1、20202021 学年学年九年级数学九年级数学第一学期期中质量监测试题第一学期期中质量监测试题 （满分（满分 120 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 第第卷卷 选择题（共选择题（共 30 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 2355xx B. 2210 xy C 2(2.5)0 xx x D. 20axbxc 2. 请判断一元二次方程249704xx的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D.
2、 不能确定 3. 下列二次函数中，其图象的顶点坐标为（-3，-1）的是（ ） A. 2(3)1yx B. 2(3)1yx C. 2(3)1yx D. 2(3)1yx 4. 如图，将ABC 绕点 A逆时针旋转 100，得到ADE若点 D在线段 BC的延长线上，则B 的大小为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 5. 若关于x的一元二次方程2100 xxm可以通过配方写成2()0 xn的形式，那么下列关于,m n的值正确的是（ ） A. 25,5mn B. 20,5mn C. 100,10mn D. 20,5mn 6. 如图，四边形 ABCD中，AB=AD，CEBD，CE=12B
3、D若ABD的周长为 20cm，则BCD的面积 S（cm2）与 AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ） A. 21101004Sxx B. 2240200Sxx C. 220100Sxx D. 220100Sxx 7. 将抛物线22-1yx向左平移 2个单位长度， 再向下平移 3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为 （ ） A. 22(2)4yx B. 2(2) -4yx C. 22(2) -4yx D. 22(2)3yx 8. 如图是二次函数2 yaxbxc的部分图象,由图象可知不等式20axbxc的解集是（ ） A. 1x B. 5x C. 1 5x D. 1x或5x 9. 小希同学
4、有一块长 12cm，宽 10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 48cm2的无盖长方体小礼盒根据题意可列方程为（ ） A. (12)(10)48xx B. 212 10448x C. (122 )(102 )48xx D. 212 104(12 10)48xx 10. 二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. 0a B. 20abc C. 02ba D. 24bac 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
5、5 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 15 分）分） 11. 请写出一个与 y 轴交点为（0，5） ，对称轴为直线 x=-1 的抛物线的解析式_（只需写一个） 12. 如图，AB 是O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CEAB 于点 E，ACE 的度数为_ 13. 飞机着陆后滑行距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是23602ytt在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是_s 14. 某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为 480平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够） ，另外三边由总长为 60
6、米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为 1米的入口和出口（如图） 请根据方案计算出矩形场地的长_米 15. 如图， 抛物线2yaxc与直线ykxb交于 A （-1，m） ， B （3，n） 两点， 则不等式2axkxcb的解集是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16. 解下列方程： （1）22653xx （2）13 (4)22xxx 17. 如图，D是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A、B、D作Oe （1）求证：AB是Oe的直径； （2）延长 CB 交Oe于点 E，连接 DE，求证：DC=DE 18. 已知关于x的一元
7、二次方程(1)(2 )(1)0 xxkk k. （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根12,x x是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为 3，试求k的值 19 按要求完成下列任务： （1）用配方法把二次函数267yxx写成2()yxhk的形式； （2）在下面的平面直角坐标系中画出267yxx的图象； （3）若 A11( ,)x y, B22(,)xy 是函数267yxx图象上两点，且120 xx，请比较1y, 2y的大小关系（直接写出结果） ； （4）观察函数的图象：请回答x为何值时，y随x的增大而减小 ？这个问题的解答体现了什么数学思想？ 20
8、. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了解方程25 -140 xx即(5)14x x得方法.首先构造了如图 1 所示得图形， 图中的大正方形面积是2(5)xx， 其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24 145，据此易得2x 任务：
9、 （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程2-4 -120 xx的正确构图是 （从序号中选择） （2）请你通过上述问题的学习，在图 2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程22 -150 xx（写出必要的思考过程） 21. 为了防控疫情的需要， 某商店以每箱30元的价格购进一批消毒液 已知该商店第一天卖出消毒液80箱，每箱能获得 10 元的利润后调查了解到：若每箱利润增加 1元，每天就少卖 4 箱某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润 900 元，则这天每箱消毒液的售价是多少元？ 22. 综合与实践 【情境呈现】如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC
10、和 DEC 重合放置，其中C=90 若固定ABC，将DEC 绕着点 C旋转 【初步探究】 （1）如图 2，当DEC 绕点 C 旋转，点 D恰好落在 AB 边的中点上时，请求出此时旋转角的度数. （2）如图 2，当DEC 绕点 C 旋转，点 D 恰好落在 AB 边上时，若此时旋转角为，则CED 的度数为 （用含的式子表示） 【拓展提升】 （3）当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示位置时，勤勉小组猜想：BDC 的面积与AEC的面积相等，试判断勤勉小组的猜想是否正确，若正确，请你帮他们证明；若不正确，请说明理由 23. 如图 1，抛物线223yxbxc与x轴交于 A，B（3，0）两点，与y轴交于 C
11、（0，-2） ，直线 AD交y轴于点 E2(0,)3，与抛物线交于 A，D两点，点 P是直线 AD下方抛物线上一点（不与 A，D 重合）. （1）求抛物线的解析式与直线 AD 的解析式； （2）如图 1，过点 P作 PNy轴交直线 AD 于点 N，求线段 PN的最大值； （3）如图 2，连接 AP，DP，是否存在点 P，使得三角形 APD的面积等于 2，若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 20202021 学年九年级数学第一学期期中质量监测试题学年九年级数学第一学期期中质量监测试题 （满分（满分 120 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 第第卷卷 选择题（共选择
12、题（共 30 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 2355xx B. 2210 xy C. 2(2.5)0 xx x D. 20axbxc 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可 【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当 a=0 时不是一元二次方程，故本选项不符合题意 故选：A 【点睛】
13、本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键 2. 请判断一元二次方程249704xx的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【详解】解：=（-7）2-4 （494 ）=0， 方程有两个相等的实数根 故选：B 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b2-4ac 有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时
14、，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根 3. 下列二次函数中，其图象的顶点坐标为（-3，-1）的是（ ） A. 2(3)1yx B. 2(3)1yx C. 2(3)1yx D. 2(3)1yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式确定顶点坐标即可 【详解】解：A. 2(3)1yx的顶点坐标为（3，1） ，不符合题意； B. 2(3)1yx的顶点坐标为（-3，1） ，不符合题意； C. 2(3)1yx的顶点坐标为（3，-1） ，不符合题意； D. 2(3)1yx的顶点坐标为（-3，-1） ，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数顶点，解题关键是根据顶点式确定抛物线的顶点
15、坐标 4. 如图，将ABC 绕点 A逆时针旋转 100，得到ADE若点 D在线段 BC的延长线上，则B 的大小为（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】ADE 是由ABC 绕点 A 旋转 100得到的， BAD=100 ，AD=AB， 点 D在 BC 的延长线上， B=ADB=180100402-=ooo. 故选 B. 点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角BAD=100 ，对应边AB=AD 及点 D在 BC 的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得B的度数了. 5. 若关于x的一元二次方程2100
16、xxm可以通过配方写成2()0 xn的形式，那么下列关于,m n的值正确的是（ ） A. 25,5mn B. 20,5mn C. 100,10mn D. 20,5mn 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式展开即可得解； 详解】2()0 xn， 2220 xxnn， 又一元二次方程2100 xxm， 210n ，2mn， 5n ，25m； 故选 A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确分析计算是解题的关键 6. 如图，四边形 ABCD中，AB=AD，CEBD，CE=12BD若ABD的周长为 20cm，则BCD的面积 S（cm2）与 AB的长x（cm）之间的函数关系式可以
17、是（ ） A. 21101004Sxx B. 2240200Sxx C. 220100Sxx D. 220100Sxx 【答案】C 【解析】 【分析】先求解,BD CE的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可. 【详解】解：Q AB=AD，ABD 的周长为 20cm，设,ABx 202 ,BDx=- 1,2CEBD=Q ()120210,2CExx=-=- ,CEBDQ ()()2112021020100,22BDCSBD CExxxx=-=-+Vg 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式列二次函数关系式”是解题的关键. 7. 将抛
18、物线22-1yx向左平移 2个单位长度， 再向下平移 3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为 （ ） A. 22(2)4yx B. 2(2) -4yx C. 22(2) -4yx D. 22(2)3yx 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移变化规律左加右减，上加下减求解即可 【详解】解：抛物线22-1yx向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到的抛物线的解析式为22(2)1 3yx ，即22(2)4yx， 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是明确平移变化规律左加右减自变量，上加下减常数项 8. 如图是二次函数2 yaxbxc的部分图象,由图象可知不等式2
19、0axbxc的解集是（ ） A. 1x B. 5x C. 1 5x D. 1x或5x 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像性质，可知20axbxc的解集位于 x 轴的上方，分别求出与 x 轴交点坐标即可解决问题. 【详解】 根据二次函数图像性质， 可知20axbxc的解集位于 x 轴的上方， 有图像可知， 对称轴为 x=2，抛物线与 x 轴的交点为（5,0） ，由此可知抛物线与 x 轴另一个交点为（-1,0） ，所以20axbxc的解集是1 5x. 故答案是 C. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与 x 轴的交点坐标. 9. 小希同学有一块长 12
20、cm，宽 10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 48cm2的无盖长方体小礼盒根据题意可列方程为（ ） A. (12)(10)48xx B. 212 10448x C. (122 )(102 )48xx D. 212 104(12 10)48xx 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（12-2x）cm，宽为（10-2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决 【详解】解：由题意可得， (122 )(102 )48xx， 故选：C 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出一元二
21、次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程 10. 二次函数2yaxbxc（0a）图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. 0a B. 20abc C. 02ba D. 24bac 【答案】B 【解析】 【分析】由开口方向可判断 A，由与 y 轴的交点、对称轴、开口方向可判断 B，由对称轴的位置可判断 C，由图象与 x 轴的交点个数可判断 D，则可求得答案 【详解】解：抛物线开口向上， a0，故 A 正确； 对称轴在 y的右侧， 02ba，故 C 正确 a0， b0， 20abc，故 B 不正确； 抛物线与 x轴有两个交点， b2-4ac0，即24bac，故
22、D正确； 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 15 分）分） 11. 请写出一个与 y 轴交点为（0，5） ，对称轴为直线 x=-1 的抛物线的解析式_（只需写一个） 【答案】y=x2+2x+5 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把点（0，5）代入可得 c=5，根据对称轴方程可得 b=2a，据此即可得答案 【详解】设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+
23、c， 抛物线与 y轴交点为（0，5） ， c=5， 对称轴为直线 x=-1， 2ba=-1， b=2a， 抛物线的解析式可以为 y=x2+2x+5， 故答案为：y=x2+2x+5 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握对称轴方程为 x=2ba是解题关键 12. 如图，AB 是O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CEAB 于点 E，ACE 的度数为_ 【答案】30 【解析】 【分析】连接 OC,由题意得出 AOC是等边三角形即可解答. 【详解】如图，连接 OC AB 是直径，ACCDBD， AOC=COD=DOB=60， OA=OC， AOC 是等边三角形， A=60， CEOA， AEC=
24、90， ACE=9060=30 故答案为 30 【点睛】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识. 13. 飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是23602ytt在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是_s 【答案】20 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案 【详解】解：2233602060022yttt ， 当 t=20时，y 取得最大值 600， 即飞机着陆后滑行 20s 才能停下来， 故答案为：20 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟
25、练将二次函数的一般式配方成顶点式，并理解函数取得最大值时的实际意义 14. 某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为 480平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够） ，另外三边由总长为 60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为 1米的入口和出口（如图） 请根据方案计算出矩形场地的长_米 【答案】30或 32#32或30 【解析】 【分析】设矩形场地的长为 x 米，则宽为11601 23122xx 米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解 【详解】解：设矩形场地的长为 x米，则宽为11601 23122xx 米， 由题
26、意得：1314802x x ， 21314802xx ， 2629600 xx ， 30320 xx ， 解得：1230,32xx ， 矩形场地的长为 30米或 32 米， 故答案为：30或 32 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程 15. 如图， 抛物线2yaxc与直线ykxb交于 A （-1，m） ， B （3，n） 两点， 则不等式2axkxcb的解集是_ 【答案】3x或1x #1x 或3x-+再分析直线ykxb 上的()()1,3.3CkbDkb-+-+在抛物线上，再利用图象法解不等式即可. 【详解】解：Q 2axkxcb， 2,ax
27、ckx b+ -+ ()()1,3,AmBn-Q在ykxb上， ,3,mkb nkb=-+=+ 而ykxb ， 当1,xykb=-+ 当3,3,xykb=-=+ ()()1,3,3CkbDkb-+-+在ykxb 上， 则,A C关于抛物线的对称轴y轴对称，同理,B D关于抛物线的对称轴y轴对称， ,C D也在抛物线2yaxc上，如图， 2axckx b+ -+的解集为：3x或1,x 2axkxcb的解集为：3x或1.x 故答案为：3x或1.x 【点睛】本题考查的二次函数的对称性，关于y轴对称的点的坐标特点，一次函数的性质，利用图象法解一元二次不等式，掌握“利用图象法解一元二次不等式”是解题的关
28、键. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16. 解下列方程： （1）22653xx （2）13 (4)22xxx 【答案】 （1）124,1xx ； （2）1214,6xx 【解析】 分析】 （1）运用因式分解法，先移项，合并同类项，因式分解得(4)(1)0 xx求解即可； （2）先移项13 (4)(4)02x xx，运用提公因式法因式1(4)( 3)02xx求解即可 【详解】 （1）解：22653xx， 22680 xx， 2340 xx， (4)(1)0 xx， 4010 xx ， 124,1xx ； （2）解：13 (4)22xxx， 1
29、3 (4)(4)2x xx， 13 (4)(4)02x xx， 1(4)( 3)02xx， 140302xx， 1214,6xx 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握运用一元二次方程的解法 17. 如图，D是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A、B、D作Oe （1）求证：AB是Oe的直径； （2）延长 CB 交Oe于点 E，连接 DE，求证：DC=DE 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】 （1）连接 BD，根据圆周角定理判断即可； （2）根据圆周角定理证明即可； 【详解】 （1）连接 BD， BABC，ADDC， BDAC， 9
30、0ADB， AB 是Oe的直径； （2）BABC， AC ， 由圆周角定理可得：AE ， CE， DCDE 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确分析证明是解题的关键 18. 已知关于x的一元二次方程(1)(2 )(1)0 xxkk k. （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根12,x x是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为 3，试求k的值 【答案】 （1）见解析； （2）k的值为 4 【解析】 【分析】 （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质讨论即可； 【详解】 （1）(1)(2 )
31、(1)0 xxkk k， 整理得：22(21)0 xkxkk 1a ，(21)bk ，2ckk， 2224(21)4 1 ()backkk =10 ， 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）22(21)0 xkxkk， 2421 122bbackxa ， 1xk，21xk， 当xk为对角线时，222(1)3kk， 解得：5k （不符合题意，舍去） ， 当1xk为对角线时，22213kk， 解得：4k ； 综合可得，k的值为 4 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键 19. 按要求完成下列任务： （1）用配方法把二次函数267yxx写成
32、2()yxhk的形式； （2）在下面的平面直角坐标系中画出267yxx的图象； （3）若 A11( ,)x y, B22(,)xy 是函数267yxx图象上两点，且120 xx，请比较1y, 2y的大小关系（直接写出结果） ； （4）观察函数的图象：请回答x为何值时，y随x的增大而减小 ？这个问题的解答体现了什么数学思想？ 【答案】 （1）2(3)2yx； （2）见解析； （3）12yy； （4）3x，数形结合 【解析】 【分析】 （1）运用配方法可求解； （2）先列表取值，再在平面直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接即可； （3）根据图象可得结论； （4）观察函数的图象可得结论 【详解】解
33、： （1）267yxx 2692xx 2-32x （2）列表取值 x 0 2 3 4 y 7 -1 -2 -1 描点连线 （3）抛物线开口向上，对称轴为直线 x=3 当 x3时，y随 x的增大而减小 又 x1x20， y1y2 （4）由图象可知，当 x3 时，y随 x的增大而减小， 这个问题的解答体现了 数形结合的思想 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式及二次函数的图象和性质 20. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的泥板文书中到了中世纪，阿
34、拉伯数学家花拉子米在他的代表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了解方程25 -140 xx即(5)14x x得方法.首先构造了如图 1 所示得图形， 图中的大正方形面积是2(5)xx， 其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24 145，据此易得2x 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程2-4 -120 xx的正确构图是 （从序号中选择） （2）请你通过上述问题的学习，在图 2的网
35、格中设计正确的构图，用几何法求解方程22 -150 xx（写出必要的思考过程） 【答案】 （1）； （2）3x 【解析】 【分析】 （1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得 x的值 【详解】 解： （1） 应构造面积是2(4)xx的大正方形， 其中四个全等的小矩形面积分别为(4)12x x，中间的小正方形的面积为24，所以大正方形的面积又可表示为24 12464，进一步可知大正方形的边长为 8，所以48xx，得6x故正确构图的是 故答案为：； （2）首先构造了如图 2 所示的图形 图中的大正方形面积是2(2)xx，其中四个全等的小矩形面积分别为(2)15x x
36、，中间的小正方形面积为22，所以大正方形的面积又可表示为24 15264，进一步可知大正方形的边长为 8，所以28xx，得3x 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程体现了数形结合的思想 21. 为了防控疫情的需要， 某商店以每箱30元的价格购进一批消毒液 已知该商店第一天卖出消毒液80箱，每箱能获得 10 元的利润后调查了解到：若每箱利润增加 1元，每天就少卖 4 箱某天该商店通过销售这批消毒液一共获得利润 900 元，则这天每箱消毒液的售价是多少元？ 【答案】这天每箱消毒液的售价是 45元 【解析】 【分析】利用数
37、量关系：销售每箱消毒液的利润 销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可 【详解】解：设这天每箱消毒液的售价是x元， 依题意得：80-4(30 10) (30)900 xx， 整理得：29020250 xx， 解得：1245xx， 答：这天每箱消毒液的售价是 45元 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用根据题意表示出销量是解题关键 22. 综合与实践 【情境呈现】如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90 若固定ABC，将DEC 绕着点 C旋转 【初步探究】 （1）如图 2，当DEC 绕点 C 旋转，点 D恰好落在 AB 边的中点上时，请求出此
38、时旋转角的度数. （2）如图 2，当DEC 绕点 C 旋转，点 D 恰好落在 AB 边上时，若此时旋转角为，则CED 的度数为 （用含的式子表示） 【拓展提升】 （3）当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，勤勉小组猜想：BDC的面积与AEC的面积相等，试判断勤勉小组的猜想是否正确，若正确，请你帮他们证明；若不正确，请说明理由 【答案】 （1）旋转角为 60； （2）12； （3）勤勉小组的猜想是正确的，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和旋转的性质可知ACD 是等边三角形，从而得解； （2）由旋转性质知 AC=DC，故ACD=，根据等腰三角形的
39、性质和三角形的内角和即可表示出A=CDE=1902o从而求出CED （3）猜想是正确的，过点 D 作 DHBC,垂足为 H，过点 A 作 AGEC 的延长线于点 G，根据旋转的性质证明DHCAGC，得到DH=AG，再利用三角形的面积公式可知BDCSAECS 【详解】 （1） 由旋转可知：CA=CD A=90，D是 AB的中点 CD=AD CA=CD=AD ACD等边三角形 ACD=60 旋转角为 60 （2）12 ，理由如下： 由旋转性质知 AC=DC，故ACD=，A=ADC=1902o， 又CDE=A=1902o， CED=119090(90)22CDEooo （3）勤勉小组的猜想是正确的
40、理由如下： 过点 D作 DHBC,垂足为 H， 过点 A作 AGEC的延长线于点 G，如图 3 ACB=DCE=90 HCD+ACE=180 ACE+GCA=180 HCD=GCA DHBC ,AGEC DHC=AGC=90 由旋转可得：CD=CA 在DHC和AGC中 90DHCAGCHCDGCACDCA DHCAGC(AAS) DH=AG 12BDCSBC DH,12AECSEC AG,BC=EC BDCSAECS 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质， 直角三角形的性质， 等边三角形的判定和全等三角形的判定和性质，灵活运用旋转的性质进行计算和证明是解题的关键 23. 如图 1，抛物线223y
41、xbxc与x轴交于 A，B（3，0）两点，与y轴交于 C（0，-2） ，直线 AD交y轴于点 E2(0,)3，与抛物线交于 A，D两点，点 P是直线 AD下方抛物线上一点（不与 A，D 重合）. （1）求抛物线的解析式与直线 AD 的解析式； （2）如图 1，过点 P作 PNy轴交直线 AD 于点 N，求线段 PN的最大值； （3）如图 2，连接 AP，DP，是否存在点 P，使得三角形 APD的面积等于 2，若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）224233yxx，2233yx ； （2）PN有最大值为32； （3）存在，1(0, 2)P,28(1,)3P 【解
42、析】 【分析】 （1）把 B（3，0） ，C（0，-2）分别代入223yxbxc中，解方程组可得解，求出点 A 坐标，设直线 AD的解析式为ykxb，把 A(-1，0)，E(0，23)分别代入ykxb中求解即可； （2）设（224,233xxx） ，得到 N（22,33xx） ，由两点间的距离公式得到关于 m的二次函数，根据二次函数的性质即可得到结论； （3）联立方程组求出点 D坐标，依据三角形面积公式得出方程，求解方程即可 【详解】解： （1）把 B（3，0） ，C（0，-2）分别代入223yxbxc中 6302bcc 解得：432bc 抛物线的解析式为224233yxx 令0y ，则224
43、2033xx 解得：121,3xx A(-1，0) 设直线 AD的解析式为ykxb 把 A(-1，0)，E(0，23)分别代入ykxb中，得 023kbb 解得：2323kb 直线 AD的解析式为2233yx （2）设 P（224,233xxx） N（22,33xx） PN=2233x-224(2)33xx=2224333xx 230a PN有最大值 PN 有最大值=244acba=32 （3）存在 联立方程组得，2242332233yxxyx 解得：1110 xy ，112-2xy D（2，-2） 由（2）可知：PN=2224333xx APDAPNDPNSSS =11(1)(2)22PN xPNx =132PN =23224()2333xx =22xx 2APDS 222xx 解得：120,1xx 1(0, 2)P，28(1,)3P 【点睛】考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法等知识点，正确的理解题意是解题的关键