1、八年级数学国庆作业轴对称图形01 基础题知识点 1 轴对称与轴对称图形1(赤峰中考)下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的 ，其中是轴对称图形的是 (填序号) 2图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？（第 2 题） （第 3 题）知识点 2 线段的垂直平分线3(遂宁中考)如图，在ABC 中，AC4 cm，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，BCN 的周长是 7 cm，则 BC 的长为( )A1 cm ； B2 cm ； C3 cm； D4 cm知识点 3 画轴对称图形4请作出图中四边形 ABCD 关于直线 a 的轴对称图形，要求：不写作
2、法，但必须保留作图痕迹知识点 4 等腰三角形5(荆门中考改编)如图，ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线，已知 BD4，则 BC 的长为( )A5； B6； C8； D10（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题）6如图，在ABC 中，ABAC，A36，BD、CE 分别是ABC、BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有( )A5 个； B4 个； C3 个； D2 个知识点 5 等边三角形7如图所示，ABC 是等边三角形，且 BDCE ，1 15，则2 的度数为( )A15 B30 C45 D608(义乌中考)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在
3、使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可如图 1，衣架杆 OAOB18 cm，若衣架收拢时，AOB60，如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是 cm.知识点 6 含 30角的直角三角形的性质9如图，ABC 中，C 90，ABC60，BD 平分 ABC，若 AD6，则 CD （第 9 题） （第 10 题） （第11 题）10如图，ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，若 AD2 cm，则ABC 的周长为cm.知识点 7 最短路径问题11如图，在ABC 中，BAC90，AB 3，AC4，BC 5，EF 垂直平分 BC，点P 为直线 EF 上的任一点，则 APBP 的最小值是( ) A3；
4、 B4； C5； D602 中档题12如图，在ABC 中，ABAC，ABC 75，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与ACE 的平分线相交于点 D，则D 的度数为( ) A15 B17.5 C20 D22.5（第 12 题） （第 13 题）13(雅安中考)如图所示，顶角 A 为 120的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，若DE2，则 EC 14如图，在平面直角坐标系中，A(1，2) ，B(3，1)，C(2，1)(1)在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；(2)A 1B1C1 的面积为 15如图所示，MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC.(1)若APQ 的周
5、长为 12，求 BC 的长；(2)BAC105，求PAQ 的度数03 综合题16如图，在等边ABC 中，点 E 为边 AB 上任意一点，点 D 在边 CB 的延长线上，且EDEC.(1)当点 E 为 AB 的中点时(如图 1)，则有 AEDB( 填“ ”“”或“”)；(2)猜想 AE 与 DB 的数量关系 ，并证明你的猜想参考答案：1；2解：1 和 3，是，两条3C；4解：如图所示：四边形 ABCD即为所求5C；6A；7D；818；93；1012；11B；12A；138；14 （1）解：如图所示：A 1B1C1 即为所求（2）4.5；15解：(1)MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC，
6、AP BP ，AQCQ.APQ 的周长为 APPQAQBPPQCQBC.APQ 的周长为 12，BC12.(2)APBP ， AQCQ， BBAP，CCAQ.BAC105，BAP CAQ BC 180 BAC18010575.PAQ BAC(BAPCAQ)1057530 .16解：当点 E 为 AB 上任意一点时，AE 与 DB 的大小关系不会改变理由如下：过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，ABC 是等边三角形，ABCACBA60，ABACBC.AEFABC 60，AFEACB 60，即AEFAFEA60.AEF 是等边三角形AEEFAF.ABCACBAFE 60，DBEEFC120，D
7、BEDFCEECD60.DEEC，DECD. BEDECF.在DEB 和ECF 中， DEB ECF， DBE EFC，DE EC， )DEBECF(AAS )BDEF AE，即 AEBD.(二) 线段的垂直平分线的应用类型 1 线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用1如图，在ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E，垂足分别为F，G，已知 ADE 的周长为 12 cm，则 BC （第 1 题）2如图，AB 比 AC 长 3 cm，BC 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 于 E，ACD 的周长是 14 cm，求 AB 和 AC 的长3如图，在四边形 ABCD 中，
8、ADBC，E 为 CD 的中点，连接 AE，BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：(1)FCAD；(2)AB BCAD.类型 2 线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用4如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？类型 3 线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用5如图，OE，OF 分别是ABC 中 AB，AC 边的中垂线(即垂直平分线) ，OBC，OCB 的平分线相交于点 I，试判定 OI 与 BC 的位置关系，并给出证明参考答案：112_cm；2解：
9、ACD 的周长是 14 cm，ADDCAC14 cm.又DE 是 BC 的垂直平分线，BDDC.ADDCADBDAB.ABAC14 cm.AB 比 AC 长 3 cm，ABAC3 cm.AB8.5 cm，AC5.5 cm.3证明：(1)ADBC，ADEFCE.E 是 CD 的中点，DECE.又AED FEC，ADEFCE(ASA)FCAD.(2)ADEFCE ，AEEF ，ADCF.又BEAE，BE 是线段 AF 的垂直平分线ABBFBCCF.ADCF ，ABBC AD.4解：连接 AB，BC，分别作 AB，BC 的垂直平分线 DE，GF，两直线交于点 M，则点 M 就是所要确定的购物中心的位
10、置，如图5解：OI BC.证明：连接 AO，延长 OI 交 BC 于点 M.OE，OF 分别为 AB，AC 的中垂线，OAOB，OAOC.OBOC.又BI，CI 分别为OBC，OCB 的平分线，点 I 必在BOC 的平分线上BOI COI.在BOM 和COM 中，BOMCOM(SAS)BMOCMO.OB OC， BOM COM，OM OM， )又BMOCMO 180.BMO CMO90.OIBC.(三) 轴对称变换的应用类型 1 轴对称图形的展开与折叠1(绥化中考)把一张正方形纸片如图，图对折两次后 ，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )（第 1 题） （第 2 题）类型 2 翻折
11、式的轴对称变换2(娄底中考)将ABC 沿直线 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，已知 AB7，BC 6，则BCD 的周长为 3(潜江中考)如图，在 RtABC 中，ACB 90，点 D 在 AB 边上，将CBD 沿 CD折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处若A26，求CDE 的度数4(枣庄中考改编)如图，ABC 的面积为 6，AC3，现将 ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的 C处，P 为直线 AD 上的一点，求线段 BP 的最短长度类型 3 轴对称变换与坐标5已知点 M(2ab，5a) ，N(2b 1，ab)(1)若点 M，N 关于 x 轴对称，求
12、a、b 的值；(2)若点 M，N 关于 y 轴对称，求(4ab) 2 017 的值6如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，A( 1，5)，B(1，0)，C(4，3)，直线 m 为横坐标都为 2 的点组成的一条直线(1)作出ABC 关于直线 m 对称的A 1B1C1；(2)直接写出 A1，B 1，C 1 的坐标；(3)求出A 1B1C1 的面积参考答案：1 C；213；3解：在 RtABC 中， ACB90，A26，B64.将CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处，且ACB 90，BCDECD45，CEDB64.CDE 180ECDCED71.4解：过点 B 作 B
13、MAD 于点 M，由题意可知ABCABC ，S ABC S ABC 6.S ABC ACBM6，AC AC3，BM 4.12根据垂线段最短可知 BMBP，BP4.BP 的最短长度为 4.5解：(1)M，N 关于 x 轴对称， 解得2a b 2b 1，5 a a b 0.) a 8，b 5.)(2)M ，N 关于 y 轴对称， 解得 (4ab) 2 0171.2a b 2b 1 0，5 a a b. ) a 1，b 3. )6解：(1)如图所示(2)A1(5，5)，B 1(5，0)，C 1(8，3)(3)A 1B1C1 的面积为 7.5.(四) 与等腰三角形的性质与判定相关的证明类型 1 证明线
14、段或角的数量关系1如图，ABC 中，AB AC，D 是 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且AEAF，求证：DEDF.2已知，如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 和 BE 交于H，且 BEAE.求证：AH2BD.3如图，在ABC 中，ABAC，BAC 90，D 为 AC 的中点，AEBD 于 F，交BC 于 E，求证： ADBCDE.4如图，在ABC 中，ABC2C，AD 平分BAC，求证：ABBDAC.类型 2 证明线段的位置关系5如图，点 C 是线段 AB 上任意一点 (点 C 与点 A，B 不重合)，分别以 AC，BC 为边在直线 AB
15、的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 CD 相交于点 M，BD 与 CE相交于点 N，连接 MN.求证：(1)ACMDCN；(2)MN AB.6如图，在ABC 中，ABAC，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，且BDCF，BECD，G 是 EF 的中点，求证：DGEF.类型 3 判断三角形的形状7已知：如图，OA 平分BAC，12.求证：ABC 是等腰三角形8已知ABC 中，BAC 90，AB AC，D 为 BC 的中点(1)如图 1，E，F 分别是 AB， AC 上的点，且 BEAF，试判断DEF 的形状，并说明理由；(2)如图 2，若 E，F 分别为 AB
16、，CA 的延长线上的点，仍有 BEAF.请判断DEF 是否仍具有(1)中的形状，并说明理由参考答案：1证明：连接 AD. ABAC，D 是 BC 的中点，EADFAD.在AED 和 AFD 中， AED AFD( SAS)DEDF.AE AF， EAD FAD，AD AD， )2证明：ADBC ，BEAC，BECADB90.EBC EAH.BEAE，AHE BCE.AHBC.ABAC ，ADBC，BC2BD.AH2BD.3证明：过点 C 作 CGAC 交 AE 的延长线于 G，则 CGAB，BAFG.又AFBD ， ACCG，BAF ABF90，CAGG90.ABF CAG.。在ABD 和CA
17、G 中， ABF CAG，AB AC， BAD ACG 90， )ABDCAG(ASA )ADCG，ADB G.又D 为 AC 中点，AD CD.CDCG.ABAC ，ABC ACB.又ABCG，ABCGCE.ACBGCE.CDECGE( SAS)CDEG.ADBCDE.4证明：延长 CB 至 E，使 BEBA，则BAEE.又ABC2C 2E，EC. AE AC.AD 平分BAC，BADDAC. BAEE，EC，BAEC.又EAD BAEBAD，EDACDAC ，EAD EDA.AEDE.AC DEBE BD ABBD.5证明：(1)ACD 和BCE 都是等边三角形，AC DC，BCEC，AC
18、DBCE60.ACDDCEECB180，DCE60.ACEDCB120.在ACE 和DCB 中， ACEAC DC， ACE DCB，CE CB， )DCB(SAS)EACBDC.在ACM 和DCN 中， ACMDCN( ASA) MAC NDC，AC DC， ACM DCN 60， )(2)由(1)知ACM DCN ，CM CN.又MCN60，CNM 为等边三角形，NMC 60.NMC ACM60.MNAB.6证明：连接 ED，FD. ABAC，B C.在BDE 和CFD 中， BDECFD( SAS)DEDF.BD CF， B C，BE CD， )又G 是 EF 的中点，DGEF.7证明：
19、过点 O 作 ODAB 于 D，OEAC 于 E，则 BOD 和COE 都是直角三角形OA 平分BAC，ODAB，OE AC，ODOE.12，OBOC.Rt BOD Rt COE(HL) ABOACO.ABCACB. ABAC.ABC 是等腰三角形8解：(1)DEF 为等腰直角三角形理由：连接 AD，易证BDEADF，DEDF，BDEADF.又BAC90，AB AC ，D 为 BC 的中点，ADBC.ADB90.EDFEDAADFEDABDEADB90.DEF 为等腰直角三角形(2)是，理由略(五) 运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型 1 针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知
20、等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍1(武汉中考)平面直角坐标系中，已知 A(2，2) 、B(4，0) 若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是( )A5 B6 C7 D8（第 1 题） （第 2 题）2如图，在 RtABC 中， ACB90，AB2BC，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 为等腰三角形 ，则符合条件的点 P 共有( )A7 个； B6 个； C5 个； D4 个3若实数 x，y 满足|x5| 0，则以
21、x，y 的值为边长的等腰三角形的周长为 y 10类型 2 针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于 180；等腰三角形中至少有两个角相等4等腰三角形有一个角为 52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？5如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数类型 3 针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，
22、比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论6已知ABC 中，AB AC ，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交成 50的角，求底角的度数7一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？8AC 为等腰ABD 的腰 BD 上的高，且CAB60.求这个三角形各内角的度数参考答案；1A；2B；325；4解：若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)264，故一腰上的高与底边的夹角为 26；若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为 38.故所
23、求的一腰上的高与底边的夹角为 26或 38.5解：设A，B，C 是该等腰三角形的三个内角 ，且A B.12设Ax，则B2x.若B 是顶角，则A，C 是底角，于是有C Ax.ABC180， x2xx180.解得 x45，故AC45，B90；若B 是底角，AB，A 是顶角，CB 2x.ABC180， x2x2x180.解得 x36，故A36，BC72.综上所述，等腰三角形的各内角分别为 45、45、90或 36、72、72.6解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图 1，垂直平分线 DE 与腰 AC 相交，且AED 50，则A40，所以BC
24、70；如图 2，垂直平分线 DE 与腰 AC 的反向延长线相交，且AED 50，则EAD 40， BAC 140，所以B C20.综上可知，等腰三角形的底角为 70或 20.7解：设A 为顶角，则 ABC、ACB 为底角(1)若A 为锐角 ，如图 1，作 BDAC 于点 D，根据题意有 BD AB，BDA90，A 30，ABCACB75；12(2)若A 为直角 ，根据题意“ 等腰三角形一边上的高等于另一边的一半” ，这种情况无解；(3)若A 为钝角 ，有三种情况：如图 2，作 ADBC 于点 D，根据题意有 AD AB，ADB90，ABCACB30；12如图 3，作 BDCA 的延长线于点 D
25、，根据题意有 BD BC，ADB90，12ABCACB30；如图 4，作 BDCA 的延长线于点 D，根据题意有 BD AB，ADB90，12BAD30，ABCACB15.综上所述，等腰三角形底角的度数是 75、30或 15.8解：如图 1，高 AC 在ABD 的内部，因为CAB60，ACB 90，所以B30.因为 BABD ，所以BAD D 75；如图 2，高 AC 在ABD 的外部，因为CAB60，ACB 90，所以ABC 30. 所以ABD150.因为 BABD ，所以BAD D 15；如图 3，高 AC 在ABD 的外部，因为CAB60，ACB 90，所以B30.因为 DADB，所以BADB 30.所以ADB120 .综上所述，这个三角形各内角的度数分别为 30，75，75或 150，15，15或 120，30，30.