1、20222022 年中考数学一轮复习年中考数学一轮复习学案学案 0303：因式分解：因式分解 中考命题中考命题说明说明 考点 课标要求 考查角度 1 因式 分解 理解因式分解的概念； 会用提公因式法、 公式法等方法进行因式分解 考查因式分解的两种方法 以选择题、填空题为主 思维思维导图导图 知识点知识点 1 1：因式分解的：因式分解的概念概念 知识点知识点梳理梳理 1. 因式分解的因式分解的定义定义：把一个多项式化成几个整式的 乘乘积积 的形式， 这样的变形叫做把这个多项式因式分因式分解解也叫做把这个多项式分解因式分解因式 2. 辨析辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是
2、一个式子的不同表现形式因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式 典型例题典型例题 【例 1】（3 分） （2021呼伦贝尔兴安盟 2/26）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A(a+b)(a-b)=a2-b2 Bx2-2x+1=(x-1)2 C121(2)aaa Dx2+6x+8=x(x+6)+8 【考点】因式分解十字相乘法等；因式分解的意义 【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做分解因式 根据定义即可进行判断 【解答】解：A、(a+b)(a-b)=a2-b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不
3、符合题意； B、x2-2x+1=(x-1)2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意； C、121(2)aaa ，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、x2+6x+8=x(x+6)+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题主要考查了因式分解的定义解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算 【例 2】（3 分） （2020河北 3/26）对于x-3xy = x(1-3y)，(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右
4、的变形，表述正确的是（ ） A都是因式分解 B都是乘法运算 C是因式分解，是乘法运算 D是乘法运算，是因式分解 【考点】因式分解提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可 【解答】解：x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解； (x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以是因式分解，是乘法运算 故选：C 【点评】此题考查了因式分解解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 知识点
5、知识点 2 2：因式分解因式分解的方法的方法与与步骤步骤 知识点知识点梳理梳理 1. 一般方法：一般方法： （1）提公因式法：提公因式法： 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法 用字母表示：用字母表示：mambmcm(abc) 公因式的确定：公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. （2）运用公式法：运用公式
6、法： 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. a2b2(ab)(ab)； a2 2abb2(a b)2 （3）十字相乘法十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) （4）分组分解法：分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式 2. 一般步骤一般步骤：一提一提（提公因式） ；二套二套（套公式） ；三验三验（检验是否分解彻底） 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止 典型例题典型例题 利用提公因式法利用提公因式法分解因式分解因式 【例 3
7、】（2020海南 13/22）因式分解：x2-2x = 【考点】因式分解提公因式法 【分析】原式提取 x 即可得到结果 【解答】解：原式= x(x-2)， 故答案为：x(x-2) 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键 【例 4】把6x3y23x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ） A3x2y2 B2x2y2 C6x2y2 Dx2y2 【分析】6x3y23x2y2+8x2y3x2y2（6x+38y） 故把6x3y23x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：x2y2 故选 D 【答案】D 利用利用平方平方差差公式分解因式公式分解因式 【
8、例 5】（3 分）（2021江西 8/23）因式分解：x24y2 【考点】因式分解运用公式法 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解 【解答】解：x24y2（x+2y）（x2y） 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键平方差公式：a2b2（a+b）（ab） 利用利用完全平方公式分解因式完全平方公式分解因式 【例 6】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） Ax2 1 Bx22x1 Cx2x1 Dx24x4 【分析】A不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式； B不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式； C不符合完全平方公式的结构，不能完
9、全平方公式分解因式； D符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式； 故选 D 【答案】D 利用十字相乘法利用十字相乘法分解因式分解因式 【例 7】已知二次三项式 x2+bx+c 分解因式为（x3）（x+1），则 b+c 的值为（ ） A1 B1 C5 D5 【分析】二次三项式 x2+bx+c 分解因式为（x3）（x+1）， x2+bx+c（x3）（x+1）x22x3，b2，c3，故 b+c5 故选 C 【答案】C 【例 8】分解因式：x22x24= 【分析】x22x24（x6）（x+4） 【答案】（x6）（x+4） 利用分组分解法利用分组分解法分解因式分解因式 【例 9】因式分解：x2
10、 y2 2x+2y 【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式 xy 即可. 【答案】x2 y22x+2y = (x2 y2 )( 2x2y ) = ( x+y ) ( x y ) 2 ( xy ) = ( xy ) ( x+y2 ) 几种几种方法的综合运用方法的综合运用 【例 10】（3 分） （2021呼和浩特 11/24）因式分解：x3y-4xy= 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式 xy，再利用平方差公式对因式 x2-4 进行分解 【解答】解：x3y-4xy= xy(x2-4)= xy(x+2)(x-2) 【点评】本题是考查学生对分解因式
11、的掌握情况因式分解有两步，第一步提取公因式 xy，第二步再利用平方差公式对因式 x2-4 进行分解，得到结果 xy(x+2)(x-2)，在作答试题时，许多学生分解不到位，提取公因式不完全，或者只提取了公因式 【例 11】（2 分）（2021北京 10/28）分解因式：5x25y2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】提公因式后再利用平方差公式即可 【解答】解：原式5（x2y2）5（x+y）（xy）， 故答案为：5（x+y）（xy） 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提 巩固巩固训练训练 1.（3 分）（2020吉林 7/26）分解因式：
12、2aab 2.（3 分）（2020广东 11/25）分解因式：xyx 3. 分因式分解：a22a= 4. 分因式分解：3a26a= 5. 分解因式：2a26a= 6. 若 a=2，a2b=3，则 2a24ab 的值为 7.（3 分） （2021包头 13/26）因式分解：24axaxa 8.（3 分） （2021云南 13/23）分解因式：x3-4x= 9.（3 分）（2021陕西 9/26）分解因式 x3+6x2+9x 10.（3 分）（2020兴安盟呼伦贝尔 14/26）分解因式：234a bb 11.（3 分）（2020青海 2/28）分解因式：2222axay ；不等式组24 030
13、xx 的整数解为 12.（3 分）（2020安徽 12/23）分解因式：2aba 13.（3 分）（2019赤峰 15/26）因式分解：x32x2y+xy2 14.（3 分）（2019安徽 9/23）已知三个实数 a，b，c 满足 a2b+c0，a+2b+c0，则（ ） Ab0，b2ac0 Bb0，b2ac0 Cb0，b2ac0 Db0，b2ac0 15.（3 分）（2019呼和浩特 11/25）因式分解：x2y4y3 16.（3 分）（2018呼和浩特 11/25）分解因式：a2b9b 17. （3 分）（2018兴安盟呼伦贝尔 13/26）分解因式：a3 (x-3)+(3-x) a= 18
14、.（3 分）（2018赤峰 13/26）分解因式：2a28b2 19.（3 分）（2018巴彦淖尔 11/24）分解因式：8a28a32a 20. 分解因式：3x227 = 21. 分解因式：x3y2x2y+xy = 22. 分解因式：ma2mb2= 23. 分解因式：3x212= 24. 分解因式：x3x = . 25. 因式分解： x3yxy= 26. 分解因式：224)(bba= 27. a4ab2分解因式结果是 28. 将（a1）21 分解因式，结果正确的是（ ） Aa（a1） Ba（a2） C （a2） （a1） D （a2） （a+1） 29.（3 分）（2020宁夏 9/26）分
15、解因式：3a2-6a+3= 30.（3 分）（2020新疆兵团 11/23）分解因式：am2-an2 = 31. 分解因式：（2x+y）2（x+2y）2 32. 在实数范围内分解因式：a33a 巩固训练巩固训练解析解析 1.（3 分）分）（2020吉林吉林 7/26）分解因式：）分解因式：2aab ()a ab 【考点】因式分解提公因式法 【分析】直接把公因式a提出来即可 【解答】解：2()aaba ab 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键 2.（3 分）分）（2020广东广东 11/25）分解因式：）分解因式：xyx (1)x y 【考点】因式分解提公因式
16、法 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案 【解答】解：(1)xyxx y 故答案为：(1)x y 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 3. 分分因式分解：因式分解：a22a= 【考点】因式分解-提公因式法 【专题】因式分解 【分析】先确定公因式是 a，然后提取公因式即可 【解答】解：a22a=a（a2） 故答案为：a（a2） 【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可 4. 分分因式分解：因式分解：3a26a= 【考点】因式分解-提公因式法 【分析】直接提取公因式 3a，进而分解因式即可 【解答】解：3a26a=3a（a2） 故答案为：3a（
17、a2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键 5. 分解因式：分解因式：2a26a= 【考点】因式分解-提公因式法 【分析】观察原式，找到公因式 2a，提出即可得出答案 【解答】解：2a26a=2a（a3） 故答案为：2a（a3） 【点评】此题主要考查了因式分解的基本方法一提公因式法本题只要将原式的公因式 2a 提出即可 6. 若若 a=2，a2b=3，则，则 2a24ab 的值为的值为 【考点】因式分解-提公因式法 【分析】首先提取公因式 2a，进而将已知代入求出即可 【解答】解：a=2，a2b=3， 2a24ab=2a（a2b）=223=12 故答案为：12
18、 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键 7.（3 分） （分） （2021包头包头 13/26）因式分解：）因式分解：24axaxa 21(2)4a x 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提公因式14a，再利用完全平方公式进行因式分解即可 【解答】解：原式2211(44)(2)44a xxa x， 故答案为：21(2)4a x 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提 8.（3 分） （分） （2021云南云南 13/23）分解因式：）分解因式：x3- -4x= x(x+ +2)(x- -2) 【考点】
19、提公因式法与公式法的综合运用 【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x3-4x=x (x2-4)=x(x+2)(x-2) 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止 9.（3 分）（分）（2021陕西陕西 9/26）分解因式）分解因式 x3+6x2+9x x（x+3）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式x（9+6x+x2）x（x+3）2 故答案为 x（x+3）2
20、【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法、完全平方公式分解因式，注意分解要彻底 10.（3 分）分）（2020兴安盟兴安盟呼伦贝尔呼伦贝尔 14/26）分解因式：）分解因式：234a bb (2 )(2 )b ab ab 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解平方差公式：22()()abab ab 【解答】解：234a bb 22(4)b ab (2 )(2 )b ab ab 故答案为(2 )(2 )b ab ab 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底 11.（3 分）分）（
21、2020青海青海 2/28）分解因式：）分解因式：2222axay 2 ()()a xy xy或或2 ()()a yx yx ；不等式；不等式组组24 030 xx 的整数解为的整数解为 【考点】一元一次不等式组的整数解；提公因式法与公式法的综合运用 【分析】直接提取公因式2a，进而利用平方差公式分解因式即可；分别解不等式，进而得出不等式组的解集 【解答】解：2222222 ()axaya xy 2 ()()a xy xy ； 或原式2 ()()a yx yx； 24 030 xx ， 解得：2x， 解得：3x ， 23x， 不等式的整数解为：2 故答案为：2 ()()a xy xy或2 ()
22、()a yx yx；2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键 12.（3 分）分）（2020安徽安徽 12/23）分解因式：）分解因式：2aba (1)(1)a bb 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式2(1)(1)(1)a ba bb， 故答案为：(1)(1)a bb 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13.（3 分）分）（2019赤峰赤峰 15/26）因式分解：因式分解：x32x2y+xy2 x（xy）2 【考点】提
23、公因式法与公式法的综合运用 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式x（x22xy+y2）x（xy）2， 故答案为：x（xy）2 【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 14.（3 分）分）（2019安徽安徽 9/23）已知三个实数）已知三个实数 a，b，c 满足满足 a2b+c0，a+2b+c0，则（，则（ ） Ab0，b2ac0 Bb0，b2ac0 Cb0，b2ac0 Db0，b2ac0 【考点】因式分解的应用；不等式的性质 【分析】根据 a2b+c0，a+2b+c0，可以得到 b 与 a、c 的关系，从而可以判断 b
24、 的正负和 b2ac 的正负情况，本题得以解决 【解答】解：a2b+c0，a+2b+c0， a+c2b，b2ac， a+2b+c（a+c）+2b4b0， b0， b2-ac22ac-ac22+24aacc-ac2224aacc22ac0， 即 b0，b2ac0， 故选：D 【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出 b 和 b2ac 的正负情况 15.（3 分）分）（2019呼和浩特呼和浩特 11/25）因式分解：）因式分解：x2y4y3 【解答】解：原式y（x24y2）y（x2y） （x+2y） 故答案为：y（x2y） （x+2y） 16.（3 分）分）（
25、2018呼和浩特呼和浩特 11/25）分解因式：）分解因式：a2b9b b（a+3） （） （a3） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：a2b9b b（a29） b（a+3） （a3） 故答案为：b（a+3） （a3） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键 17. （3 分）分）（2018兴安盟兴安盟呼伦贝尔呼伦贝尔 13/26）分解因式：）分解因式：a3 (x- -3)+(3- -x) a= (3)(1)(1)a xaa 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】
26、直接提取公因式(3)a x，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：3(3)(3)a xx a 2(3)(1)a xa (3)(1)(1)a xaa 故答案为：(3)(1)(1)a xaa 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键 18.（3 分）分）（2018赤峰赤峰 13/26）分解因式：）分解因式：2a28b2 2（a2b） （） （a+2b） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：2a28b2， 2（a24b2） ， 2（a+2b） （a2b） 故答案为：2（a+2b）
27、 （a2b） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式 19.（3 分）分）（2018巴彦淖尔巴彦淖尔 11/24）分解因式：）分解因式：8a28a32a 2a（2a1）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：8a28a32a 2a（4a24a+1） 2a（2a1）2 故答案为：2a（2a1）2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 20. 分解因式：分解因式：3x227 = 【考点】提公因式法与公式法的综合
28、运用. 【专题】因式分解 【分析】观察原式 3x227，找到公因式 3，提出公因式后发现 x29 符合平方差公式，利用平方差公式继续分解 【解答】解：3x227， =3（x29） ， =3（x+3） （x3） 故答案为：3（x+3） （x3） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式 21. 分解因式：分解因式：x3y2x2y+xy = 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】计算题 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式=xy（x22x+1）=xy（x1）2 故答案为：xy（x1）2
29、【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 22. 分解因式：分解因式：ma2mb2= 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】应先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：ma2mb2， =m（a2b2） ， =m（a+b） （ab） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解 23. 分解因式：分解因式：3x212= 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】原式提取 3，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式=3（x24） =3（x+2） （x2） 故
30、答案为：3（x+2） （x2） 【点评】本题考查因式分解因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如果没有两数乘积的 2 倍还不能分解解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式 24. 分解因式：分解因式：x3x = . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【专题】因式分解 【分析】本题可先提公因式 x，分解成
31、 x（x21） ，而 x21 可利用平方差公式分解 【解答】解：x3x， =x（x21） ， =x（x+1） （x1） 故答案为：x（x+1） （x1） 【点评】 本题考查了提公因式法， 公式法分解因式， 先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底 25. 因式分解：因式分解： x3yxy= 【解析】试题分析：首先提取公因式 xy，再运用平方差公式进行二次分解 3xyxy=xy（2x1）=xy（x+1） （x1） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 26. 分解因式：分解因式：224)(bba= 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即
32、可 【解答】解： （ab）24b2 =（ab+2b） （ab2b） =（a+b） （a3b） 故答案为： （a+b） （a3b） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键 27. a4ab2分解因式结果是分解因式结果是 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提取公因式 a，再利用平方差公式进行二次分解即可 【解答】解：原式=a（14b2）=a（12b） （1+2b） ， 故答案为：a（12b） （1+2b） 【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
33、 28. 将（将（a1）21 分解因式，结果正确的是（分解因式，结果正确的是（ ） Aa（a1） Ba（a2） C （ （a2） （） （a1） D （ （a2） （） （a+1） 【分析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式=（a1+1） （a11） =a（a2） 故选：B 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键 29.（3 分）分）（2020宁夏宁夏 9/26）分解因式：）分解因式：3a2- -6a+3= 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提取公因式 3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：原式=3(a2-2a+1)=3(a-
34、1)2 故答案为：3(a-1)2 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键 30.（3 分）分）（2020新疆兵团新疆兵团 11/23）分解因式：）分解因式：am2- -an2 = 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式= a(m2-n2 )= a(m+n)(m-n)， 故答案为：a(m+n)(m-n) 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 31. 分解因式：（分解因式：（2x+y）2（x+2y）2 【解答】解：原式（2x+y+x+2y）（2x+yx2y）（3x+3y）（xy）3（x+y）（xy） 【答案】3（x+y）（xy） 32. 在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：a33a 【答案】原式a（a23）a（a3）（a3）