1、2022年中考数学一轮复习 09 分式方程 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 1 分式方程的分式方程的定义和相关定义和相关概念概念 会会解可解可化化为为一元一元一一次次方方程程的的分分式式方方程程 常以选择题、填空题、解答题的形式考查常以选择题、填空题、解答题的形式考查分式方程的定义和解法分式方程的定义和解法 2 分式分式方方程的程的实际应用实际应用 会解决分式会解决分式方方程的实际应程的实际应用问题，能根据具体问题用问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是的实际意义，检验结果是否合理否合理 常以选择题、填空题的形式考查分式方程常以选择题、填空题的形式考查分式方程的列法，以列方程
2、解应用题的形式考查解的列法，以列方程解应用题的形式考查解分式方程的基本思想和列方程解应用题的分式方程的基本思想和列方程解应用题的意识意识 中考命题说明中考命题说明 思维导图思维导图 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 知识点梳理知识点梳理 1分式方程分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程 分式方程的重要特征：分式方程的重要特征：含有分母；含有分母；分母中含有未知数；分母中含有未知数；是方程是方程 2解解分式方程分式方程的一般方法的一般方法： （1）解分式方程的基本思想：）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程
3、，然后验根，从而确定分式方把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解程的解 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 知识点梳理知识点梳理 （2）解分式方程的一般方法和步骤：）解分式方程的一般方法和步骤： 去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； 解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；解整式方程：去括号、移项、合并同类项等； 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则，则整式方程的解是原分式方程的解；
4、否则，这个解不是原分式方程的解整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 简称为一化，二解，三检验简称为一化，二解，三检验 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 知识点梳理知识点梳理 3分式方程的特殊解法分式方程的特殊解法换元法换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 知识点梳理知识点梳理 4增根
5、增根：使分式方程的最简公分母为：使分式方程的最简公分母为0的根的根 （1）产生增根的产生增根的原因原因：分式方程分式方程本身隐含着分母不为本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了整式方程后没有此条件限制了 （2）分式方程的增根与无解的区别分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解可能是去分母后的整式方程无解分式方程的增根是去分母后的整式方程的分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为根，也是使分式方程的分母为0的根的根 典型例题典型例题 知识知识点点1
6、1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【例【例1】下列各式中为分式方程的是（下列各式中为分式方程的是（ ） A B C D 1xx11123xx253x10 x典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断 A、 不是不是方程，故本选项错误；方程，故本选项错误； B、方程方程 的的分母中含未知数分母中含未知数x，所以它是分式方程故本选项正确；，所以它是分式方程故本选项正确； C、方程方程 的的分母分母中不含未知数，所以它不是分式方程故
7、本选项错误；中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项错误； D、方程方程 的的分母中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项分母中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项错误错误 故选故选B 【答案】【答案】B 1xx11123xx253x10 x典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【例【例2】（4分）（分）（2021重庆重庆B卷卷11/26）关于）关于x的的分式方程分式方程 的的解为解为正数，且使关于正数，且使关于y的一元一次不等式的一元一次不等式组组 有有解，则所有满足条件的整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（的值之和是（ ） A-5 B-4 C-3
8、D-2 331122axxxx 32122yyya【分析】由关于【分析】由关于y的一元一次不等式的一元一次不等式组组 有有解得到解得到a的取值范围，再由关的取值范围，再由关于于x的的分式方程分式方程 的的解为正数得到解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定组成不等式组，确定a的整数解，结论可求的整数解，结论可求 32122yyya331122axxxx 典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【解答】解：关于【解答】解：关于x的的分式方程分式方程 的解为的解为 关于关于x的的分式方程分式方程 的的解为正数，解为
9、正数， a+40 a-4 关于关于x的的分式方程分式方程 有有可能产生增根可能产生增根2， a-1 331122axxxx 64xa331122axxxx 331122axxxx 624a典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 解解关于关于y的一元一次不等式的一元一次不等式组组 得：得： 关于关于y的一元一次不等式的一元一次不等式组组 有有解，解， a-20 a2 综上，综上，-4a2且且a-1 a为整数为整数，a=-3或或-2或或0或或1 满足条件的整数满足条件的整数a的值之和是：的值之和是：-3-2+0+1=-5故故选：选：A 32122yyya02yya3
10、2122yyya典型例题典型例题 【解答】解：方程两边同时乘以【解答】解：方程两边同时乘以x（x+3）得：）得： 2xx+3， 解得解得x3， 检验：检验：x3时，时，x（x+3）0， 方程的解为方程的解为x3 故答案为：故答案为：x3 【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，【点评】本题考查解分式方程，解题关键是先将分式方程化为整式方程求解，然后检验增根情况然后检验增根情况 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【例【例3】（2分）（分）（2021北京北京11/28）方程方程 的的解为解为 21=3xx典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程
11、及其解法分式方程及其解法 【例【例4】（5分）（分）（2021陕西陕西16/26）解方程）解方程： 213111xxx【解答】解：方程两边都乘【解答】解：方程两边都乘以以(x+1)(x1)得：得：(x1)23 (x+1)(x1)， x22x+13x21， x22xx211+3， 2x1， ， 检验：检验：当当 时时，（，（x+1）（）（x1）0， 所以所以 是是原方程的解原方程的解 1=2x1=2x1=2x典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【例【例5】（4分）（分）（2020上海上海2/25）用换元法）用换元法解方程解方程 时时，若，若设设 ，则原方程可化
12、为关于则原方程可化为关于y的方程是（的方程是（ ） Ay2-2y+1=0 By2+2y+1=0 Cy2+y+2=0 Dy2+y-2=0 22121xxxx21xyx【分析】方程的两个分式具备倒数关系，【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设设 ，则原方程则原方程化为化为 ，再再转化为整式方程转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解即可求解 【解答】解：【解答】解：把把 代入代入原方程得原方程得： ，转化为整式方程为转化为整式方程为y2-2y+1=0 故选：故选：A 21xyx21xyx12yy12yy典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【考点】分式方程的解【考
13、点】分式方程的解 【分析】解方程得【分析】解方程得x= m-1，由方程无解，可知，由方程无解，可知x=1，即可求，即可求m=2 【例例6】（3分）（分）（2021西藏西藏16/27）若关于）若关于x的的分式方程分式方程 无无解，解，则则m= 2111xmxx 典型例题典型例题 知识知识点点1 1：分式方程及其解法分式方程及其解法 【解答】解【解答】解： ， 方程两边同时乘以方程两边同时乘以x-1，得，得2x-(x-1)=m， 去括号，得去括号，得2x-x+1=m， 移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得x= m-1， 方程无解方程无解，x=1， m-1=1， m=2， 故故答案为答案为2 【
14、点评】本题考查分式方程的解，掌握【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程解法分式方程解法，理解无解的意义是解题的关键，理解无解的意义是解题的关键 2111xmxx 知识点梳理知识点梳理 1分式方程实际应用的基本思路分式方程实际应用的基本思路： 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 知识点梳理知识点梳理 2方法方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；：一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系；二找：找出等量关系； 三设：设未知数；三设：设未知数； 四列：列出分式方程；四列：列出分式方程； 五解：解这个方程；五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所
15、列分式方程的解，又要检验所求得的解六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；是否符合实际问题的要求（双检验）； 七答：写出答案七答：写出答案 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系等量关系”，进而列出分式方程，求解，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 典型例题典型例题 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 【例【
16、例7】（3分）（分）（2021鄂尔多斯鄂尔多斯8/24）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花元，电信公司又花6000元购买了元购买了一批口罩，购买的数量比一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多年购买的数量还多100包，设包，设2020年每包口罩为年每包口罩为x元，元，可列方程为（可列方程为（ ） A B C
17、D 1600010010 xx10000600010010 xx10000600010010 xx10000600010010 xx典型例题典型例题 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 【分析】设【分析】设2020年每包口罩为年每包口罩为x元，根据数量元，根据数量=总价总价单价结合花单价结合花6000元购买了一批口罩，元购买了一批口罩，购买的数量比购买的数量比2020年购买的数量还多年购买的数量还多100包，即可得出关于包，即可得出关于x的分式方程的分式方程 【解答】解：设【解答】解：设2020年每包口罩为年每包口罩为x元，元， 根据题意可得根据题意可得： ， 故选：故选：D 【
18、点评】本题【点评】本题考查分式方程考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 10000600010010 xx典型例题典型例题 【例【例8】（7分）（分）（2021山西山西18/23）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走千
19、米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一千米，平均速度是路线一的的 倍倍，因此到达太原机场的时间，因此到达太原机场的时间比走路线一少用比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 53典型例题典型例题 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的【分析】根据题意列出等量关系式：路线一的平均速度平均速度 =路线二的平均速度，路线二的平均速度，再根据等量关系式列出方程，求解检验即可再根据等量关系式列出
20、方程，求解检验即可 【解答】解：设走路线一到达太原机场需要【解答】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟分钟 根据题意，根据题意，得得 解得解得x=25 经检验，经检验，x=25是原方程的解且符合实际是原方程的解且符合实际 答：走路线一到达太原机场需要答：走路线一到达太原机场需要25分钟分钟 535253037xx典型例题典型例题 【例例9】（8分）（分）（2021江西江西18/23）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用甲用2400元购买的商品数量比乙用元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少元购买的商品数量少10件件 （1）求这种商
21、品的单价；）求这种商品的单价； （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元元/件，甲购买商品件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是单价是 元元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是件，乙两次购买这种商品的平均单价是 元元/件件 （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（结合（2）的计算结果，建议
22、按相同）的计算结果，建议按相同 加油加油更合算（填“金额”或“油量”）更合算（填“金额”或“油量”） 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 典型例题典型例题 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 【分析】（【分析】（1）设商品设商品的单价为的单价为x元元/件根据“甲用件根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程，解出方程即件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可；（可；（2）先）先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次计算出第二次购买该商品时
23、甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价的数量和即可得出两次的平均单价；（；（3）通过比较（）通过比较（2）的计算结果即可得出答案）的计算结果即可得出答案 【解答】（【解答】（1）解：设这种商品的单价为）解：设这种商品的单价为x元元/件件 由题意得由题意得： ， 解得：解得：x60， 经检验：经检验：x60是原方程的根是原方程的根 答：这种商品的单价为答：这种商品的单价为60元元/件件 3000240010 xx典型例题典型例题 知识知识点点2 2：分式方程的应用分式方程的应用 （2）解：第二次购买该商品时的单价为：）解：第二次购买该商品时的单价为：60
24、2040（元（元/件），件）， 第二次购买该商品时甲购买的件数为：第二次购买该商品时甲购买的件数为：24004060（件），第二次购买该商品时乙（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（购买的总价为：（300060）402000（元），（元）， 甲两次购买这种商品的平均单价是：甲两次购买这种商品的平均单价是：24002（ ）48（元（元/件件），）， 乙乙两次购买这种商品的平均单价是：（两次购买这种商品的平均单价是：（3000+2000）（ ）50（元（元/件）件） 故答案为：故答案为：48；50 （3）解：）解：4850， 按相同金额加油更合算按相同金额加油更合算 故答案为：金额故答案为：金额 240060603000260