1、专题专题 4 二次函数二次函数 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2021福州模拟）已知二次函数 yax2+bx+c，当 x1 时，该函数取得最大值 4设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为 x1，若 x12，则 a 的取值范围是（ ） A0a1 B1a4 C4a1 D4a0 2 （2021仓山区校级三模）抛物线 yax22ax1 过四个点（1+2，y1） （12，y2） （3，y3） （4，y4） ，若 y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则 a 的取值范围为（ ） Aa18 Ba13 C18a13 D18a13 3 （2021福州模拟）已知抛物线 yax
2、2+2ax+c 经过点 P（1，m） ，Q（3，m1） ，R（t，n） ，若 mn1，则 t 的值可以是（ ） A6 B2 C0 D2 4 （2021鼓楼区校级模拟）已知 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是 yax22x+c（a0）上的两点，则下列命题正确的是（ ） A若 x1x20 时，y1y2c，则开口一定向下 B若 x1x20 时，y1y2c，则开口一定向上 C若 x1x20 时，y1cy2，则开口一定向上 D若 x1x20 时，y1y2c，则开口一定向下 5 （2020福州模拟）小明在研究抛物线 y（xh）2h+1（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ） A无论 x 取何
3、实数，y 的值都小于 0 B该抛物线的顶点始终在直线 yx1 上 C当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 h2 D该抛物线上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，若 x1x2，x1+x22h，则 y1y2 6 （2020鼓楼区校级三模）如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x=12，且经过点（2，0） 下列说法：abc0；2b+c0；4a+2b+c0：若（52，y1） ， （52，y2）都在抛物线上，则 y1y2；14a+12bm（am+b） （其中 m12） 其中说法正确的是（ ） A B C D 7 （2020鼓楼区校级模拟）二次函数 yax2+
4、bx+c 的图象如图所示，则下列命题中：b2a；此抛物线向下移动 c 个单位后过点（2，0） ；1a12；方程 x22x+1=0 有实数根，结论正确的个数（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （2020鼓楼区校级模拟）抛物线 yax2+（12a）x+3（a0）过点 A（1，m） ，点 A 到抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0d12，则实数 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm2 C2m3 Dm3 9 （2020鼓楼区校级模拟）已知抛物线 y=2x2mx+c（m0）过两点 A（x0，y0）和 B（x1，y1） ，若 x01x1，且 x0+x13则 y0与 y1的大小关系为（ ）
5、Ay0y1 By0y1 Cy0y1 D不能确定 10 （2020晋安区一模）下列对二次函数 yx22x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D对称轴右侧部分下降 11 （2020鼓楼区一模）已知二次函数 y1ax2+ax1，y2x2+bx+1，下列结论一定正确的是（ ） A若2a0b，则 y2y1 B若2ab0，则 y2y1 C若 0a2b，则 y2y1 D若 0ab2，则 y2y1 12 （2020福州模拟）抛物线 yax2+bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3OA，求抛物线的解析式（ ） Ayx22x3 Byx22
6、x+3 Cyx22x4 Dyx22x5 13 （2020鼓楼区一模）二次函数 yx22x 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 14 （2021鼓楼区校级模拟）已知抛物线 yx2+1 关于 x 轴对称的抛物线解析式是 15 （2021闽侯县模拟）数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为 6cm 的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计） 若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于 16 （2020闽侯县模拟）抛物线 yax2+bx+c（a0）过点（2，
7、0）和点（0，6） ，且顶点在第四象限，则 a 的取值范围是 17 （2020福州模拟）若抛物线的顶点坐标为（2，9） ，且它在 x 轴截得的线段长为 6，则该抛物线的表达式为 18 （2020晋安区一模）二次函数 y3x2+1 的图象如图所示，将其沿 x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 三解答题（共三解答题（共 15 小题）小题） 19 （2021福州模拟）在“新冠”疫情期间，全国人民众志成城，同心抗疫，某商家决定将一个月内获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知该商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种销售方式进行销售调查发现，线下的月销量 y（单位：件）与线下的售价 x（
8、单位：元/件，12x24）满足函数关系式 y100 x+2400 （1）若线下的月销量为 400 件，求此时线下的售价； （2）若线上每件的售价始终比线下便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件试问：当 x 为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润 20 （2021福州模拟）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A（1，0） （1）若 ca，求 a，b 满足的关系式； （2）直线 y2x+m 与抛物线交于 C，D 两点，抛物线的对称轴为直线 x1，且 1tanOBC2 求抛物线的解析式（各项系数用含 a 的式子
9、表示） ； 求线段 CD 长度的取值范围 21 （2021闽侯县模拟）已知顶点为 A 的抛物线 yx2+2x+k21，交 y 轴于点 B，交 x 轴正半轴于点 C （1）求 A 的坐标（用含 k 的代数式表示） ； （2）若 1km 时，ABC 面积的最大值为 m+1，求 m 的值； （3）已知ABC90，点 D 在抛物线上，且 SDBC2SABC，求点 D 的坐标 22 （2021仓山区校级三模）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点（1，0） ，且经过点（1，1） ， （2，1）两个点中的其中一个点，直线 l1：ymx+2（m0） （1）求抛物线的解析式； （2）若直线
10、 l2：y= 1x+2 求证：l1l2； 直线 l1交抛物线于点 G，H，直线 l2交抛物线于点 M，N，求 SOGH2+SOMN2的最小值，并求此时 m的值 23 （2021福州模拟）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（m，0）两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求 b 与 m 的数量关系； （2）若直线 y2x+n 与抛物线交于 P，Q 两点（点 P 在点 Q 左侧） ，且 AB 在PAQ 内部 当 m1 时，求证：AB 平分PAQ； 当 n2b 时，AP，AQ 分别交 y 轴于 C，D 两点，求证：OCOD 是一个定值 24 （2021闽侯县模拟）在平面直角
11、坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=12x2+bx （1）求抛物线顶点 Q 的坐标； （用含 b 的代数式表示） （2）抛物线与 x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点 A，B，与 x 轴交于点 K 判断AOB 的形状，并说明理由； 已知 E（2，0） ，F（0，4） ，设AOB 的外心为 M，当点 K 在线段 EF 上时，求点 M 的纵坐标 m 的取值范围 25 （2021闽侯县模拟）某水果店购进某种水果的成本为 20 元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来30 天的销售单价 P（单位：元/千克）与时间（单位：天）之间的关系如图所示的直线上，销售量 Q（单位：千克）与
12、时间（天）的函数解析式为：Q2x+120 （1）求 P 关于 x 的函数解析式； （2）求该水果店销售利润最大时的 x 的值； （3）为响应政府“精准扶贫”的号召，该店决定每销售 1 千克水果就捐赠 n（n 为正整数）元给“精准扶贫”对象欲使捐赠后不亏损，且利润随时间 x（x 为正整数）的增大而增大，求捐赠额 n 的值 26 （2020福州模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：ykx2+（4k2k）x 的对称轴是 y 轴，过点 F（0，2）作一直线与抛物线 C 相交于 P，Q 两点，过点 Q 作 x 轴的垂线与直线 OP 相交于点 A （1）求抛物线 C 的解析式； （2）判断点 A
13、 是否在直线 y2 上，并说明理由； （3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切过抛物线 C 上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线 l，分别交直线 y2 和直线 y2 于点 M，N，求 MF2NF2的值 27 （2020福州模拟）已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（x1，0） ，B（x2，0）两点（x1x2） （1）若 b2，c5，求 AB 的长； （2）点 C（m，n）在点 A，B 间的抛物线上（不含点 A，B） ，若ACB90， 求 n 的值； 以 AC，BC 为边作矩形 ACBD，当点 D 落在直线 x2 上，且矩形 ACB
14、D 的面积最小时，求抛物线的解析式 28 （2020鼓楼区校级模拟）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在 B 左边） ，与 y 轴交于点 C （1）若 A（1，0） ，B（3，0）两点，求该抛物线的解析式； （2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点 P，使得PBC 的面积最大？若存在，求出点 P的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由； （3）直线 y1 与抛物线 yx2+bx+c 交于抛物线对称轴右侧的点为点 D，点 E 与点 D 关于 x 轴对称试判断直线 DB 与直线 AE 的位置关系，并证明你的结论 29（2020鼓楼区校级模拟）
15、已知抛物线 yx2+4ax4a2+3a （a34） ， 顶点为点 D， 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）若 a3 时，求此时抛物线的最大值； （2）若当 0 x2 时，抛物线函数有最大值 3，求此时 a 的值； （3）若直线 CD 交 x 轴于点 G，求的值 30 （2020闽侯县模拟）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（1，2） （1）当 c4 时，若点 B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式； （2）已知点 M（t2，3） ，N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求 t 的取值范围； （3）
16、当 a1 时，若该二次函数的图象与直线 y3x1 交于点 P，Q，且 PQ= 10，求 b 的值 31 （2020福清市模拟）已知抛物线 ya（xh）2+k 的顶点 A 在 x 轴上 （1）若点 A 是抛物线最低点，且落在 x 轴正半轴上，直接写出 a，h，k 的取值范围； （2）P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是抛物线上两点，若 x1x20，则（x2x1） （y2y1）0；若 x1x20， 则 （x2x1） （y2y1） 0， 且当 y1的绝对值为 4 时， APQ 为等腰直角三角形 （其中PAQ90） 求抛物线的解析式； 设 PQ 中点为 N，若 PQ6，求点 N 纵坐标的最小值 32
17、 （2020福清市模拟）某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同 （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第 1 天算起，第 x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为 4.1 元/斤 时间 x（天） 1x9 9x15 售价（元/斤） 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量（斤） 803x 120 x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x264x+400 设销售该水果第 x（天）的利润为 y（元） ，求 y 与 x（1x15）之间的函数解析式，并
18、求出第几天时销售利润最大 33 （2020鼓楼区一模）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 A（0，2） （1）若点（2，0）也在该抛物线上，请用含 a 的关系式表示 b； （2）若该抛物线上任意不同两点 M（x1，y1） 、N（x2，y2）都满足：当 x1x20 时， （x1x2） （y1y2）0；当 0 x1x2时， （x1x2） （y1y2）0，若以原点 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B、C（B 在 C 左侧） ，且ABC 有一个内角为 60，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O、M、N 三点共线，求证：PA
19、 平分MPN 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c，当 x1 时，该函数取最大值 4， a0，该函数解析式可以写成 ya（x1）2+4， 设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为 x1，x12， 当 x2 时，y0， 即 a（21）2+40，解得，a4， a 的取值范围为4a0， 故选：D 2 【解答】解：抛物线 yax22ax1 的对称轴为直线 x= 22=1， （1+2，y1）和（12，y2）关于对称轴对称，即 y1y2， y1y20， 若 a0，抛物线开口向下，y10，则 y3，y4必小于 0，
20、不合题意， a0，y30，y40， 9 6 1 016 8 10， 解得：18a13 故选：D 3 【解答】解：抛物线 yax2+2ax+c 经过点 P（1，m） ，Q（3，m1） ， 对称轴为直线 x= 22= 1， 113，且 mm1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 抛物线开口向下， 对称轴为直线 x1， Q（3，m1）关于对称轴的对称点是（5，m1） ， mn1， m1n， t3 或 t5， 故 t 的值可以是6， 故选：A 4 【解答】解：A、如图 1 中，满足若 x1x20 时，y1y2c，抛物线的开口向上，故选项 A 错误，不符合题意 B、如图 2 中，满足若 x1x2
21、0 时，y1y2c 抛物线的开口向下，故选项 B 错误，不符合题意 D、如图 3 中，若 x1x20 时，y1y2c，抛物线的开口向上，故选项 D 错误，不符合题意 故选：C 5 【解答】解：A、y（xh）2h+1， 当 h0 时，函数的最大值为 yh+10，故错误； B、抛物线 y（xh）2h+1 的顶点为（h，h+1） ， 抛物线的顶点始终在直线 yx+1 上，故错误； C、抛物线开口向下，当1x2 时，y 随 x 的增大而增大， h2，故错误； D、抛物线上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，若 x1x2，x1+x22h， 1:22h， 点 A 到对称轴的距离小于点 B 到对
22、称轴的距离， y1y2，故正确， 故选：D 6 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x= 2=12， ba0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； 对称轴为 x=12，且经过点（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， = 122， c2a， 2b+c2a2a0，所以正确； 抛物线经过点（2，0） x2 时，y0， 4a+2b+c0，所以错误； 点（52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴要远， y1y2，所以正确 抛物线的对称轴为直线 x=12， 当 x=12时，y 有最大值， 14a+12b+cam2+bm+
23、c（其中 m12） ， 14a+12bm（am+b） （其中 m12） ，所以正确； 故选：A 7 【解答】解：函数的对称轴为 x= 2=1，解得：b2a；故正确； 此抛物线向下移动 c 个单位后，新抛物线表达式为：yax2+bxax22axax（x2） ， 则 x2 时，y0，故抛物线过点（2，0） ，故正确； x1 时，yab+c0，x1 时，ya+b+c2，即 = 2 + = 0 + + = 2，解得：a= 12，故错误； c0， x22x+1=0 变形为 cx22cx+10， 4c24c4c（c1） ，而 1c2， 0，故方程 x22x+1=0 有实数根，故正确 故选：C 8 【解答】
24、解：抛物线 yax2+（12a）x+3（a0） ， 对称轴为直线 x= 122， 点 A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0d12， 0|1+122|12， 01212， a1， 把 A（1，m）代入 yax2+（12a）x+3（a0）得： a+12a+3m， 4am， a4m， 4m1， m3， 故选：D 9 【解答】解：抛物线 y=2x2mx+c（m0）中，m0， 抛物线开口向上，对称轴为 x= 22=1， x01x1， A 点在对称轴的左侧，B 点在对称轴的右侧， 若 y0y1，则 x111x0，此时 x0+x12，不合题意； 若 y0y1，则 x111x0，此时 x0+x1
25、2，不合题意； 若 y0y1，则 x111x0，此时 x0+x12，符合题意； 故选：A 10 【解答】解：yx22x（x1）21， A由 a10 知抛物线开口向上，此选项错误； B此抛物线的对称轴为直线 x1，此选项错误； C当 x0 时，y0，此抛物线经过原点，此选项正确； D由 a0 且对称轴为直线 x1 知，当 x1，即对称轴右侧时，y 随 x 的增大而增大，此选项错误； 故选：C 11 【解答】解：y2y1（1a）x2+（ba）x+2 由 y2y1得 y2y10 1a0，（ba）28（1a）0 选项 A：若2a0b， 则 1a0，（ba）28（1a） ，无法判断与 0 的大小关系，故
26、 A 错误； 选项 B：若2ab0， 则 1a10， 0ba2， （ba）28（1a）0 故 B 正确； 选项 C：若 0a2b，则 1a 无法确定正负，故 C 错误； 选项 D：同选项 C 一样，无法确定 1a 的正负，故 D 错误 综上，只有 B 正确 故选：B 12 【解答】解：在抛物线 yax2+bx3 中，当 x0 时，y3，点 C（0，3） OC3， OBOC3OA， OB3，OA1， A（1，0） ，B（3，0） 把 A（1，0） ，B（3，0）代入抛物线 yax2+bx3 得： ab30，9a+3b30， 解得：a1，b2， 抛物线的解析式为 yx22x3， 故选：A 13 【
27、解答】解：yx22x（x1）21， 二次函数 yx2+4x 的顶点坐标是： （1，1） ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 14 【解答】解：抛物线 yx2+1 的顶点坐标是（0，1） ，所以新抛物线的顶点坐标是（0，1） ，则函数的解析式是 yx21 故答案是：yx21 15 【解答】解：根据题意 AB6cm， 设正方体的棱长为 xcm，则 ACx，BC3x， 根据勾股定理，AB2AC2+BC2，即 62x2+（3x）2， 解得 x=3105 故答案为3105cm 16 【解答】解：将点（2，0）和点（0，6）代入函数表达式得：0 = 4 2 + = 6，解得： = 2
28、 3 = 6， 故抛物线的表达式为：yax2+（2a3）x6， 函数的顶点坐标为（3;22，42+12+94） ， 抛物线顶点在第四象限， 3;220 且42+12+940， 解得：0a32， 故答案为：0a32 17 【解答】解：抛物线的顶点坐标为（2，9） ， 抛物线的对称轴为直线 x2， 抛物线在 x 轴截得的线段长为 6， 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， （5，0） ， 设此抛物线的解析式为：ya（x2）2+9， 代入（5，0）得，9a+90， 解得 a1， 抛物线的表达式为 y（x2）2+9， 故答案为 y（x2）2+9 18 【解答】解：将二次函数 y3x2+1 的图象沿
29、x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为y3x2+1， 整理得：y3x21 故答案为：y3x21 三解答题（共三解答题（共 15 小题）小题） 19 【解答】解： （1）依题意，得100 x+2400400， 解得：x20， 此时线下的售价为 20 元/件； （2）设线上和线下的月利润总和为 w 元，则 w400（x210）+y（x10） 400 x4800+（100 x+2400） （x10） 100（x19）2+7300， 1000， 当 x19 时，w 有最大值，最大值为 7300， 当 x 为 19 元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为 7300 元 20 【解答】解： （1
30、）若 ca，抛物线解析式化为 yax2+bx+a， 点 A（1，0）在抛物线上， ab+a0， b2a； （2）抛物线的对称轴为直线 x1， 2=1， b2a， 点 A（1，0）在抛物线上， ab+a0， c3a， 抛物线解析式化为 yax22ax3a； 直线 y2x+m 经过点 C，且点 C（0，3a） ， m3a， 直线解析式化为 y2x3a， 由 = 2 2 3 = 2 3， 得 ax2（2a+2）x0， （2a+2）20， 解得：x10，x2=2+2，且 a1， 即 D 点的横坐标为2+2， 点 D 的坐标为（2+2，4+ 4 3） ， 由勾股定理，得 CD2（2+2）2+（4+ 4
31、3 + 3)2=5（2+ 2)2， 根据题意得，点 D 在点 D 的右侧， = 5(2+2）且 a1， 由抛物线对称性可得点 B 坐标为（3，0） ， tanOBC=|3|3=|a|， 1|a|2， 当 a0 时，1a2； 由反比例函数的增减性质得，121 1， 35 5(2+ 2) 45， 35 CD45； 当 a0 时，2a1， 由反比例函数的增减性质得，11 12， 0 5(2+ 2) 5， 综上所述：0 5或 35 CD45 21 【解答】解： （1）yx2+2x+k21（x1）2+k2， A（1，k2） ； （2）如图 1， 作 ADOB 于 D， 由x2+2x+k210 得， x1
32、k+1，x21k（舍去） ， OCk+1， B（0，k21） ，A （1，k2） ， AD1，BD1，OBk21， 由 SABCS梯形ADOCSABDSBOC得， SABC=(1+1)2212 1 1 12（k21） （k+1） =12（k2+k） ， a0，2= 12， 又1km， 当 km 时，SABC最大=12（m2+m） ， 12（m2+m）m+1， m12，m21（舍去） ， m2； （3）如图 2， 当ABC90时， k210， 作 AEOB 于 E， 由（2）知：AEBE1， ABEAEB45， ABC90， CBO45， BCQCBO45， OCOB， k21k+1， k12，
33、k21（舍去） ， k2， yx+2x+3， 延长 AB 至 F 点，使 BF2AB，作 FNBC， 作 BG对称轴 AM 于 G，作 FHAM 于 H， FHBG， ABGAFH， =13， BGAH1， FHAH3， F（2，1） ， 直线 FN 的解析式是：yx1， = 1 = 2+ 2 + 3， 1= 11= 0，2= 42= 5， D（1，0）或（4，5） ， 22 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴只有一个公共点（1，0） ， 点（1，0）是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为 ya（x1）2， 抛物线的图象过点（2，1） ， 1a1， a1， 抛物线的
34、解析式为 y（x1）2； （2）如图，设直线 l1与 x 轴的交点为 C，与 y 轴的交点为 B，直线 l1与 x 轴的交点为 D， 点 C（2，0） ，点 D（2m，2） ，点 B（0，2） ， CO|2|，OB2，OD|2m|， =|m|，=|m|， =， 又BOCDOB90， BOCDOB， DBOBCO， CBO+BCO90， DBO+CBO90， CBD90， l1l2； 由题意可得 = ( 1)2 = 1 + 2， x2+（12）x10， + = 2 1 = 1， SOMN=122|xMxN|= (+ )2 4 = 124+ 8， 同理可得 SOGH= 2+ 4 + 8， SOGH
35、2+SOMN2m2+4m+8+124+8（1m）24（1m）+18（1m2）2+14， 当1m20 时，SOGH2+SOMN2有最小值， m2 1， 当 m2 1 时，SOGH2+SOMN2的最小值为 14 23 【解答】解： （1）点 A（1，0） ，B（m，0）的中点为（;12，0） ， 函数的对称轴为直线 x= 2， ;12= 2， b1m； （2）当 m1 时，b0，B（1，0） ， 将点 B 代入 yx2+c，解得 c1， yx21， 联立 x212x+n， 整理得 x22xn10， 设 P（x1，2x1+n） ，Q（x2，2x2+n） ， x1+x22，x1x21n， 过点 P 作
36、 PMx 轴交于 M 点，过点 Q 作 QNx 轴交于 N 点， PM2x1+n，NQ（2x2+n） ，AM1+x1，AN1+x2， tanPAM=21+1+1，tanNAQ=221+2， tanPAMtanNAQ =21+1+1221+2 =412+(+2)(1+2)+21+12+1+2 =44+2+4+211+2 0， tanPAMtanNAQ， PANNAQ， AB 平分PAQ； （3）n2b， y2x+2b， 由（2）可求 AP 的直线解析式为 y=21+1+1x+21+1+1， 直线 AQ 的解析式为 y=22+2+1x+22+2+1， C（0，21:1:1） ，D（0，22:2:1
37、） ， OC|21:1:1|，OD|22:2:1|， 联立 x2+bx+c2x+2b， x2+（b2）x+c2b0， x1+x22b，x1x2c2b， OCOD |21:1:122:2:1| |412:2(1:2):212:1:2:1| |4;3:3|， A（1，0）在 yx2+bx+c 上， 1b+c0， cb1， OCOD2， OCOD 为定值 24 【解答】解： （1）y=12x2+bx=12（x+b）212b2， 抛物线的顶点 Q 坐标为（b，12b2） ； （2）抛物线与 x 轴只有一个公共点， b241200，解得 b0， 抛物线的表达式为 y=12x2，如下图， 分别过点 A、B
38、 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、G， 设经过点（0，2）的直线的表达式为 ykx+2， 联立 y=12x2和 ykx+2 并整理得：x22kx40， 则 x1+x22k，x1x24， y1=12x12，y2=12x22， 则 y1y2=14x12x224x1x2， ADy1，DOx1，BEy2，OEx2， =， ADOBEO90， ADOOEB， AODOBE， OBG+BOG90， BOG+AOD90，即 AOBO， AOB 为直角三角形； 过点 A 作 x 轴的平行线交 EB 的延长线于点 H，过点 M 作 MN 与 y 轴平行，交 AH 于 N， AOB 的外心为 M，MNy 轴BH
39、， 点 M 是 AB 的中点，MP 是梯形 ABGD 的中位线， MP=12（AD+BG）=12（y2+y1） ， 则 mMP=12（y1+y2）=12（kx1+2+kx2+2）=12k（x1+x2）+4k2+2， 令 ykx+20，解得 x= 2，即点 K 的坐标为（2，0） ， 由题意得：2 24，解得1k12且 k0， 94k2+23， 即点 M 的纵坐标 m 的取值范围94m3 25 【解答】解： （1）设 P 关于 x 的函数解析式为 Pkx+b（k0） ， 将（0，30） ， （12，33）代入，得：30 = 33 = 12 + ， 解得： =14 = 30， P 关于 x 的函数
40、解析式为 P=14x+30； （2）设该水果店销售利润为 y 元，由题意得： y（P20）Q （14x+10） （2x+120） = 12x2+10 x+1200 = 12（x10）2+1250， 当 x10 时，ymax1250， 该水果店销售利润最大时的 x 的值为 10； （3）设捐赠后的利润为 w（元） ，由题意得： w（P20n）Q （14x+10n） （2x+120） = 12x2+（2n+10）x+1200120n， 二次项系数为120，抛物线开口向下，对称轴为直线 x2n+10， 当 x2n+10 时，w 随 x 的增大而增大；当 x2n+10 时，w 随 x 的增大而减小；
41、欲使捐赠后不亏损，且利润随时间 x（x 为正整数）的增大而增大， 当 x1 时，w= 121+（2n+10）1+1200120n0，2n+1030， 解得 10n10.25， n 为正整数， n10 26 【解答】解： （1）抛物线 C 的对称轴是 y 轴， 422= 0且 k0， 4;12= 0， 解得 =14， 抛物线 C 的解析式为 =142； （2）点 A 在直线 y2 上，理由如下： 过 F（0，2）的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点， 直线 PQ 与 x 轴不垂直 设直线 PQ 的解析式为 ytx+2， 将 ytx+2 代入 =142，得 x24tx80， 16t2+320，
42、该方程有两个不相等的实数根 x1，x2， 不妨设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 直线 OP 的解析式为 =11， 设 A（m，n） QAx 轴交直线 OP 于点 A， mx2， =11 2=141221=1412， 又方程 x24tx80 的解为 = 2 22+ 2， 12= (2 + 22+ 2)(2 22+ 2) = 42 4(2+ 2) = 8， 1412= 2， 即点 A 的纵坐标为2， 点 A 在直线 y2 上； （3）切线 l 不过抛物线 C 的顶点， 设切线 l 的解析式为 yax+b（a0） 将 yax+b 代入 =142，得 x24ax4b0， 依题意得0， 即（
43、4a）24（4b）16a2+16b0， ba2， 切线 l 的解析式为 yaxa2 当 y2 时， =2+2， M（2:2，2） 当 y2 时， =22， N（2;2，2） F（0，2） ， 2= (2+2)2， 由勾股定理得2= (22)2+ (2 2)2， 2 2= (2+2)2 (22)2+ (2 2)2 = (2+2+22)(2+222) 16 =22416 =8168 27 【解答】解： （1）若 b2，c5，则抛物线的表达式为 yx2+2x5， 令 yx2+2x50，解得 x16， 则 AB1+6 （16）26； （2）对于 yx2+bx+c， 令 yx2+bx+c0，则 x1+x
44、2b，x1x2c，点 C 的坐标为（m，m2+bm+c） ， 过点 C 作 CEx 轴于点 E， ACE+ECB90，ECB+EBC90， ACEEBC， tanACEtanEBC，即=， CE2AEBE， 则 n2（x2m） （mx1） ，化简得：n2m2+bm+cn， 解得 n0（舍去）或1， 故 n1； 过点 D 作 DFAB 于点 F，则点 D 的横坐标为 2， 根据矩形的对称性，则 DFCE1，即点 D（2，1） ， 矩形 ACBD 的面积2SABD212ABDFABx2x1， 即当矩形 ACBD 的面积最小时，x2x1最小即可， 由同理可得，DF1（x22） （2x1） ， 即 2
45、（x1+x2）x1x25，即 c2b5， 则（x1x2）2（x1+x2）24x1x2b24cb2+8b+20， 10，故（x1x2）2有最小值， 当 b4 时， （x1x2）2最小， 则 c2b53， 故抛物线的表达式为 yx24x+3 28 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 0 = 1 + 0 = 9 + 3 + ， 解得： = 2 = 3， 该抛物线的解析式为 yx22x3； （2）抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 C， 点 C（0，3） ， 点 B（3，0） ，点 C（0，3） ， 直线 BC 解析式为：yx3， 如图 1，过点 P 作
46、PFx 轴，交 BC 于 F， 设点 P（x，x22x3） ，则 F（x，x3） ， PFx3（x22x3）x2+3x， SPBC=12（x2+3x）3= 32（x32）2+278， 当 x=32时，PBC 的面积最大值为278， 此时，点 P（32，154） ； （3）DBAE， 理由如下：如图 2，连接 DB 并延长交 AE 于 N，设 DE 交 x 轴于 H， 抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 点 A（;2;42，0） ，点 B（;:2;42，0） ， 直线 y1 与抛物线 yx2+bx+c 交于抛物线对称轴右侧的点为点 D， 1x2+bx+c， x=24+42，
47、 点 D（;:2;4:42，1） ， 点 E 与点 D 关于 x 轴对称， 点 E（;:2;4:42，1） ，点 H（;:2;4:42，0） ，DHHE1， AH=+24+42242=24+4+242，BH=+24+42+242=24+4242， tanBDH=24+4242，tanHAE=124+4+242=24+4242， tanBDHtanHAE， HAEBDH， 又ABHDBH， ANBAHD90， DBAE 29 【解答】解： （1）当 a3 时，yx2+12x36+9x2+12x27（x6）2+9， 10， 当 x6 时，y 有最大值是 9； （2）yx2+4ax4a2+3a（x2
48、a）2+3a， 抛物线的对称轴是：x2a， a34， 2a32， 分两种情况： 当322a2 时，即34a1， 当 0 x2 时，抛物线函数有最大值是 3a，即 3a3， a1； 当 2a2 时，即 a1，y 随 x 的增大而增大， 当 0 x2 时，x2 时有最大值 3， y（22a）2+3a3， 解得：a1=74，a21（舍） ， 综上，a 的值是 1 或74； （3）如图，y（x2a）2+3a， D（2a，3a） ，C（0，4a2+3a） ， 当 y0 时，（x2a）2+3a0， 解得：x12a3，x22a+3， A（2a3，0） ，B（2a+3，0） ， 设 DC 的解析式为：ykx+
49、b， 则2 + = 3 = 42+ 3，解得： = 2 = 42+ 3， 设 DC 的解析式为：y2ax4a2+3a， 当 y0 时，2ax4a2+3a0， x2a32， OG2a32， =(2;32);(2;3)(2:3);(2;32)2;32=(3;32)(3:32)2;32=3;942;32=12;98;6=32 30 【解答】解： （1）c4， 二次函数的表达式为 yax2+bx+4 点 A（1，2） ，B（2，4）在二次函数的图象上， + + = 24 + 2 + = 4，解得 = 2 = 4， 该抛物线的函数表达式为 y2x24x+4； （2）点 M（t2，3） ，N（t+2，3）
50、在该二次函数的图象上， M，N 为对称点 该二次函数的对称轴是直线 x=(2)+(+2)2=t， 抛物线 yax2+bx+c（a0）开口向上，A（1，2） ，M（t2，3） ，N（t+2，3）在该二次函数图象上，且 32， 点 M，N 分别落在点 A 的左侧和右侧， t21t+2，解得1t3； （3）当 a1 时，yx2+bx+c， 二次函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（1，2） ， 21+b+c，即 c1b， 二次函数表达式为 yx2+bx+1b， 根据二次函数的图象与直线 y3x1 交于点 P，Q， 由 x2+bx+1b3x1，解得 x11，x22b， 点 P，Q 的横坐标分别是