1、20212022 学年度学年度九年级数学九年级数学第一学期期中学情分析样题第一学期期中学情分析样题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 1. 方程 x(x1)0 的根是（ ） A. x11，x20 B. x11，x20 C. x1x20 D. x1x21 2. 已知O的半径为 1，点 P 在O 外，则 OP的长（ ） A. 大于
2、 1 B. 小于 1 C. 大于 2 D. 小于 2 3. 若方程 x22xk0 有两个实数根，则 k的取值范围是（ ） A. k1 B. k1 C. k1 D. k1 4. 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 5. 小明前 3 次购买的西瓜单价如图所示，若第 4次买的西瓜单价是a元/千克，且这 4 个单价的中位数与众数相同，则 a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，RtABC直角顶点 C 在O 上滑动，且各边与O分别交于点 D，E，F，G，若EF，DG，DE的度数比为 2：3：5，BEBF，则
3、A的度数为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接填写在填写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 7. 方程 x29 的根是_ 8. 一组数据 6，2，1，3的极差为_ 9. 填空：x22x_(x_)2 10. 三种圆规的单价依次是 15 元、10 元、8元，销售量占比分别为 20%，50%，30%，则三种圆规的销售均价为_元 11. 某商品原价为 200元，连续两次涨价后，售价为 288元，则平均每次涨
4、价的百分率为_ 12. 设 x1，x2是关于 x的方程 x2kxk20的两个根，x1x21，则 x1x2_ 13. 如图，在O中，直径 ABCD，垂足为 E，若 AECD4，则O的半径为_ 14. 如图，以ABC的边 BC 为直径的O分别交边 AB，AC于点 D，E，设A，则DE的度数为_(用含 的代数式表示) 15. 若关于 x的一元二次方程 ax2k0 的一个根为 1，则方程 a(x1)2k0的解为_ 16. 在四边形 ABCD 中， ABAD5， 连接 BD， BD6， CABD， 则 AC 的长的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 888
5、8 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）2x6x70； （2）2x(x1)1x 18 用一根长 16 cm的铁丝： （1）能否围成面积是 7 cm2的矩形？请说明理由 （2）能围成矩形的最大面积为 cm2 19. 如图，AB 是O的弦，点 C、D在弦 AB上，且 OCOD求证：ACBD 20. 甲、乙两人在相同的情况下各打靶 6 次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环） ： 甲：9，6，7，6，7，7 乙：4，5，8，7，8，10 （1）计算两人打靶成绩的方差； （2
6、）请推荐一人参加比赛，并说明理由 21. 国庆期间，甲、乙两人分别从长津湖 、 我和我的父辈 、 皮皮鲁与鲁西西三部电影中随机选择两部观看 （1）甲选择长津湖 、 我和我的父辈观看的概率为 ； （2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率 22. 已知关于 x 的方程(xm)2(xm)0 （1）求证：无论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求 m 的值 23. 如图，将 AOB 绕点 O顺时针旋转到 COD的位置，O与 CD相切于点 E 求证：AB 是O的切线 24. 如图，AB，CD 是O的两条弦， =AC BD 求证 ABCD （请用两种不同的
7、方法证明） 25. 某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为 5元据市场调查：每杯售价 30 元，平均每天可销售 300杯；价格每降低 5 元，平均每天可多销售 100杯为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利 7 820元，这款奶茶应售价多少元？ 26. 如图，O经过菱形 ABCD 的 B，D两顶点，分别交 AB，BC，CD，AD于点 E，F，G，H （1）求证 AEAH； （2）连接 EF，FG，GH，EH，若 BD 是O 的直径，求证：四边形 EFGH是矩形 27. 【概念提出】【概念提出】 圆心到弦距离叫作该弦的弦心距 【数学理解】【数学理解】 如图，在O中，AB 是弦，OP
8、AB，垂足为 P，则 OP的长是弦 AB 的弦心距 （1）若O的半径为 5，OP 的长为 3，则 AB的长为 （2）若O的半径确定，下列关于 AB 的长随着 OP的长的变化而变化的结论： AB 的长随着 OP 的长的增大而增大； AB长随着 OP 的长的增大而减小； AB 的长随着 OP 的长的确定而确定； AB 的长与 OP的长无关 其中所有正确结论的序号是 【问题解决】【问题解决】 如图，已知线段 EF，MN，点 Q 是O内一定点 （3）用直尺和圆规过点 Q作弦 AB，满足 ABEF； （保留作图痕迹，不写作法） （4）若弦 AB，CD 都过点 Q，ABCDMN，且 ABCD设O 的半径为
9、 r，OQ的长为 d，MN的长为l 求 AB，CD长（用含 r，d，l的代数式表示） ； 写出作 AB，CD的思路 20212022 学年度九年级数学第一学期期中学情分析样题学年度九年级数学第一学期期中学情分析样题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 1. 方程 x(x1)0 的根是（ ） A. x11，x20 B. x11，x
10、20 C. x1x20 D. x1x21 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【详解】解：x（x1）0， x10，x0， x11，x20， 故选：A 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 2. 已知O的半径为 1，点 P 在O 外，则 OP的长（ ） A. 大于 1 B. 小于 1 C. 大于 2 D. 小于 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以求得 OP的取值范围，从而可以解答本题 【详解】解：O的半径为 1，点 P 在O外， OP1， 故选：A 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题的关
11、键是明确题意，求出 OP的取值范围 3. 若方程 x22xk0 有两个实数根，则 k的取值范围是（ ） A. k1 B. k1 C. k1 D. k1 【答案】D 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到 224k0，然后解不等式即可 【详解】解：根据题意得 224k0， 解得 k1 故答案选：D 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根 4. 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两个正面朝上的概率是（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D.
12、12 【答案】B 【解析】 【分析】把所有可能出现的情况列举出来，将需要的结果数出来，代入概率公式计算即可 【详解】 同时抛掷两枚均匀的硬币， 正面朝上记为“正”， 背面朝上记为“背”， 则可能出现的情况有 （正，背） ， （正，正） ， （背，正） ， （背，背）共 4 种情况，其中出现两个正面朝上的情况有（正，正）共 1种，故出现两个正面朝上的概率为14 故选 B 【点睛】本题考查了列举法求概率，熟悉列举法的步骤是解决本题的关键 5. 小明前 3 次购买的西瓜单价如图所示，若第 4次买的西瓜单价是a元/千克，且这 4 个单价的中位数与众数相同，则 a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C.
13、 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决 【详解】解：由统计图可知，前 3次的中位数是 3， Q第 4次买的西瓜单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数， 3a， 故选：C 【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 6. 如图，RtABC的直角顶点 C在O上滑动，且各边与O分别交于点 D，E，F，G，若EF，DG，DE的度数比为 2：3：5，BEBF，则A的度数为（ ） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】连接 OG、OD、OE、OF、EF
14、，首先根据圆周角的性质推出 GF 为直径，进一步结合EF，DG，DE的度数比为 2：3：5，求出EOF 和DOE，从而结合圆的基本性质求出OEF 和OED，从而可得到BEF，然后根据等边对等角推出B，最后利用直角三角形两锐角互余求解即可 【详解】解：如图所示，连接 OG、OD、OE、OF、EF， 由题意，C=90 ，C、G、F三点均在O上， GF为直径， EF，DG，DE的度数比为 2：3：5， 2 3 5EOFDOGDOE， 218036235EOF ，518090235DOE ， OE、OF、OD均为半径， OF=OE=OD， 1180722OEFOFEEOF ， 1180452OEDOD
15、EDOE ， 18063BEFOEFOED， BE=BF， BEF=BFE=63 ， B=180 -2 63 =54 ， A+B=90 ， A=90 -54 =36 ， 故选：D 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质等，理解圆中的基本性质，圆周角定理等是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 2 2 分，共分，共 2020 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接填写在填写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 7. 方程 x29 的根是_ 【答案】3 【解析】 【分析】直接开方法求解一元二次方程即可
16、【详解】解：29x 3x 所以方程 x29的根是3 故答案为3 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键 8. 一组数据 6，2，1，3的极差为_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据极差的概念，求解即可，一组数据的最大值与最小值的差为极差 【详解】解：根据极差的定义可得，这组数据的极差为6 15 故答案为5 【点睛】此题考查了极差的求解，解题的关键是掌握极差的定义 9. 填空：x22x_(x_)2 【答案】 . 1 . 1 【解析】 【分析】根据配方法填空即可，加上一次项系数一半的平方 【详解】Q22211xxx 故答案为：1,1 【点睛】本题考查了完全平方
17、公式，掌握完全平方公式是解题的关键 10. 三种圆规的单价依次是 15 元、10 元、8元，销售量占比分别为 20%，50%，30%，则三种圆规的销售均价为_元 【答案】10.4 【解析】 【分析】代入加权平均数公式计算即可 【详解】15 20% 10 50% 8 30% 10.4 ，故填 10.4 【点睛】本题考查了加权平均数，熟悉加权平均数公式是解决本题的关键 11. 某商品原价为 200元，连续两次涨价后，售价为 288元，则平均每次涨价的百分率为_ 【答案】20% 【解析】 【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，故可求解 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x
18、由题意可得：2200(1)288x 解得10.2x ，22.2x （舍去） 平均每次涨价的百分率为20% 故答案为20% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 12. 设 x1，x2是关于 x的方程 x2kxk20的两个根，x1x21，则 x1x2_ 【答案】1 【解析】 【分析】首先结合一元二次方程根与系数的关系两根之和求出参数 k的值，然后确定该一元二次方程，再根据两根之积求解即可 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：1211xbkkax ， 原方程为：210 xx ， 12111xcax ， 故答案为：1 【点睛】本题考查一元二次方
19、程根与系数的关系，理解并熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题关键 13. 如图，在O中，直径 ABCD，垂足为 E，若 AECD4，则O的半径为_ 【答案】2.5 【解析】 【分析】连接 OC，设OEx，则4OAOCAExx ，根据垂径定理建立方程求解即可 【详解】解：如图所示，连接 OC，则OAOCr， 设OEx，则4OAOCAExx ， ABCD，AB为直径， AB 垂直平分 CD，即：122CECDCD， 在 RtOCE中，222OCOECE， 即：22242xx， 解得：1.5x ， 4 1.52.5rOA ， 故答案：2.5 【点睛】本题考查垂径定理，理解并熟练运用垂径定理是解题
20、关键 14. 如图，以ABC的边 BC 为直径的O分别交边 AB，AC于点 D，E，设A，则DE的度数为_(用含 的代数式表示) 【答案】180 2 【解析】 【分析】连接 BE，OD，OE，如图，根据圆周角定理，由 BC 为直径得BEC90，再利用互余得到ABE90A90，然后根据圆周角定理即可得到DOE的度数 【详解】解：连接 BE，OD，OE，如图， BC为直径， BEC90， ABE90A90， DOE2ABE180 2 故答案为：180 2 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
21、90的圆周角所对的弦是直径 15. 若关于 x的一元二次方程 ax2k0 的一个根为 1，则方程 a(x1)2k0的解为_ 【答案】x10，x22 【解析】 【分析】将1x 代入 ax2k0求得ak，的关系，然后代入方程 a(x1)2k0 求解即可 【详解】解：由题意可得：0a 将1x 代入 ax2k0，得0ak，即ka 将ka 代入 a(x1)2k0，得2(1)0a xa 化简得：2(1)1x，即1 1x 或11x 解得1202xx， 故答案为1202xx， 【点睛】此题考查了一元二次方程的概念及求解，熟练掌握一元二次方程的概念以及求解方法是解题的关键 16. 在四边形 ABCD 中， AB
22、AD5， 连接 BD， BD6， CABD， 则 AC 的长的取值范围是_ 【答案】5AC10 【解析】 【分析】以ABAD、为圆的两个切线，作圆O，根据题意可得点C在优弧BD上，即可求解 【详解】解：如图：以ABAD、为圆的两个切线，切点分别为B D、，作圆O，连接BO并延长交圆O于点F，连接OD、AO并延长AO交圆O于点C，交BD于点E，如下图： 则：ODAD，90FDBADO ODFADB 又ADAB ADBABD 又CABD CADB ODOF FODFCADB 可得：点C在优弧BD上运动，所以当点C接近B D、时，AC最小，当点C与点C重合时，AC最大，即ADACAC ADAB，OD
23、OB AO垂直平分BD 132DEBD，90AED 勾股定理可得：224AEADDE FADB ，90FDBAED ADEBFD ADAEBFBD，即546BF，解得152BF 11524OCODBF 由勾股定理可得：22254AOADOD 10ACAO OC 510AC 故答案为510AC 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意确定点C的运动轨迹 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 1111 小题，共小题，共 8888 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说明
24、、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）2x6x70； （2）2x(x1)1x 【答案】 （1）1x1，2x7 （2）3x12，4x1 【解析】 分析】 （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可 【详解】 （1）解：2x6x70 2(3)x16 x3 4 1x1，2x7 （2）解：2x(x1)1x 2x(x1)(x1)0 (2x1)(x1)0 3x12，4x1 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择合适的方法是解题的关键 18 用一根长 16 cm的铁丝： （1）能否围成面积是 7 cm2的矩形？请说明理由 （2）能围成矩形的最大面积为 cm2 【答案】 （1）
25、用一根长 16 cm的铁丝能围成面积是 7cm2的矩形 （2）16 【解析】 【分析】 （1）设这根铁丝围成的矩形的长是 x cm，则矩形的宽是（8x）cm，然后列出一元二次方程，解方程即可 （2）由（1）可知，设面积为 y，则利用配方法进行解题，即可得到答案 【详解】解： （1）设这根铁丝围成的矩形的长是 x cm，则矩形的宽是（8x）cm 根据题意，得 x(8x)7， 解得：x11，x27 答：用一根长 16 cm的铁丝能围成面积是 7cm2的矩形 （2）根据题意，设这根铁丝围成的矩形的长是 x ，面积为 y，则 22(8)8(4)16yxxxxx， 最大面积为16cm2； 故答案为：16
26、 【点睛】本题考查了列一元二次方程解应用题，解题的关键是熟练掌握题意正确的列出方程 19. 如图，AB 是O的弦，点 C、D在弦 AB上，且 OCOD求证：ACBD 【答案】详见解析 【解析】 【分析】过点 O 作 OHAB，垂足为 H，由垂径定理可得 AH=BH，再结合 OC=OD 可得OAD 是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得 CH=DH，进而完成证明. 【详解】证明：过点 O 作 OHAB，垂足为 H， AHBH， OCOD，且 OHCD， CHDH， AHCHBHDH， ACBD 【点睛】本题考查的是垂径定理和等腰三角形的性质，根据题意作出合适的辅助线是解答本题的关键. 20.
27、甲、乙两人在相同情况下各打靶 6次，每次打靶的成绩依次如下（单位：环） ： 甲：9，6，7，6，7，7 乙：4，5，8，7，8，10 （1）计算两人打靶成绩的方差； （2）请推荐一人参加比赛，并说明理由 【答案】 （1）S甲21环2， S乙24 环2； （2）推荐甲，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）代入方差公式计算即可； （2）根据比赛需要稳定发挥，超常发挥的成绩，方差越小成绩越稳定来推荐参赛人员 【详解】解： （1）x甲16(967677)7（环） ， x乙16(4587810)7（环） ； S甲222222211=9767776777776166（环2） ， S乙222222211=
28、475787778710724466（环2） ； （2）推荐甲在甲、乙平均成绩相同的前提下，甲成绩的方差较小，甲成绩比较稳定 （或推荐乙在甲、乙平均成绩相同的前提下，乙一直处于上升趋势，有潜力 【点睛】本题考查了方差的概念，利用方差做决策，结合生活实际理解数学概念是本题的亮点 21. 国庆期间，甲、乙两人分别从长津湖 、 我和我的父辈 、 皮皮鲁与鲁西西三部电影中随机选择两部观看 （1）甲选择长津湖 、 我和我的父辈观看的概率为 ； （2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率 【答案】 （1）13； （2）13 【解析】 【分析】 （1）利用概率的定义公式计算即可； （2）用列举法把所
29、有可能性都列出来，数出满足要求的结果数，代入概率的定义公式即可 【详解】解： （1）甲从长津湖 、 我和我的父辈 、 皮皮鲁与鲁西西三部电影中任意选出 2部观看有 6种等可能结果，其中选择长津湖 、 我和我的父辈观看的结果有 2种， 甲选择长津湖 、 我和我的父辈观看的概率为13； （2）将长津湖 、 我和我的父辈 、皮皮鲁与鲁西西三部电影分别用字母 A、B、C表示甲、乙各选择两部电影观看，所有可能出现的结果共有 9 种， 即（AB，AB） 、 （AB，AC） 、 （AB，BC） 、 （AC，AB） 、 （AC，AC） 、 （AC，BC） 、 （BC，AB） 、 （BC，AC） 、 （BC，B
30、C） ，这些结果出现的可能性相等 所有的结果中，满足甲、乙两人选择观看的两部电影相同（记为事件 M）的结果有 3种， 所以 P（M）=39=13 【点睛】本题考查了概率的定义，列举法求概念，正确理解概率的定义是解决本题的关键 22. 已知关于 x 的方程(xm)2(xm)0 （1）求证：无论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求 m 的值 【答案】 （1）见解析； （2）m1152 ，m2152 【解析】 【分析】 （1）整理方程，由根的判别式列式求解即可； （2）整理方程，由根与系数关系求解即可 【详解】 （1）证明： 整理原方程，得 x2(2m1)x
31、m2m0. b24ac4m24m14m24m10， 无论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：方程 x2(2m1)xm2m0的两个根互为倒数， x1x21，即 x1x2=m2m=1 解得 m1152 ，m2152 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况的关系，根与系数的关系，利用这些关系列出对应式子求解是解决本题的关键 23. 如图，将 AOB 绕点 O顺时针旋转到 COD的位置，O与 CD相切于点 E 求证：AB 是O的切线 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接 OE，过点 O作 OFAB，垂足为 F，由旋转的性质得 AOBCOD，即 AC，OAOC，由切线定
32、理得 OECD，AFOCEO90 ，易证 AOFCOE，OEOF，由切线的性质定理即可判定 AB 是O 的切线 【详解】解：连接 OE，过点 O 作 OFAB，垂足为 F， 由旋转，得 AOBCOD AC，OAOC O与 CD 相切于点 E， OECD AFOCEO90 AOFCOE OEOF OF是O的半径 点 F 是半径的外端， AB是O的切线 【点睛】本题考查了切线的性质定理、全等三角形的性质和判定和旋转的性质，根据已知条件作出辅助线是解题的关键 24. 如图，AB，CD 是O的两条弦， =AC BD 求证 ABCD （请用两种不同的方法证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：
33、连接 AD，由=AC BD知BADADC，据此可得证； 方法二：作 OEAB，垂足为 E，交 CD于点 F，交O于点 G，连接 OC，OD，由垂径定理可得=CG DG，可得COGDOG，再根据等腰三角形的性质进而得出OFDOEB=90 即可得证 【详解】方法一方法一 证明：连接 AD， =AC BD， BADADC， ABCD. 方法二方法二 证明：作 OEAB，垂足为 E，交 CD于点 F，交O于点 G，连接 OC，OD， OEAB， =AG BG， =AC BD， =AGAC BGBD， =CG DG， COGDOG， OCOD， OGCD， OFD90 ， OEB90 ， OFDOEB，
34、 ABCD. 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系，三者关系可理解为： 在同圆或等圆中， 圆心角相等， 所对的弧相等， 所对的弦相等， 三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合 25. 某奶茶店销售一款奶茶，每杯成本为 5元据市场调查：每杯售价 30 元，平均每天可销售 300杯；价格每降低 5 元，平均每天可多销售 100杯为了让顾客获得最大优惠，又可让店家销售这款奶茶平均每天获利 7 820元，这款奶茶应售价多少元？ 【答案】这款奶茶应售价 22 元 【解析】
35、 【分析】设这款奶茶每杯降价 x 元，则销售量为100(300)5x杯 ，每杯利润为30 5x 元，根据题意列出一元二次方程接方程求解即可 【详解】解：设这款奶茶每杯降价 x 元 根据题意，得(305x)(30020 x)7 820 整理，得 x210 x160 解得 x12，x28 让顾客获得最大优惠， x12 舍去，30822 答：这款奶茶应售价 22 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键 26. 如图，O经过菱形 ABCD 的 B，D两顶点，分别交 AB，BC，CD，AD于点 E，F，G，H （1）求证 AEAH； （2）连接 EF，FG，GH，EH，若
36、 BD 是O 的直径，求证：四边形 EFGH是矩形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 DE、BH，根据菱形的性质，证明ADEABH即可； （2）连接 DE，DF，根据圆的性质，证明ADECDF和AEHCFG， 后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明 【详解】 （1）证明：连接 DE、BH， 四边形 ABCD是菱形， ABAD AA，ADEABH， ADEABH AEAH （2）连接 DE，DF BD 是O 的直径， BEDBFD90 AEDCFD90 ADCD，AC， ADECDF AECF 用（1）中同样的方法可证 CFCG AHCG AEHCF
37、G EHFG AHEAEH90 12A，ADBABD90 12A， AHEADB EHBD 同理可证 FGBD， EHFG 四边形 EFGH是平行四边形 FEHFGH 又四边形 EFGH是O的内接四边形， FEHFGH180 ， FEH90 ， 四边形 EFGH是矩形 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键 27. 【概念提出】【概念提出】 圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距 【数学理解】【数学理解】 如图，在O中，AB 是弦，OPAB，垂足为 P，则 OP的长是弦 AB 的弦心距 （1）若O的半径
38、为 5，OP 的长为 3，则 AB的长为 （2）若O的半径确定，下列关于 AB 的长随着 OP的长的变化而变化的结论： AB 的长随着 OP 的长的增大而增大； AB 的长随着 OP 的长的增大而减小； AB 的长随着 OP 的长的确定而确定； AB 的长与 OP的长无关 其中所有正确结论的序号是 【问题解决】【问题解决】 如图，已知线段 EF，MN，点 Q 是O内一定点 （3）用直尺和圆规过点 Q作弦 AB，满足 ABEF； （保留作图痕迹，不写作法） （4）若弦 AB，CD 都过点 Q，ABCDMN，且 ABCD设O 的半径为 r，OQ的长为 d，MN的长为l 求 AB，CD的长（用含 r
39、，d，l的代数式表示） ； 写出作 AB，CD的思路 【答案】 （1）8 （2）； （3）见解析； （4）AB2221682lrdl，CD2221682lrdl；见解析 【解析】 【分析】 （1） 连接 OA， 先根据垂径定理得出 AP=12AB， 再根据勾股定理求出 AP的长， 即可求得 AB的长； （2）设半径为 r 不变，得出 AB222 rop，然后根据式子判断即可； （3）利用弦心距及线段垂直平分线作图即可； （4）设 AB2m，CD2n，列出关于 m和 n 的二元一次方程组求解即可； 类比（3）的作图方法即可 【详解】 （1）解：连接 OA OPAB， AP=12AB， OA=5，
40、OP=3， AP=2222534OAOP， AB=2AP=8 （2）设半径为 r 不变， AB=AP+BP=2222222OAOPOBOProp， 当 r 不变，OP的长增大时，AB 减小；OP长确定时，AB 也确定， 选 （3）如图，弦 AB，满足 ABEF； （4）解：设 AB2m，CD2n，如图，可得： 2222222.rmrndmnl，解得222222168,41684lrdtmlrdtn AB2221682lrdl，CD2221682lrdl， 作图思路：先作斜边为 4r，一条直角边为 22d，另一条直角边为22168rd的直角三角形；后作斜边为22168rd，一条直角边为 l，另一条直角边为2221681rd的直角三角形；再在O中作出长为22211682rdl的弦，再如（3）中作法过点 Q作弦 AB；最后过点 Q 作 AB 的垂直弦 CD 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆的弦心距，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题