1、2021-2022 学年珠海市香洲区部分学校八年级（上）期中数学试卷学年珠海市香洲区部分学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长为 3 和 8，第三边长为奇数，则第三边长为（ ） A. 5 或 7 B. 7 或 9 C. 7 D. 9 3. 如图， 已知ABDC， ADBC， E， F在DB上两点且BFDE， 若AEB120， ADB30， 则BCF （ ） A 150 B. 40 C. 80 D. 90 4.
2、 如图，DE 是ABC中 AC 边上的垂直平分线，如果 BC8cm，AB10cm，则EBC的周长为（ ） A. 16cm B. 18cm C. 26cm D. 28cm 5. 如图，在ABC中，EDBC，EAAB，若EABEDBEDC，则C（ ） A. 36 B. 30 C. 25 D. 15 6. 如图，AEAF，ABAC，EC 与 BF 交于点 O，A60，B25，则EOB的度数为（ ） A 60 B. 70 C. 75 D. 15 7. 已知等腰三角形其中一个内角为 70 ，那么这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. 70 B. 70 或 55 C. 40 或 55 D. 70 或 40
3、 8. 下图中显示的是从镜子中看到的背后墙上电子钟的读数，由此你可以推断这时的实际时间是( ) A. 10：05 B. 20：01 C. 20：10 D. 10：02 9. 如图所示， 某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去 A. B. C. D. 和 10. 如图，ABC 中，P、Q分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别是 R、S，若 AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：AS=AR；QPAR；BRPQSP；AP 垂直平分 RS其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题
4、共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分.） 11. 在ABC 中，A：B：C=2：3：4，则A=_，C=_ 12. 若正多边形的每一个内角为135o，则这个正多边形的边数是_ 13. 已知，点 A（m1，3）与点 B（2，n1）关于 x 轴对称，则（m+n）2020的值为 _ 14. 如图，已知方格纸中是 4个相同的小正方形，则12 的度数为_. 15. 如图，ABC 和FDE 中，AD=FC，AB=EF，当添加条件_时，就可得到ABCFED （只需填写一个正确条件即可） 16. 如图， 在ABC中， ABAC， A40， AB的垂直平分线 MN交
5、AC于点 D， 则DBC_度 17. 已知： 如图， AOB45， 点 P为AOB内部的点， 点 P 关于 OB， OA 的对称点 P1， P2的连线交 OA，OB 于 M，N两点，连接 PM，PN，若 OP2，则PMN 的周长_ 三、解答题（共三、解答题（共 80 分）分） 18. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3倍少 180 ，求这个多边形的边数 19. 如图，已知点 B、E、C、F 在同一直线上，AB=DE，A=D，ACDF 求证： （1） ABCDEF； （2）BE=CF 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，2） ，B（3，1） ，C（2，1） （1）在图中作出ABC关
6、于 y轴对称的A1B1C1； （2）写出点 C1的坐标： ； （3）A1B1C1的面积是多少？ 四、解答题（二） （每小题四、解答题（二） （每小题 8 分，共分，共 24分）分） 21. 如图，在ABC中，B=C，点 D、E、F分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，AD+EC=AB （1）求证：DE=EF； （2）当A=36 时，求DEF 的度数 22. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/BC，E 为 CD的中点，连接 AE、BE，且 BEAE，延长 AE交 BC的延长线于点 F求证： （1）ABBC+AD （2）AE 平分BAD 23. 如图，AD为ABC的中线，BE 为A
7、BD的中线 （1）ABE15，BAD40，求BED的度数； （2）尺规作图：过点 E作 EFBC，垂足为 F（保留作图痕迹） ； （3）在（2）的条件下，若ABC的面积为 40，BC10，求 EF 的长 五、解答题（三）五、解答题（三） 24. 如图，已知ABC 和CDE 均为等边三角形，且点 B、C、D在同一条直线上，连接 AD、BE，交 CE和 AC分别于 G、H点，连接 GH （1）求证：ADBE； （2）求证：BCHACG； （3）试猜想：CGH是什么特殊的三角形，并加以说明 25. 如图，在等边ABC中，AB9cm，点 P 从点 C出发沿 CB边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，
8、点 Q从 B点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t秒钟 （1）你能用 t表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来 （2）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形？ （3）若 P、Q两点分别从 CB两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 AEC三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在ABC哪条边上相遇？ 六、附加题六、附加题 26. 如图，等边ABC 中，A，B关于 y轴对称，ADAC交 y轴负半轴于点 D，C（0，6） （1）如图 1，求 D 点坐标； （2） 如图 2， E 为 x 轴负半轴上任一点， 以 CE为边作等边CEF， FA
9、延长线交 y轴于点 G， 求 OG的长； （3） 如图 3， 在 （1） 的条件下， 以 D为顶点作 60的角， 它的两边分别与 CA、 BC交于点 MN， 连接 MN 探究线段 AM、MN、NB 之间的关系，并予以证明 2021-2022 学年珠海市香洲区部分学校八年级（上）期中数学试卷学年珠海市香洲区部分学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形的定义作答 如果把一个图形沿着一条
10、直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 解：根据轴对称图形概念，可知只有 A 沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合 故选 A 考点：轴对称图形 2. 一个三角形的两边长为 3 和 8，第三边长为奇数，则第三边长为（ ） A 5 或 7 B. 7 或 9 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】根据三角形三边关系可得：5第三边11，根据第三边长为奇数，则第三边长为 7 或 9 故选 B. 3. 如图， 已知ABDC， ADBC， E， F在DB上两点且BFDE， 若AEB120， ADB30， 则BCF （ ） A. 150 B.
11、40 C. 80 D. 90 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：AB=DC，AD=BC， 四边形 ABCD为平行四边形， ADE=CBF， BF=DE， ADECBF， BCF=DAE， DAE+ADB=AEB BCF=DAE=AEB-ADB=90 故选 D 考点：平行四边形的性质 4. 如图，DE 是ABC中 AC 边上的垂直平分线，如果 BC8cm，AB10cm，则EBC的周长为（ ） A. 16cm B. 18cm C. 26cm D. 28cm 【答案】B 【解析】 【分析】由 DE是ABC中 AC边上的垂直平分线，可得 AE=CE，继而可得EBC 的周长=BC+AB 【详解】解
12、：DE是ABC 中 AC 边上的垂直平分线， AE=CE， BC=8cm，AB=10cm， EBC的周长为：BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=8+10=18（cm） 故选：B 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质注意掌握数形结合思想与转化思想的应用 5. 如图，在ABC中，EDBC，EAAB，若EABEDBEDC，则C（ ） A. 36 B. 30 C. 25 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】求出A=90，根据直角三角形性质求出ABC+C=90，根据全等三角形的性质得出C=ABE=EBD，再求出答案即可 【详解】解：EAAB， A=90， EABEDBEDC， C=E
13、BD，ABE=EBD， C=ABE=EBD， ABC+C=90， 3C=90， C=30， 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和直角三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等 6. 如图，AEAF，ABAC，EC 与 BF 交于点 O，A60，B25，则EOB的度数为（ ） A. 60 B. 70 C. 75 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】已知可得ABFACE，结合三角形内角和可得AEC=95 ，再由外角性质可得 【详解】解：AE=AF，AB=AC，A=60 ， ABFACE(SAS)， C=B=25 ， AEC=180
14、-60 -25 =95 ， EOB=95 -25 =70 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形中内角与外角之间的关系和全等三角形的判定和性质此题主要运用了三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和、全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理 7. 已知等腰三角形其中一个内角为 70 ，那么这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. 70 B. 70 或 55 C. 40 或 55 D. 70 或 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题有两种可能性，70 为顶角或者为底角，此时可以得出两个答案. 【详解】当 70 为底角时，三角形内角和减去（70 2） ，得到顶角为 40 ，还可以当顶角为 70
15、，所以答案选择 D项. 【点睛】本题考查了等腰三角形的顶角的位置，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 8. 下图中显示的是从镜子中看到的背后墙上电子钟的读数，由此你可以推断这时的实际时间是( ) A. 10：05 B. 20：01 C. 20：10 D. 10：02 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称 解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是 20：01 故选 B 考点：镜面对称 9. 如图所示， 某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻
16、璃，那么最省事的办法是带（ ）去 A. B. C. D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案 【详解】解：第块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合 ASA判定，所以应该拿去 故选：C 【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握 10. 如图，ABC 中，P、Q分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别是 R、S，若 AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：AS=
17、AR；QPAR；BRPQSP；AP 垂直平分 RS其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接 AP,根据 HL判定APR和APS全等，即可说明正确；由APR 和APS全等可得RAP=PAC，再根据等腰三角形性质推出QAP=QPA，得到QPA=BAP，根据平行线判定推出OP/AB，即正确；在 RtBRP 和 RtQSP 中，只有 PR=PS.无法判断 RtBRP 和 RtQSP 是否全等；连接 RS，与 AP 交于点 D，先证ARDASD，即 RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定. 【详解】 解：如图，连接 AP PRAB，PSAC，PR=P
18、S APRAPS AS=AR，RAP=PAC 即正确； 又AQ=PQ QAP=QPA QPA=BAP OP/AB，即正确. 在 RtBRP 和 RtQSP 中，只有 PR=PS.无法判断 RtBRP 和 RtQSP 是否全等,故错误. 如图，连接 PS APRAPS AR=AS，RAP=PAC AP 垂直平分 RS，即正确； 故答案为 C. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分分.） 11. 在ABC 中，A：B：C=2
19、：3：4，则A=_，C=_ 【答案】 . 40 . 80 【解析】 【分析】设A=2x ，则B=3x ，C=4x ，根据三角形的内角和列出方程求解即可. 【详解】设A=2x ，则B=3x ，C=4x ， A+B+C=180 ， 即：2x +3x +4x =180 ， 解得：x=20 A=40 ，则B=60 ，C=80 ， 故答案为 40 、80 . 【点睛】考查三角形的内角和，掌握三角形的内角和等于 180 是解题的关键. 12. 若正多边形的每一个内角为135o，则这个正多边形的边数是_ 【答案】八（或 8） 【解析】 【详解】分析：根据正多边形的每一个内角为135o，求出正多边形的每一个外
20、角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数. 详解：根据正多边形的每一个内角为135o， 正多边形的每一个外角为：18013545 , 多边形的边数为：3608.45 故答案为八. 点睛：考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键. 13. 已知，点 A（m1，3）与点 B（2，n1）关于 x 轴对称，则（m+n）2020的值为 _ 【答案】1 【解析】 分析】根据题意可得：12,13mn ，可求出3,2mn ，即可求解 【详解】解：点 A（m1，3）与点 B（2，n1）关于 x 轴对称， 12,13mn ， 解得：3,2mn ， 2 2020200321mn 故答案为：1 【点睛
21、】本题主要考查了点的坐标关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于 x 轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两点关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键 14. 如图，已知方格纸中是 4个相同小正方形，则12 的度数为_. 【答案】90 【解析】 【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得1与2 的和为 90 . 【详解】解：如图，根据方格纸的性质， 在ABD和CBE 中 ABBCBBBDBE ， ABDCBE（SAS） ， 1=BAD， BAD+2=90 ， 12 =90 . 故答案为：90 . 【点睛】此题主要考查了全等
22、图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质 15. 如图，在ABC和FDE 中，AD=FC，AB=EF，当添加条件_时，就可得到ABCFED （只需填写一个正确条件即可） 【答案】BC=ED或AF或 ABEF或B=E=RT等 【解析】 【分析】要得到ABCFED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案 【详解】AD=FC，AC=FD，又 AB=EF，加 BC=DE 就可以用 SSS判定ABCFED； 加A=F 或 ABEF就可以用 SAS 判定ABCFED； 加B=E=90就可以用 HL判定ABCFED 故答案为 BC=ED或A=F或 ABE
23、F或B=E=90 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 16. 如图， 在ABC中， ABAC， A40， AB的垂直平分线 MN交 AC于点 D， 则DBC_度 【答案】30o 【解析】 【详解】试题分析：根据 AB=AC，A=40 可得：ABC=C=70 ，根据中垂线的性质可得：ABD=A=40 ，则DBC=ABCABD=70 40 =30 . 考点：(1)、等腰三角形；(2)、线段中垂线 17. 已知： 如
24、图， AOB45， 点 P为AOB内部的点， 点 P 关于 OB， OA 的对称点 P1， P2的连线交 OA，OB 于 M，N两点，连接 PM，PN，若 OP2，则PMN 的周长_ 【答案】2 2 【解析】 【分析】连结 OP1，OP2，点 P 关于 OB，OA的对称点 P1，P2，对称 OP1=OP2=OP=2，P1OB=POB，P2OA=POA，NP1=NP，MP2=MP，由BOA=45 ，可得P1OP2=90 ，在 RtP1OP2中，根据勾股定理P1P2=222212+2 +22 2OPOP,可求PMN 的周长=NP+MP+NM=P1N+MN+P2M=P1P2=2 2即可 【详解】解：
25、连结 OP1，OP2， 点 P关于 OB，OA 的对称点 P1，P2， OP1=OP2=OP=2，P1OB=POB，P2OA=POA，NP1=NP，MP2=MP， BOA=45 ， POB+POA=45 ， P1OP2=P1OB+POB+POA+P2OA=2POB+2POA=2（POB+POA）=90 ， 在 RtP1OP2中，根据勾股定理 P1P2=222212+2 +22 2OPOP, PMN 的周长=NP+MP+NM=P1N+MN+P2M=P1P2=2 2， 故答案为2 2 【点睛】本题考查轴对称性质，勾股定理，三角形周长，掌握轴对称性质，勾股定理，三角形周长是解题关键 三、解答题（共三
26、、解答题（共 80 分）分） 18. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3倍少 180 ，求这个多边形的边数 【答案】7 【解析】 【分析】多边形的外角和是 360 ，内角和是（n2） 180 ，依此列方程可求多边形的边数 【详解】解：设这个多边形的边数是 n，根据题意得： （n-2） 180 =3 360 -180 ， （n-2）5， n7 这个多边形的边数是 7 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可 19. 如图，已知点 B、E、C、F 在同一直线上，AB=DE，A=D，ACDF 求证： （1）ABCDEF； （2）BE=
27、CF 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：证明：(1)ACDF ACBF 在ABC 与DEF中 ACBFADABDE ABCDEF (2) ABCDEF BC=EF BCEC=EFEC 即 BE=CF 考点：全等三角形的性质和判定 点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，2） ，B（3，1） ，C（2，1） （1）在图中作出ABC关
28、于 y轴对称的A1B1C1； （2）写出点 C1的坐标： ； （3）A1B1C1的面积是多少？ 【答案】 （1）见解析； （2） （2，1） ； （3）4.5 【解析】 【分析】 （1）分别作出三个顶点关于 y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据关于 y轴的对称点的坐标特点即可得出； （3）利用长方形的面积减去三个顶点上三个直角三角形的面积即可 【详解】解： （1）如图，A1B1C1即为所求； （2）由关于 y轴的对称点的坐标特点可得，点 C1的坐标为： （2，1） ， 故答案为： （2，1） ； （3）A1B1C1的面积为：1113 52 53 31 24.5222 【点睛】本题考查了
29、轴对称与坐标变化，熟知关于 y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键 四、解答题（二） （每小题四、解答题（二） （每小题 8 分，共分，共 24分）分） 21. 如图，在ABC中，B=C，点 D、E、F分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE=CF，AD+EC=AB （1）求证：DE=EF； （2）当A=36 时，求DEF 的度数 【答案】 （1）见解析； （1）DEF=72 【解析】 【分析】 （1）证明BDECEF（SAS） ，即可得出 DE=EF； （2）由三角形内角和定理求出B=C=72 ，由全等三角形的性质得出BDE=CEF，再由三角形的外角性质即可得出答案 【详解】 （1）证明：A
30、D+EC=AB，AD+BD=AB， BD=EC， 在BDE和CEF中BDECBCBECF ， BDECEF（SAS） ， DE=EF； （2）解：ABC中，A=36 ， B=C=12（180 -36 ）=72 ， 由（1）知：BDECEF， BDE=CEF， 又DEF+CEF=B+BDE， DEF=B=72 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质；证明三角形全等是解题的关键 22. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/BC，E 为 CD的中点，连接 AE、BE，且 BEAE，延长 AE交 BC的延长线于点 F求证： （1）ABBC+AD （2）AE
31、平分BAD 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】（1） 由 ASA 证得AEDFEC， 那么 AD=CF， AE=FE 再由 SAS证明AEBFEB， 推出 AB=BF，即可证得结论； （2）由（1）得AEBFEB，AEDFEC，得BAE=F，DAE=F，那么BAE=DAE 【详解】证明： （1）ADBC， D=ECF， AED与FEC是对顶角， AED=FEC， E为 CD 的中点， DE=CE 在AED和FEC中， DECFDECEAEDFEC ， AEDFEC（ASA） ， AD=CF，AE=FE， BEAE 于点 E， AEB=90 ，FEB=90 ， AEB=F
32、EB， 在AEB和FEB中， AEFEAEBFEBBEBE， AEBFEB（SAS） ， AB=BF， AB=BC+CF， AB=BC+AD； （2）由（1）得：AEBFEB，AEDFEC BAE=F，DAE=F BAE=DAE AE 平分BAD 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键 23. 如图，AD为ABC的中线，BE 为ABD的中线 （1）ABE15，BAD40，求BED的度数； （2）尺规作图：过点 E作 EFBC，垂足为 F（保留作图痕迹） ； （3）在（2）的条件下，若ABC的
33、面积为 40，BC10，求 EF 的长 【答案】 （1）BED 的度数为 55 ； （2）见解析； （3）EF=4 【解析】 【分析】 （1）利用三角形外角和内角的关系，直接求出BED； （2）利用尺规作图作垂线即可； （3） 因为中线把三角形分成面积相等的两个三角形， 知ABC的面积可求出ABD的面积、 BDE 的面积，利用三角形的面积公式，知底可求出该底上的高 【详解】解： （1）BED=BAD+ABE=40 +15 =55 ； （2）如图所示：EF即为所求作； （3）AD为ABC 的中线，ABC 的面积为 40，BC10， SABD=12SABC=20，BD5， BE 为ABD 的中线，
34、 SBDE=12SABD=10， SBDE=12BDEF，即5EF=20， EF=4 【点睛】本题考查了三角形的内外角关系、中线的性质及三角形的面积公式三角形的外角性质：外角等于不相邻的两个内角之和； 三角形的中线的性质： 三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形 五、解答题（三）五、解答题（三） 24. 如图，已知ABC 和CDE 均为等边三角形，且点 B、C、D在同一条直线上，连接 AD、BE，交 CE和 AC分别于 G、H点，连接 GH （1）求证：ADBE； （2）求证：BCHACG； （3）试猜想：CGH是什么特殊的三角形，并加以说明 【答案】 （1）见解析； （2）见解析；
35、 （3）CGH是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明ACDBCE即可得出答案； （2）根据ACDBCE，推出CBH=CAG，由ACB=ECD=60 ，点 B、C、D 在同一条直线上，得出ACG=60 ，根据 AC=BC即可证明； （3）由ACGBCH，推出 CG=CH，根据ACG=60 即可证明 【详解】解： （1）ABC和CDE均为等边三角形， AC=BC，EC=DC， ACB=ECD=60 ， ACD=ECB， ACDBCE(SAS)， AD=BE； （2）ACDBCE， CBH=CAG， ACB=ECD=60 ，点 B、C、D在同一条直线上， ACG=60
36、 =ACB， 又AC=BC， ACGBCH(ASA)； （3）CGH是等边三角形，理由如下： ACGBCH， CG=CH（全等三角形的对应边相等） ， 又ACG=60 ， CGH是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形） 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质 25. 如图，在等边ABC中，AB9cm，点 P 从点 C出发沿 CB边向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q从 B点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm/s 速度移动Q 两点同时出发，它们移动的时间为 t秒钟 （1）你能用 t表示 BP 和
37、BQ 的长度吗？请你表示出来 （2）请问几秒钟后，PBQ 为等边三角形？ （3）若 P、Q两点分别从 CB两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 AEC三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？ 【答案】 （1）BP=（9-2t）cm；BQ=5tcm； （2）当 t=97s 时，PBQ为等边三角形； （3）t=6s 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质可求得 BC的长，用 t可表示出 BP 和 BQ的长； （2）由等边三角形的性质可知 BQ=BP，可得到关于 t的方程，可求得 t的值； （3）设经过 t秒后第一次相遇，由条件可得到关于 t的方程，可求得 t的
38、值，可求得点 P 走过的路程，可确定出 P点的位置 【详解】解： （1）ABC是等边三角形， BC=AB=9cm， 点 P的速度为 2cm/s，时间为 ts， CP=2t， 则 PB=BC-CP=（9-2t）cm； 点 Q的速度为 5cm/s，时间为 ts， BQ=5tcm； （2）若PBQ为等边三角形， 则有 BQ=BP，即 9-2t=5t， 解得 t=97， 所以当 t=97s 时，PBQ为等边三角形； （3）设 ts 时，Q与 P 第一次相遇， 根据题意得：5t-2t=18， 解得 t=6， 则 6s时，两点第一次相遇 当 t=6s 时，P 走过得路程为 26=12cm， 而 91218
39、，即此时 P在 AB边上， 则两点在 AB 上第一次相遇 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，是一道探究型动点题，解决此类型题先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否成立，对于动点问题，常常化动为静，寻找特殊位置，从而解决问题，例如此题的第三问，应理解为追及问题，找出等量关系 Q 运动的路程-P运动的路程=2倍的等边三角形边长是解题的关键 六、附加题六、附加题 26. 如图，等边ABC 中，A，B关于 y轴对称，ADAC交 y轴负半轴于点 D，C（0，6） （1）如图 1，求 D 点坐标； （2） 如图 2， E 为 x 轴负半轴上任一点， 以 CE 为边
40、作等边CEF， FA 的延长线交 y轴于点 G， 求 OG的长； （3） 如图 3， 在 （1） 的条件下， 以 D为顶点作 60的角， 它的两边分别与 CA、 BC交于点 MN， 连接 MN 探究线段 AM、MN、NB 之间的关系，并予以证明 【答案】 （1）D（0，-2） ； （2）OG=6； （3）AM+BN=MN，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先证ACO=30 ，在 RtACO中由勾股定理求出 AC 的长，再在 RtACD 中求出 CD的长，即可求出 OD的长，进一步写出点 D坐标； （2）证FCAECB，求出GAO=60 ，再证CAOGAO，即可得到 OG=OC=6； （3）
41、如图 3，延长 MA至点 H，使 AH=BN，连接 BD，先证DAHDBN，再证DMHDMN，即可推出 AM+BN=MN 【详解】解： （1）ABC为等边三角形，A，B 关于 y轴对称，C（0，6） ， COAB，CO=6， AO=BO，ACO=BCO=12ACB=30 ， 在 RtACO 中， 设 AO=x，则 AC=2x， AO2+CO2=AC2， x2+62=（2x）2， 解得，x=23（取正值） ， AO=23，AC=43， ADAC， 在 RtADC中，设 AD=a，则 CD=2a， AD2+AC2=CD2， a2+（43）2=（2a）2， 解得，a=4（取正值） ， AD=4，CD
42、=8， OD=CD-CO=2， D（0，-2） ； （2）CAB和CFE是等边三角形， CA=CB，CF=CE，ACB=FCE=60 ， ACB+ECA=FCE+ECA， 即FCA=ECB， FCAECB（SAS） ， FAC=EBC=60 ， GAO=180 -FAC-CAB=60 ， 即GAO=CAO， 又AO=AO，COA=GOA=90 ， CAOGAO（ASA） ， OG=OC=6； （3）AM+BN=MN，理由如下： 如图 3，延长 MA至点 H，使 AH=BN，连接 BD，HD， 由（1）知，CD垂直平分 AB， DA=DB，CBD=CAD=90 ，CDB=CDA=60 ， ADB=120 ， MDN=60 ， ADM+BDN=60 ， 在DAH和DBN 中， DA=DB，DAH=DBN=90 ，AH=BN， DAHDBN（SAS） ， DH=DN，BDN=ADH， ADM+ADH=60 ， 即MDH=MDN=60 ， 又DH=DN，DM=DM， DMHDMN（SAS） ， MH=MN， AM+AH=MN， 即 AM+BN=MN 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作图方法