1、南京市联合体部分学校南京市联合体部分学校 2021-2022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. 0 B. 4 C. 13 D. 2 如图， ABCABC，其中A37 ，C23 ，则B（ ） A. 60 B. 100 C. 120 D.
2、135 3. 如图，点 B，F，C，E共线，B=E，BF=EC，添加一个条件，不能判断 ABCDEF 的是（ ） A. AB=DE B. A=D C. AC=DF D. ACFD 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 3是无理数 B. 3是 3 的算术平方根 C. 面积为 3 的正方形的边长为3 D. 3的倒数是3 5. 在 ABC 中，A、B、C的对边分别为 a、b、c，下列条件中，不能判断 ABC是直角三角形的是（ ） A a3，b4，c5 B. ab，C45 C A：B：C1：2：3 D. a3，b7，c2 6. 估计37值在（ ） A. 0 和 1之间 B. 1 和 2 之间 C.
3、2 和 3 之间 D. 3 和 4之间 7. 如图，在 Rt ABC中，B90 ，分别以 AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与 S2，若 S116，S225，则 BC 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，方格纸中 ABC的 3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与 ABC 全等的格点三角形的个数为（不含 ABC） （ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填分不需写出解答过
4、程，请把答案直接填写在写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 9. 49的平方根是 _；38_ 10. 某人一天饮水 1 890 mL，请用四舍五入法将 1 890 mL精确到 100 mL，并用科学记数法表示为_mL 11. 比较大小：4_10 （填“”、“”或“”） 12. 如图，长方形 ABCD的边 AD长为 2，AB 长为 1，点 A在数轴上对应的数是-1，以 A 点为圆心，对角线 AC长为半径画弧，交数轴于点 E，点 E 表示的实数是_ 13. 如图，ABC=DCB，要使ABCDCB，还需要补充一个条件：_ （一个即可） 14. 若一个直角三角形的两边长分别是 4cm，3cm，则第
5、三条边长是 _cm 15. 小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出 1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 5m，由此可计算出学校旗杆的高度是_m 16. 如图， 在ABCV中，90C，2AC ，4BC 以 AB 为一边在ABCV的同侧作正方形 ABDE，则图中阴影部分的面积为_ 17. 下列结论：周长相等的两个等边三角形全等；周长相等的两个等腰三角形全等；面积相等的两个等边三角形全等；面积相等的两个等腰三角形全等其中所有正确结论的序号是_ 18. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，AC1，点 D、E 分别是边 AB、BC上
6、点， CDDE，且 CDDE1，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 F，则 EF 长是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）( 13 )043； （2）94(3)2(32)3 20. 求下列各式中的 x： （1）2x214=0； （2）13 (2x)39 21. 如图，在ABC中，C90，AD 平分BAC交 BC于点 D，过点 D作 DEAB 于点 E （1）求证：AEDACD； （2）当 AC
7、6，BC8，求 CD 的长 22. 如图，点 B，C，D共线，CABED90，BCDE （1）求证：ABBE； （2）连接 AE，设 BCa，ACb，ABc求证：a2b2c2 23. 如图，在四边形 ABCD中，B=90，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，求此四边形 ABCD的面积 24. 已知ABC 是等腰直角三角形，ACB90 ，点 D是平面内任意一点，CD绕着点 C 逆时针旋转 90 到CE （1）如图，若 D为ABC内一点，求证：ADBE； （2）如图，若 D为 AB边上一点，AD2，BD7，求 DE 的长 25. 请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点 A 作直线 l
8、的垂线 （不写作法，保留作图痕迹） 26. 已知在ABC 和ABC中，ABAB，ACAC，AD、AD分别是 BC、BC边上的高，且 ADAD （1）如图，当 ABAC时，求证：ABCABC （2） 如图， 当 ABAC时， ABC与ABC不一定全等 请画出ABC， 使ABC与ABC 不全等 并在图中作出适当的标注或必要的文字说明 （3）在ABC中，AB20，AC15，BC 边上的高 AD12，则ABC 的周长为 南京市联合体部分学校南京市联合体部分学校 2021-2022 学年八年级上期中数学试题学年八年级上期中数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题
9、2 分，共分，共 16 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. 0 B. 4 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数，包含含根号且开不尽的数、含、2.010010001L等，有理数和无理数统称为实数 【详解】解：0是整数，是有理数，不是无理数；4=2是整数，是有理数，不是无理数；13是分数，是有理数，不是无理数；是无理数， 故选
10、：D 【点睛】本题考查无理数，实数的分类等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 2. 如图，ABCABC，其中A37 ，C23 ，则B（ ） A. 60 B. 100 C. 120 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的对应角相等解得，A= 37，再根据三角形内角和定理解题 【详解】解：因为ABCABC， 所以AA= 37，BB，C=C23 所以BB=180-37-23=120， 故选：C 【点睛】 本题考查全等三角形的性质、 三角形内角和 180等知识， 是基础考点， 掌握相关知识是解题关键 3. 如图，点 B，F，C，E 共线，B=E，BF=EC，添加一个条件，不能
11、判断ABCDEF 的是（ ） A. AB=DE B. A=D C. AC=DF D. ACFD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题 【详解】解：QBF=EC， BCEF A. 添加一个条件 AB=DE， 又,BCEFBE Q ()ABCDEF SAS 故 A 不符合题意； B. 添加一个条件A=D 又,BCEFBE Q ()ABCDEF AASVV 故 B 不符合题意； C. 添加一个条件 AC=DF ，不能判断ABCDEF ，故 C符合题意； D. 添加一个条件 ACFD ACBEFD 又,BCEFBE Q ()ABCDEF ASAVV 故 D 不符合题
12、意， 故选：C 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 3是无理数 B. 3是 3的算术平方根 C. 面积为 3正方形的边长为3 D. 3的倒数是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数定义可判断 A，根据算术平方根定义可判断 B，根据正方形边长为正，利用求算术平方根可判断 C，利用倒数定义计算结果可判断 D 【详解】A. 3是无理数，正确，故不合题意； B. 3是 3 的算术平方根，正确，故不合题意； C. 面积为 3 的正方形的边长为3，正确，故不合题意； D. 3的倒数是13333
13、 ，正确，故合题意 故选 D 【点睛】本题考查无理数，算术平方根，倒数，掌握无理数，算术平方根，倒数是解题关键 5. 在ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 下列条件中， 不能判断ABC是直角三角形的是 （ ） A. a3，b4，c5 B. ab，C45 C. A：B：C1：2：3 D. a3，b7，c2 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义解题 【详解】解：A.222345Q，222abc，可判断ABC是直角三角形，故 A 不符合题意； B. ab，C451804567.52AB ，不是直角三角形，故 B 符合题意； C. A：B：C1：
14、2：3，解得B=3180=906，可判断ABC是直角三角形，故 C不符合题意； D. 222( 3)2347( 7)Q，可判断ABC 是直角三角形，故 D 不符合题意， 故选：B 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 6. 估计37的值在（ ） A. 0和 1 之间 B. 1和 2 之间 C 2和 3 之间 D. 3和 4 之间 【答案】A 【解析】 【分析】首先估算7的范围，进而得到答案 【详解】解：273， 0371， 37的值在 0 和 1之间， 故选：A 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法 7. 如图，在 R
15、tABC 中，B90 ，分别以 AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与 S2，若 S116，S225，则 BC 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理根据条件先求出,AB AC的长，再在Rt ABCV利用勾股定理求解 【详解】解：如图： 在RtABE中，由题意解得：11162SAE BE，且AEBE， 解得：4 2AEBE， 228ABAEBE， 同理，在Rt AFCV中，由题意解得：5 2AFCF， 2210ACAFCF， 在Rt ABCV中，由勾股定理： 226BCACAB， 故选：B 【点睛】本题考查了勾
16、股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理求出直角边，再求解 8. 如图，方格纸中ABC的 3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与ABC 全等的格点三角形的个数为（不含ABC） （ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据 SSS在图中画出格点三角形 DEF，使得DEFABC，则可得出答案 【详解】解：在图中画出格点三角形 DEF，使得DEFABC， 方法 1，由正方形的轴对称性质画图，如以下 4个图 由旋转性质，画以下 3个图， 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识，学会利用轴
17、对称的性质、旋转的性质解题是关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填分不需写出解答过程，请把答案直接填写在写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 9. 49的平方根是 _；38_ 【答案】 . 7 . 2 【解析】 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，一个数的立方根只有一个 【详解】解：49 的平方根是 7，38=-2， 故答案为： 7；-2 【点睛】本题考查平方根、立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 10. 某人一天饮水 1 890 mL，请用四舍五入法将 1 890 mL精确
18、到 100 mL，并用科学记数法表示为_mL 【答案】1.9103 【解析】 【分析】先利用科学记数法表示，然后把十位上的数字 9 进行四舍五入即可 【详解】解：3189019001.9 10 故答案为 1.9103 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，掌握近似数的求解是解题的关键 11. 比较大小：4_10 （填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先比较16与10的大小，再根据两个负数的大小比较法则解题 详解】解：4= 1610Q 1610 410 故答案为： 【点睛】本题考查实数的大小比较，
19、是基础考点，掌握相关知识是解题关键 12. 如图，长方形 ABCD边 AD长为 2，AB长为 1，点 A在数轴上对应的数是-1，以 A 点为圆心，对角线 AC长为半径画弧，交数轴于点 E，点 E 表示的实数是_ 【答案】5 1 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出 AC的长，进而得出点 E表示的实数 【详解】四边形 ABCD是长方形， ADBC2，CDAB1，ADC90， 在 RtACD中，由勾股定理可得： AC22ADCD22215 点 A在数轴上对应的数是-1， 点 E表示的实数是51， 故答案为：51 【点睛】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，解题的关键是勾股定理得出 AC的长 1
20、3. 如图，ABC=DCB，要使ABCDCB，还需要补充一个条件：_ （一个即可） 【答案】AB=CD（或A=D 或ACB=DBC） 【解析】 【分析】 根据已知条件： 两个三角形已经具备ABC=DCB及公共边 BC， 再添加任意一组角， 或是 AB=CD即可 【详解】ABC=DCB，BC=CB， 当 AB=CD时，利用 SAS 证明ABCDCB； 当A=D时，利用 AAS证明ABCDCB； 当ACB=DBC 时，利用 ASA 证明ABCDCB， 故答案为：AB=CD（或A=D或ACB=DBC） 【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键 14. 若一
21、个直角三角形的两边长分别是 4cm，3cm，则第三条边长是 _cm 【答案】5或7 【解析】 【分析】根据勾股定理可进行分类求解即可 【详解】解：当 4cm，3cm为这个直角三角形的直角边时，则有第三边为22345cm； 当 4cm为这个直角三角形的斜边时，则有第三边为22437cm； 所以综上所述第三边长为5cm或7cm； 故答案为5或7 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键 15. 小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出 1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部 5m，由此可计算出学校旗杆的高度是_m 【
22、答案】12 【解析】 【分析】结合题意画出图形，设旗杆 AB的高度为 xm，绳子 AC的长为（x+1）m，BC=5m，根据勾股定理列出方程22251xx，然后解方程即可 【详解】解：设旗杆 AB的高度为 xm，绳子 AC 的长为（x+1）m，BC=5m， ABBC， ABC=90 ， 在 RtABC 中，根据勾股定理得222ABBCAC， 22251xx， 解得12x ， 学校旗杆的高度是 12m 故答案为 12 【点睛】本题考查勾股定理在生活中运用，完全平方公式，一元一次方程，掌握勾股定理的应用条件是直角三角形，找出三边中的数量关系是解题关键 16. 如图， 在ABCV中，90C，2AC ，
23、4BC 以 AB 为一边在ABCV的同侧作正方形 ABDE，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得 AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积 【详解】解：在ABCV中，90C，2AC ，4BC ， 由勾股定理可知：2222242 5ABACBC， 正方形面积为：2 52 520，三角形面积为：12 442 ， 阴影部分面积为：20 4 16 ， 故答案为 16 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理 17. 下列结论：周长相等的两个等边三角形全等；周长相等的两个等腰三角形全等；面积相等的两个等边三角形全等；面积
24、相等的两个等腰三角形全等其中所有正确结论的序号是_ 【答案】# 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理判断即可，也可以采用举反例判断 【详解】解：周长相等的两个等边三角形全等，根据 SSS 可判断，故正确； 周长相等的两个等腰三角形不一定全等，故错误； 设两个面积相等的等边三角形， 边长分别为 a， b， 由三角形面积公式得，1313a2222abb，ab ，根据 SSS 可证得这两个等边三角形全等，故正确； 面积相等的两个等腰三角形不一定全等， 故正确的有 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，
25、是基础考点，掌握相关知识是重要考点 18. 如图，在 RtABC中，ACB90 ，AC1，点 D、E 分别是边 AB、BC上的点， CDDE，且 CDDE1，过点 E 作 EFBC，交 AB 于点 F，则 EF 长是_ 【答案】21 【解析】 【分析】过点 D作 DGBC于点 G，先证DBGABC，求出 BG的长，再证BFEBAC，得出结果 【详解】解：过点 D作 DGBC 于点 G， CDDE，CDDE1， DEG=DCG=45 ， 222CECDDE， DGBC， DEG=EDG=CDG=DCG=45 ， DG=EG=CG， 221DG ， DG=EG=CG=22， ACB90 ，DGBC
26、， DGAC， DBGABC， DGBGACBC，即221BGBGCG， BG=222， BE=BG-EG=222-22=1， EFBC，ACB90 ， EFAC， BFEBAC， EFBEACBC，即1122222EF， EF=21 故答案：21 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 64分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）( 13 )043；
27、 （2）94(3)2(32)3 【答案】 （1）2； （2）52 【解析】 【分析】 （1）根据零指数幂，算术平方根的计算方法进行求解即可； （2）根据实数的混合计算法则进行求解即可 【详解】解： （1）01433 123 2； （2）2339324 3322 52 【点睛】本题主要考查了零指数幂，算术平方根和实数的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则 20. 求下列各式中的 x： （1）2x214=0； （2）13 (2x)39 【答案】 （1）x7或7； （2）x5 【解析】 【分析】 （1）根据直接开平方法解方程即可； （2）根据立方根的求法求解即可 【详解】解： （1）2x
28、214=0， 2214x ， 27x x7或7； （2）13 (2x)39 (2x)327 2x3 x5 【点睛】本题考查了根据平方根和立方根的知识解方程，熟练掌握平方根和立方根是解本题的关键 21. 如图，在ABC中，C90，AD 平分BAC交 BC于点 D，过点 D作 DEAB 于点 E （1）求证：AEDACD； （2）当 AC6，BC8，求 CD 的长 【答案】 （1）见解析； （2）3 【解析】 【分析】 （1）根据 AD平分BAC 得 BADCAD ，根据 DEAB得AED90，用 AAS 即可得证明AEDACD； （2）设 CDx，由（1）可知AEDACD ，则 ACAE6，CD
29、DEx，BDBCCD8x，根据勾股定理得 AB=10，则 BE=4，根据勾股定理得 42x2 （8x）2 ，即可得 【详解】 （1）AD平分BAC， BADCAD， DEAB， AED90， 在AED 与ACD中， AEDCBADCADADAD AEDACD（AAS） （2）设 CDx， 由（1）可知AEDACD ， ACAE6，CDDEx，BDBCCD8x， 在ABC 中，C90， AB2AC2BC26282100， 即 AB=10或 AB=-10（舍） ， BEABAE1064 ， 在BED 中，BED90，根据勾股定理， BE2ED2=BD2 ， 即 42x2 =（8x）2 ， 解得 x
30、3， 即 CD=3 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点 22. 如图，点 B，C，D共线，CABED90，BCDE （1）求证：ABBE； （2）连接 AE，设 BCa，ACb，ABc求证：a2b2c2 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据“AAS”证明ABCBED即可； （2）根据面积的不同表示方法可得结果 【详解】 （1）证明：ABE90， ABCEBD90， 在ABC 中，C90 ABCA90 EBDA 在ABC 与BED 中， 90EBDACDBCDE , ABCBED（AAS） ， AB=BE； （2）由（1）可
31、得ABCBED， ACBDb，BCDEa，ABBEc， 由面积法可知 S梯形ACDE SABCSBDESABE=ab12c2， S梯形ACDE12（ACDE） （BCBD）12（ab）2， ab12c212（ab）2即 a2b2c2 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明方法，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键 23. 如图，在四边形 ABCD中，B=90，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，求此四边形 ABCD的面积 【答案】S四边形ABCD=234 【解析】 【分析】连接 AC，根据勾股定理计算出 AC 的长，再由勾股定理的逆定理判定ACD
32、是直角三角形，进而利用 S四边形ABCD=SABC+SACD求得四边形 ABCD的面积 【详解】解：如图，连接 AC， B=90，AB=20，BC=15， 2222201525ABBC 又CD=7，DA=24， AC2=AD2+CD2， ACD是直角三角形，即ADC=90 S四边形ABCD=SABC+SACD=12AB BC+12AD CD=12 20 15+12 24 7=234 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，三角形面积公式，分割法求不规则四边形的面积，解题的关键是利用分割法知 S四边形ABCD=SABC+SACD 24. 已知ABC 是等腰直角三角形，ACB90 ，点 D是平面内任意
33、一点，CD绕着点 C 逆时针旋转 90 到CE （1）如图，若 D为ABC内一点，求证：ADBE； （2）如图，若 D为 AB边上一点，AD2，BD7，求 DE 的长 【答案】 （1）见解析； （2）DE53 【解析】 【分析】（1） 根据旋转的性质可得到CDE为等腰直角三角形， 从而结合ABC是等腰直角三角形， 利用“SAS”证明ACDBCE 即可得出结论； （2）先结合（1）的结论推出ABE90 ，然后在 RtBDE 中，由勾股定理得：BD2BE2DE2求解即可 【详解】 （1）ABC是等腰直角三角形， ACB90 ，ACBC CD绕着点 C 逆时针旋转 90 到 CE， DCE90 ，C
34、DCE ACBDCBDCEDCB， 即ACDBCE 在ACD和BCE中，ACBC，ACDBCE，CDCE， ACDBCE(SAS) ADBE （2）解：ABC是等腰直角三角形， AABC45 ACDBCE， CBEA45 ，ADBE ABEABCCBE90 在 RtBDE中，由勾股定理得：BD2BE2DE2 DE2BD2BE2BD2AD2722253 DE53 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等，掌握旋转变化的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键 25. 请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点 A 作直线 l的垂线 （不写作法，保留作图痕迹） 【答
35、案】见解析 【解析】 【分析】方法 1、以点 A为圆心，任意长为半径画弧，交直线 l于两个点，再分别以这两个点为圆心，大于这两个点的距离的一半为半径，画弧，相交于两点，连接这两个交点成直线即可； 方法 2、以点 A为圆心，任意长为半径画弧，交直线 l于两个点，再分别以这两个点为圆心，大于这两个点的距离的一半为半径，画弧，相交于一个点，连接这个点与点 A 成直线即可 【详解】解： 【点睛】本题考查尺规作图，画经过直线上的一点，作直线的垂线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 26. 已知在ABC 和ABC中，ABAB，ACAC，AD、AD分别是 BC、BC边上的高，且 ADAD （1）如图，当
36、ABAC时，求证：ABCABC （2） 如图， 当 ABAC时， ABC与ABC不一定全等 请画出ABC， 使ABC与ABC 不全等 并在图中作出适当的标注或必要的文字说明 （3）在ABC中，AB20，AC15，BC 边上的高 AD12，则ABC 的周长为 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）60或 42 【解析】 【分析】 （1）利用“HL”证明 RtABDRtABD，RtADCRtADC，得到BB，CC，利用“AAS”证明ABCABC即可； （2）根据题意画图即可； （3）分两种情况：当 BC边上的高 AD 在ABC的内部时，根据勾股定理求出 BD、DC的长，继而可得BC 的长
37、，然后计算ABC的周长即可；当 BC 边上的高 AD在ABC 的外部时，根据勾股定理求出 BD、DC 的长，继而可得 BC的长，然后计算ABC 的周长即可 【详解】 （1）证明：AD、AD分别是 BC、BC边上的高 ADBADB90 在 RtABD和RtABD中，ADBADB90 ，ABAB，ADAD RtABDRtABD（HL） BB 同理可得CC 在ABC 和ABC中，BB，CC，ACAC ABCABC（AAS） （2）解：反例如图 如图，ABAB，ACAC，ADAD， 但ABC与ABC不全等 （3）解：如图，AB20，AC15，BC 边上的高 AD12， 在 RtABD 中，BD=2222201216ABAD， 在 RtACD 中，DC=222215129ACAD， BC=BD+DC=16+9=25， ABC的周长为 20+15+25=60； 如图，AB20，AC15，BC边上的高 AD12， 在 RtABD中，BD=2222201216ABAD， 在 RtACD 中，DC=222215129ACAD， BC=BD-DC=16-9=7， ABC的周长为 20+15+7=42 综上，ABC的周长为 60或 42 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理熟记各个性质是解题的关键