1、2022年中考数学一轮复习 08 一元二次方程 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 1 一元二次一元二次方程的方程的 解法解法 了解一元二次方程的概念，理了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用因式分解法、解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程系数的一元二次方程 常以选择题、填空题、解答题的形式考常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法有时会查一元二次方程的定义和解法有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法全面掌握了一元二次方程的解法 2 一元二
2、次一元二次方程根的方程根的判别式判别式 了解一元二次方程根的判别式，了解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断一元二次会用根的判别式判断一元二次方程根的情况方程根的情况 常以选择题、填空题的形式考查一元二常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程根的判别式，部分地市以探究题次方程根的判别式，部分地市以探究题的形式考查的形式考查 中考命题说明中考命题说明 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 3 一元二一元二次方程次方程应用题应用题 能够根据具体问题中的数量关系，列能够根据具体问题中的数量关系，列出方程解决实际问题，体会方程是刻画出方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数
3、学模型；现实世界的一个有效的数学模型； 能根据具体问题的实际意义，检验结能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理果是否合理 常以选择题、填空题的形式考常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程的列法，以列查一元二次方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解一方程解应用题的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方元二次方程的基本思想和列方程解应用题的意识程解应用题的意识 中考命题说明中考命题说明 思维导图思维导图 知识点知识点1 1：一元二次方程及有关概念：一元二次方程及有关概念 知识点梳理知识点梳理 1. 一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是：只含有一个未知数
4、（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（二次）的整式方程，叫做一元二次方程 2. 一般形式一般形式：ax2+bx+c=0（其中（其中a、b、c为常数，为常数，a0），其中），其中ax2、bx、c分分别叫做二次项、一次项和常数项，别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数分别称为二次项系数和一次项系数 知识点知识点1 1：一元二次方程及有关概念：一元二次方程及有关概念 知识点梳理知识点梳理 3. 一元二次方程必须具备三个条件一元二次方程必须具备三个条件：（：（1）必须是整式方程；（）必须是整式方程；（2）必须只含）必须只含有有1个未知数；（
5、个未知数；（3）所含未知数的最高次数是）所含未知数的最高次数是2 【注意】【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意在一元二次方程的一般形式中要注意a0因为当因为当a=0时，不含有二时，不含有二次项，即不是一元二次方程次项，即不是一元二次方程 4. 一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 典型例题典型例题 【例例1】下列关于下列关于x的方程是一元二次方程的是的方程是一元二次方程的是（ ） Ax2+1=0 B Ca
6、x2+bx+c=0 D（x+1）（）（x1）=x2+x+1 【分析分析】A、是一元二次方程是一元二次方程，故本选项符合题意；故本选项符合题意； B、是分式方程是分式方程，不是一元二次方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故本选项不符合题意； C、当当a=0时时，不是一元二次方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故本选项不符合题意； D、化简后为化简后为1= x+1，是一元一次方程是一元一次方程，不是一元二次方程不是一元二次方程，本选项不符合题意本选项不符合题意，故选故选A 【答案答案】A. 知识点知识点1 1：一元二次方程及有关概念：一元二次方程及有关概念 11xx典型例题典型例题 【
7、例例2】（4分分）（2021广东广东14/25）若一元二次方程若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数为常数）的两根的两根x1，x2满足满足- -3x1- -1，1x23，则符合条件的一个方程为则符合条件的一个方程为 【考点考点】一元二次方程的定义一元二次方程的定义 【分析分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一注意答案不唯一 【解答解答】解：解：若一元二次方程若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数为常数）的两根的两根x1，x2满足满足- -3x1- -1，1x23， 满足条件的方程可以为：满足条件的方程可以为：x2- -2=0（
8、答案不唯一答案不唯一）， 故答案为：故答案为：x2- -2=0（答案不唯一答案不唯一） 知识点知识点1 1：一元二次方程及有关概念：一元二次方程及有关概念 典型例题典型例题 【例例3】（2分分）（2021青海青海9/25）已知已知m是一元二次方程是一元二次方程x2+x60的一个根的一个根，则代数式则代数式m2+m的值等于的值等于 【解答】解：将【解答】解：将xm代入方程代入方程x2+x60， 得得m2+m60， 即即m2+m6， 故答案为：故答案为：6 【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相
9、等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的当成一个整体，利用了整体的思想思想 知识点知识点1 1：一元二次方程及有关概念：一元二次方程及有关概念 知识点梳理知识点梳理 1. 解一元二次方程的基本思想解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解一次方程来求解. 2. 常用方法常用方法： （1）直接开平方法：对于形如）直接开平方法：对于形如x2=p（p0）或）或(mx+n)2=p（p0）的方程，）的方程，直接开平方直接开平方 （2）配方法：将一元二
10、次方程）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）配方为）配方为(x+m)2=n的形式，的形式，再用直接开平方法求解再用直接开平方法求解 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 知识点梳理知识点梳理 （3）公式法：一元二次方程公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式为的求根公式为 （ ） （4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为为(x- -a)(x- -b)=0的形式的形式，进而得到进而得到x- -a =0或或x- -b=0来求解来求解 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 24
11、2bbacxa 240bac 知识点梳理知识点梳理 3. 选择技巧选择技巧： （1）若一元二次方程缺少常数项若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；可考虑用因式分解法求解； （2）若一元二次方程缺少一次项若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；可考虑用因式分解法或直接开平方法求解； （3）若一元二次方程的二次项系数为若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时大时，可考虑用配方法求解；可考虑用配方法求解； （4）若用以上三种方法都不容易求解时若用以上三种方法都不容易求解
12、时，可考虑用公式法求解可考虑用公式法求解. 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 典型例题典型例题 【例【例4】（3分）分）（2019安徽省安徽省15/23）解方程：（）解方程：（x1）24 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 【考点】解一元二次方程【考点】解一元二次方程直接开平方法直接开平方法 【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可 【解答】解：两边直接开平方得：【解答】解：两边直接开平方得：x12， x12或或x12， 解得：解得：x13，x21 典型例题典型例题 【例【例5】（3分）（
13、分）（2021海南海南8/22）用配方法解方程）用配方法解方程x2- -6x+5=0，配方后所得的，配方后所得的方程是方程是（ ） A(x+3)2=- -4 B(x- -3)2=- -4 C(x+3)2=4 D(x- -3)2=4 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 【考点】解一元二次方程【考点】解一元二次方程配方法配方法 【分析】把常数项【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数- -6的一半的一半的平方的平方 典型例题典型例题 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 【解答】解：把方程【解答
14、】解：把方程x2-6x+5=0的常数项移到等号的右边，得到的常数项移到等号的右边，得到x2-6x=-5， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-6x+9=-5+9， 配方得配方得(x-3)2=4故选：故选：D 【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意： （1）把常数项移到等号的右边；）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为选
15、择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数，一次项的系数是是2的倍数的倍数 典型例题典型例题 【例例6】（5分分）（2021新疆新疆6/23）一元二次方程一元二次方程x2- -4x+3=0的解为的解为（ ） Ax1=- -1，x2=3 Bx1=1，x2=3 Cx1=1，x2=- -3 Dx1=- -1，x2=- -3 知识点知识点2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法 【分析分析】利用因式分解法求解即可利用因式分解法求解即可 【解答解答】解：解：x2- -4x+3=0， (x- -1)(x- -3)=0， 则则x- -1=0或或x- -3=0， 解得解得x1
16、=1，x2=3 故选：故选：B 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 知识点梳理知识点梳理 1一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： b24ac 叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）根的根的判别式判别式常用字母常用字母“ ”表示表示 2. 对于一元二次方程对于一元二次方程ax2bxc0（a0）： （1）当当 =b24ac0方程方程ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根，即）有两个不相等的实数根，即 ； （2）当）当 =b24ac0方程方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根，即）有两个相等的实数根，即 （3）当）当 =b24a
17、c0方程方程ax2bxc0（a0）没有实数根）没有实数根 242bbacxa 122bxxa 典型例题典型例题 【例例7】（3分分）（2021通辽通辽4/26）关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2- -(k- -3)x- -k+1=0的根的情的根的情况况，下列说法正确的是下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C无实数根无实数根 D无法确定无法确定 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 【分析分析】先计算判别式先计算判别式，再配方得到再配方得到 =(k- -1)2+4，然后根据非负数的性
18、质然后根据非负数的性质得到得到 0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根 典型例题典型例题 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 【解答解答】解：解： =- - (k- -3)2- -4(- -k+1) = k2- -6k+9- -4+4k = k2- -2k+5 = (k- -1)2+4， (k- -1)20， (k- -1)2+40，即即 0， 方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根 故选：故选：A 典型例题典型例题 【例例8】（4分分）（2021云南云南5/23）若一元二次
19、方程若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实有两个不相等的实数根数根，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1且且a0 Da1且且a0 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 【解答解答】解：解：一元二次方程一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根， a0， ， 解得：解得：a1， 故选：故选：D 224241440bacaa 典型例题典型例题 【例例9】（3分分）（2021河南河南7/23）若方程若方程x2- -2x+m=0没有实数根没有实数根，则则m的值的值可以是可以是（ ） A- -1
20、B0 C1 D 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 3【解答解答】解：解：关于关于x的方程的方程x2- -2x+m=0没有实数根没有实数根， ， 解得：解得：m1， m只能为只能为 ， 故选：故选：D 2( 2)4 1440mm 3典型例题典型例题 【例例10】（3分分）（2021吉林吉林10/26）若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ +3x+c=0有两个有两个相等的实数根相等的实数根，则则c的值为的值为 知识点知识点3 3 ：一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 【解答解答】解：解：一元二次方程一元二次方程x2+ +3x+c=0有
21、两个相等的实数根有两个相等的实数根， ， 解得解得 故答案为：故答案为： 2340c 94c 94知识点知识点4 4 ：一元二次方程的根一元二次方程的根与系数的关系与系数的关系 知识点梳理知识点梳理 1. 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程若一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根的两根分别为分别为x1，x2，则有则有 ， 2. 用根与系数的关系求值时的常见转化用根与系数的关系求值时的常见转化： （1） ； （2） ； （3 ） ；（4） 12bxxa 12cx xag12121211xxxxx x22212121 2()2xxxxx x22121212()(
22、)4xxxxx x212121221122xxx xxxxxx x知识点知识点4 4 ：一元二次方程的根一元二次方程的根与系数的关系与系数的关系 典型例题典型例题 【例例11】（3分分）（2021江西江西9/23）已知已知x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x24x+30的两根的两根，则则x1+x1x1x2 【分析分析】直接根据根与系数的关系得出直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值的值，再代入计算即可再代入计算即可 【解答解答】解：解：x1，x2是一元二次方程是一元二次方程x24x+30的两根的两根， x1+x24，x1x23 则则x1+x2x1x2431 故答案是：故答案是：
23、1 知识点知识点4 4 ：一元二次方程的根一元二次方程的根与系数的关系与系数的关系 典型例题典型例题 【例【例12】（3分）分）（2020青海青海8/27）在解一元二次方程）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了时，小明看错了一次项系数一次项系数b，得到的解为，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项；小刚看错了常数项c，得到的解为，得到的解为x1=1，x2=5请你写出正确的一元二次方程请你写出正确的一元二次方程 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式 【分析】利用根与系数的关系得到【分析
24、】利用根与系数的关系得到23=c，1+5=- -b，然后求出，然后求出b、c即可即可 【解答】解：根据题意得【解答】解：根据题意得23=c，1+5=- -b， 解得解得b=- -6，c=6， 所以正确的一元二次方程为所以正确的一元二次方程为x2- -6x+6=0 故答案为故答案为x2- -6x+6=0 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 知识点梳理知识点梳理 1. 列一元二次方程解应用题的步骤列一元二次方程解应用题的步骤： 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组组）解应用题的步骤相同解应用题的步骤相同，即审即审、找找
25、、设设、列列、解解、验验、答七步答七步. 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 知识点梳理知识点梳理 2. 常见类型常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：些问题应掌握以下内容： （1）增长率等量关系增长率等量关系： 增长率增长率 100%； 设设a为原来量，为原来量，m为平均增长率，为平均增长率，n为增长次数，为增长次数，b为增长后的量，则为增长后的量，则a(1+m)n=b；当当m为平均下降率，为平均下降率，n为下降次数，为下降次数，b为下降后的量时，则
26、有为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：例如：第一年产值第一年产值为为a，若以后每年的增长率均为，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为，第三年的产值为a(1+x) 2；若以后每年的降低率均为若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为，则第二年的产值为a(1x)，第三年的产值为，第三年的产值为a(1x) 2 增长量基础量知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 知识点梳理知识点梳理 （2）利润等量关系利润等量关系： 利润售价利润售价-成本；成本； 利润率利润成本利润率利润成本100%. 总利润总利润=单件的利润单件的利
27、润数量数量 （3）面积问题面积问题： 充分利用各种图形对应的面积公式充分利用各种图形对应的面积公式. 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【例例13】（4分分）（2021福建福建6/25）某市某市2018年底森林覆盖率为年底森林覆盖率为63%为贯彻落实为贯彻落实“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”的发展理念的发展理念，该市大力开展植树造林活动该市大力开展植树造林活动，2020年底森年底森林覆盖率达到林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么那么，符合题意的符合题意的方程是方程是（ ） A
28、0.63(1+x)=0.68 B0.63(1+x)2=0.68 C0.63(1+2x)=0.68 D0.63(1+2x)2=0.68 【分析】设从【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据，根据2018年及年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于年的全市森林覆盖率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解的一元二次方程，此题得解 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【解答解答】解：设从解：设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x， 根据题意得：根据题意得：
29、0.63(1+x)2=0.68 故选：故选：B 【点评点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系找准等量关系，正确列出正确列出一元二次方程是解题的关键一元二次方程是解题的关键 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【例例14】（3分分）（2021呼伦贝尔呼伦贝尔兴安盟兴安盟10/26）有一个人患流感有一个人患流感，经过两轮传染后共经过两轮传染后共有有81个人患流感个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染设每轮传染中平均一个人传染x个人个人，可
30、列方程为可列方程为（ ） A1+2x=81 B1+ x2=81 C1+x+x2=81 D1+x+x(1+x)=81 【分析分析】平均一人传染了平均一人传染了x人人，根据有一人患了流感根据有一人患了流感，第一轮有第一轮有(x+1)人患流感人患流感，第二轮共有第二轮共有x+1+ (x+1) x人人，即即81人患了流感人患了流感，由此列方程求解由此列方程求解 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【解答】解：设平均一人传染了【解答】解：设平均一人传染了x人，第一轮有人，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有人患流感，第二轮共有x+1+ (x+1) x人，人，
31、根据题意得：根据题意得：x+1+ (x+1) =81 x， 故选：故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解从而可列方程求解 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【例【例15】（3分）分）（2020山西山西14/23）如图是一张长）如图是一张长12 cm，宽，宽10 cm的矩形铁皮，的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积
32、是积是24 cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为 cm 知识点知识点5 5 ：一元二次方程的应用一元二次方程的应用 典型例题典型例题 【解答】解：设底面长为【解答】解：设底面长为a cm，宽为，宽为b cm，正方形的边长为，正方形的边长为x cm，根据题意得：，根据题意得： ， 解得解得a=10-2x，b=6-x， 代入代入ab=24中，得：中，得：(10-2x)( 6-x)=24， 整理得：整理得：x2-11x+18=0， 解得解得x=2或或x=9（舍去），（舍去）， 答；剪去的正方形的边长为答；剪去的正方形的边长为2 cm 故答案为：故答案为：2 2()1221024xbaxab