6元元 首 页 末 页 32018 长沙长沙随着中国传统节日随着中国传统节日“端午节端午节”的临近，东方红商场决定开展的临近，东方红商场决定开展“欢欢度端午，回馈顾客度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌
16、粽子打八折，乙品牌粽子打七五折已知打折前，买牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折已知打折前，买6盒甲品牌粽子和盒甲品牌粽子和3盒乙品盒乙品牌粽子需要牌粽子需要660元；打折后，买元；打折后，买50盒甲品牌粽子和盒甲品牌粽子和40盒盒乙品牌粽子需要乙品牌粽子需要5 200元元 (1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ (2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？子比不打折节省了多少钱？ 首 页 末 页 解：解：(1)设打折前甲品牌粽
17、子每盒设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒y元根据题意，得元根据题意，得 6x3y660，500.8x400.75y5 200.解得解得 x70，y80. 答：打折前甲品牌粽子每盒答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒80元元 (2)8070(180%)10080(175%)3 120(元元) 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 120元元 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)解决此类问题的关键是读懂题意，从中找出已知的或隐含的等量关解决此类问题的关键是读懂题意，从中找出已知的或隐含的等量关系列出方程
18、组并求解；系列出方程组并求解； (2)若可以用一个未知量表示另一个未知量，此种问题可转化为一元一次方程来若可以用一个未知量表示另一个未知量，此种问题可转化为一元一次方程来解解 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (60分分) 一、选择题一、选择题(每题每题7分，共分，共28分分) 12019 天津天津方程组方程组 3x2y7，6x2y11的解是的解是( ) A. x1，y5 B. x1，y2 C. x3，y1 D. x2，y12 D 首 页 末 页 【解析】【解析】 观察方程组可以发现，两个方程中观察方程组可以发现，两个方程中y的系数互为相反数，的系数互为相反数，可以选择加可以选择加减消元
19、法，将两个方程相加，消去未知数减消元法，将两个方程相加，消去未知数y，可得，可得x2，从而求出，从而求出y的值故选的值故选D. 首 页 末 页 22019 贺州贺州已知方程组已知方程组 2xy3，x2y5，则则2x6y的值是的值是( ) A2 B.2 C4 D.4 C 【解析】【解析】 两式相减，得两式相减，得x3y2， 2(x3y)4，即，即2x6y4.故选故选C. 首 页 末 页 32019 巴中巴中已知关于已知关于x，y的二元一次方程组的二元一次方程组 axy4，3xby4的解是的解是 x2，y2，则则ab的值是的值是( ) A1 B.2 C1 D.0 B 首 页 末 页 【解析】【解析
20、】 将将 x2，y2代入方程组，得代入方程组，得 2a24，62b4. 解得解得 a1，b1.ab2.故选故选B. 首 页 末 页 42019 重庆重庆A卷卷九章算术中有这样一个题：今有甲、乙二人持钱不知其九章算术中有这样一个题：今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？其意思数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱若乙把其一半的钱给甲，则甲的为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为钱数为50；而若甲把其；而若甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为的钱给乙，
21、则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱？设问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为甲的钱数为x，乙的钱数为，乙的钱数为y，则可建立方程组为，则可建立方程组为( ) 首 页 末 页 A. x12y50，23xy50 B. x12y50，x23y50 C. 12xy50，23xy50 D. 12xy50，x23y50 【答案答案】 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据根据“甲甲的钱乙的钱的一半的钱乙的钱的一半50；甲的钱的；甲的钱的23乙的钱乙的钱50”可得方可得方程组程组 x12y50，23xy50.故选故选A. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题7分，共分，共21分分) 52019
22、苏州苏州若若a2b8,3a4b18，则，则ab的值为的值为 . 【解析】【解析】 (a2b)(3a4b)2(ab)81810，ab5. 5 首 页 末 页 62019 自贡自贡某活动小组购买了某活动小组购买了4个篮球和个篮球和5个足球，一共花费了个足球，一共花费了466元，其中篮元，其中篮球的单价比足球的单价多球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为元，求篮球的单价和足球的单价设篮球的单价为x 元，足球的单价为元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为元，依题意，可列方程组为 . xy4，4x5y466 【解析】【解析】 根据根据“篮球的单价比足球的单价多篮球的单价比
23、足球的单价多4元元”可列方程可列方程xy4； 根据根据“买了买了4个篮球和个篮球和5个足球，一共花费了个足球，一共花费了466元元”可列方程可列方程4x5y466. 联立成方程组为联立成方程组为 xy4，4x5y466. 首 页 末 页 72019 泰安泰安九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：”今今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金意思是：甲袋中装有黄金9枚枚(每枚黄金重量相同每
24、枚黄金重量相同)，乙袋中装有白，乙袋中装有白银银11枚枚(每枚白银重量相同每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻枚后，甲袋比乙袋轻了了13两两(袋子的重量忽略不计袋子的重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为两，根据题意可列方程组为 . 9x11y， 10yx 8xy13 首 页 末 页 【解析】【解析】 甲袋中装有黄金甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，可得枚，称重两袋相等，可得9x1
25、1y，两袋互相交换，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得两，可得(10yx)(8xy)13， 方程组为方程组为 9x11y， 10yx 8xy 13. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共11分分) 8(11分分)解二元一次方程组：解二元一次方程组： (1) x3y0，2xy5；(代入法代入法) 解：解： x3y0， 2xy5. 由由，得，得x3y， 首 页 末 页 把把代入代入，得，得23yy5， 解得解得y1. 把把y1代入代入，得，得x3， 则方程组的解为则方程组的解为 x3，y1. 首 页 末 页 (2)2019 广州广州 xy1，x3y9.(加减法
26、加减法) 解：解： xy1， x3y9. ，得，得4y8，解得，解得y2， 把把y2代入代入，得，得x21，解得，解得x3. 故原方程组的解为故原方程组的解为 x3，y2. 首 页 末 页 (25分分) 9(12分分)2019 淄博淄博“一带一路一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的的A，B两种产品在欧洲市场热销今年第一季度这两种两种产品在欧洲市场热销今年第一季度这两种产品的销售总额为产品的销售总额为2 060万元，总利润为万元，总利润为1 020万元万元(利润售价成本利润售价成本)，其每件产品的成本和售价信息如，其每件产品的成本和售价信息
27、如下表：下表： A B 成本成本(单位：万元单位：万元/件件) 2 4 售价售价(单位：万元单位：万元/件件) 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？ 首 页 末 页 解：解：设设A种产品的销售件数为种产品的销售件数为x件，件，B种产品的销售件数为种产品的销售件数为y件，由题意列方程，件，由题意列方程，得得 5x7y2 060，3x3y1 020.解得解得 x160，y180. 答：答：A种产品的销售件数为种产品的销售件数为160件，件，B种产品的销售件数为种产品的销售件数为180件件 首 页 末 页 10(13分分)2019 盐城盐城体育器材
28、室有体育器材室有A，B两种型号的实心球，两种型号的实心球，1只只A型球与型球与1只只B型球的质量共型球的质量共7 kg,3只只A型球与型球与1只只B型球的质量共型球的质量共13 kg. (1)每只每只A型球、型球、B型球的质量分别是多少千克？型球的质量分别是多少千克？ (2)现有现有A型球、型球、B型球的质量共型球的质量共17 kg，则，则A型球、型球、B型球各有多少只？型球各有多少只？ 首 页 末 页 解：解：(1)设每只设每只A型球的质量为型球的质量为x kg，每只，每只B型球的质量为型球的质量为y kg，由题意得，由题意得 xy7，3xy13.解得解得 x3，y4. 答：每只答：每只A型
29、球的质量为型球的质量为3 kg，每只，每只B型球的质量为型球的质量为4 kg. 首 页 末 页 (2)设设A型球有型球有a只，只，B型球有型球有b只，只， 则则3a4b17，a174b3. a，b分别是正整数，分别是正整数， a3，b2. 答：答：A型球有型球有3只、只、B型球有型球有2只只 首 页 末 页 (15分分) 11(15分分)2019 岳阳岳阳岳阳市整治农村岳阳市整治农村“空心房空心房”新模式，获评全国改革开放新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新年地方改革创新40案例据了解，我市某地区对辖区内案例据了解，我市某地区对辖区内“空心房空心房”进行整治，腾进行整治，腾退土地退土地1
30、 200亩用于复耕和改造，其中复耕土地的面积比改造土地的面积多亩用于复耕和改造，其中复耕土地的面积比改造土地的面积多600亩亩 首 页 末 页 (1)求复耕土地和改造土地的面积各为多少亩；求复耕土地和改造土地的面积各为多少亩； (2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场的总面积不超过花卉园总面积的场，要求休闲小广场的总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场的总面积，求休闲小广场的总面积最多为多少亩最多为多少亩 首 页 末 页 解：解：(1)设复耕土地的面积为设复耕土地的面积为x亩，改造土地的面积为亩，改造土地的面积为y亩，根据题意，得亩，根据题意，得 xy1 200，xy600.解得解得 x900，y300. 答：复耕土地的面积为答：复耕土地的面积为900亩，改造土地的面积为亩，改造土地的面积为300亩亩 首 页 末 页 (2)设休闲小广场的面积为设休闲小广场的面积为m亩，则花卉园的面积为亩，则花卉园的面积为(300m)亩，根据题意，得亩，根据题意，得 m13(300m)， 解得解得m75. 答：休闲小广场的总面积最多为答：休闲小广场的总面积最多为75亩亩