1、2.5.22.5.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 课时课时对点对点练练 1圆 C1：x2y24x8y50 与圆 C2：x2y24x4y10 的位置关系为( ) A相交 B外切 C内切 D外离 答案 C 解析 由已知，得 C1(2，4)，r15，C2(2，2)，r23，则 d|C1C2|2，所以 d|r1r2|，所以两圆内切 2圆 x2y22x50 与圆 x2y22x4y40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ) Axy10 B2xy10 Cx2y10 Dxy10 答案 A 解析 圆 x2y22x50 的圆心为 M(1,0)，圆 x2y22x4y40 的圆心为 N(1
2、,2)，两圆的相交弦 AB 的垂直平分线即为直线 MN，其方程为y0 x12011，即 xy10. 3圆(x4)2y29 和圆 x2(y3)24 的公切线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案 C 解析 圆(x4)2y29 的圆心为(4,0)，半径为 3， 圆 x2(y3)24 的圆心为(0,3)，半径为 2. 两圆的圆心距为 4232523，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为 3. 4已知圆 C：x2y22xm0 与圆(x3)2(y3)236 内切，则实数 m 的值为( ) A0 B120 C0 或120 D5 答案 C 解析 将圆 C：x2y22xm0 化为标准方程为(x1
3、)2y21m，由两圆内切可得|61m|5，解得 m0 或120. 5圆 C1：(x1)2y24 与圆 C2：(x1)2(y3)29 的相交弦所在的直线为 l，则直线 l被圆 O：x2y24 截得的弦长为( ) A. 13 B4 C.4 3913 D.8 3913 答案 D 解析 由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l：2x3y20. 圆心 O(0,0)到 l 的距离 d2 1313，圆 O 的半径 R2， 所以截得的弦长为 2 R2d2244138 3913. 6(多选)下列圆中与圆 C：x2y22x4y10 相切的是( ) A(x2)2(y2)29 B(x2)2(y2)29 C(x2)2(y2
4、)225 D(x2)2(y2)249 答案 BCD 解析 由圆 C：x2y22x4y10，可知圆心 C 的坐标为(1,2)，半径 r2. A 项，圆心 C1(2，2)，半径 r13. |C1C| 17(r1r，r1r)， 两圆相交； B 项，圆心 C2(2，2)，半径 r23， |C2C|5rr2， 两圆外切，满足条件； C 项，圆心 C3(2,2)，半径 r35， |C3C|3r3r，两圆内切； D 项，圆心 C4(2，2)，半径 r47， |C4C|5r4r，两圆内切 7已知圆 C1：x2y24ax4a240 和圆 C2：x2y22byb210 只有一条公切线，则实数 a，b 的关系是_
5、答案 4a2b21 解析 圆 C1： x2y24ax4a240， 化为标准方程为(x2a)2y24， 圆心坐标为(2a,0)，半径长为 2. 圆 C2：x2y22byb210，化为标准方程为 x2(yb)21. 圆心坐标为(0，b)，半径长为 1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以 2a2b2211， 整理得 4a2b21. 8经过直线 xy10 与圆 x2y22 的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_ 答案 x2y234x34y1140 解析 由已知可设所求圆的方程为 x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得 34，故所求圆的方程为 x2y234x34y1140. 9已知两
6、圆 C1：x2y24，C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，直线 l：x2y0. (1)当圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4 时，求 r 的值； (2)当 r1 时，求经过圆 C1与圆 C2的交点且和直线 l 相切的圆的方程 解 (1)由圆 C1： x2y24， 知圆心 C1(0,0)， 半径 r12， 又由圆 C2： (x1)2(y2)2r2(r0)，可得 x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为 2x4y9r20.因为圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4，此时相交弦过圆心 C1(0,0)，即 r29(r0)，解得 r3. (2)设过圆 C1与圆 C2的圆系方程为
7、(x1)2(y2)21(x2y24)0(1)，即(1)x2(1) y22x4y4(1)0，所以x112y21242112，由圆心到直线 x2y0 的距离等于圆的半径，可得11415421|1|，解得 1，故所求圆的方程为x2y2x2y0. 10已知圆 C：x2y26x8y210. (1)若直线 l1过定点 A(1,1)，且与圆 C 相切，求 l1的方程； (2)若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2：xy20 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程 解 (1)圆 C：x2y26x8y210 化为标准方程为(x3)2(y4)24， 所以圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2. 若直线 l1的斜
8、率不存在，即直线为 x1，符合题意 若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y1k(x1) 即 kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线 l1的距离等于半径 2， 所以|3k4k1|k212，即|2k3|k212， 解得 k512，所以直线方程为 5x12y70. 综上，所求 l1的方程为 x1 和 5x12y70. (2)依题意，设 D(a，a2) 又已知圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2， 由两圆外切，可知|CD|5， a32a2425， 解得 a1 或 a6. D(1,1)或 D(6,8)， 所求圆 D 的方程为(x1)2(y1)29 或(x6)2(y8)29. 11.
9、 设两圆 C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( ) A4 B4 2 C8 D8 2 答案 C 解析 两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， 两圆圆心均在第一象限且都在直线 yx 上 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2， 即 a，b 为方程(4x)2(1x)2x2的两个根， 整理得 x210 x170，ab10，ab17. (ab)2(ab)24ab10041732， |C1C2| ab2ab2 3228. 12(多选)圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y22x4y0 的交点
10、为 A，B，则有( ) A公共弦 AB 所在直线的方程为 xy0 B线段 AB 中垂线的方程为 xy10 C公共弦 AB 的长为22 DP 为圆 O1上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为221 答案 ABD 解析 对于 A，由圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y22x4y0 的交点为 A，B， 两式作差可得 4x4y0，即公共弦 AB 所在直线方程为 xy0，故 A 正确； 对于 B，圆 O1：x2y22x0 的圆心为(1,0)，又 kAB1，则线段 AB 中垂线的斜率为1，即线段 AB 中垂线的方程为 y01(x1)，整理可得 xy10，故 B 正确； 对于 C，圆 O1：
11、x2y22x0，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离 d|10|121222，半径 r1，所以|AB|21222 2，故 C 不正确； 对于 D，P 为圆 O1上一动点，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离为 d22，半径 r1，即 P到直线 AB 距离的最大值为221，故 D 正确 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1 : x2 y28 与圆 C2 : x2y22xya0 相交于A，B 两点若圆 C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为_ 答案 8，82 5，82 5 解析 由题知，直线 AB 为 2xy8a0， 当PAB90 或PB
12、A90 时， 设 C1到 AB 的距离为 d， 因为ABP 为等腰直角三角形， 所以 d12|AB|，即 d 8d2， 所以 d2，所以|8a|2212d2， 解得 a8 2 5， 当APB90 时，AB 经过圆心 C1， 则 8a0，即 a8. 14过两圆 x2y22y40 与 x2y24x2y0 的交点，且圆心在直线 l：2x4y10上的圆的方程是_ 答案 x2y23xy10 解析 设圆的方程为 x2y24x2y(x2y22y4)0(1)， 则(1)x24x(1)y2(22)y40， 把圆心21，11代入直线 l：2x4y10 的方程， 可得 13， 所以所求圆的方程为 x2y23xy10
13、. 15在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x22axy22ay2a210 上存在点 P 到点(0,1)的距离为 2，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 172，0 1，1 172 解析 因为圆 C：x22axy22ay2a210， 所以(xa)2(ya)21，其圆心 C(a，a)，半径 r1. 因为点 P 到点(0,1)的距离为 2， 所以 P 点的轨迹为 x2(y1)24. 因为 P 又在(xa)2(ya)21 上， 所以圆 C 与圆 x2(y1)24 有交点， 即 21 a2a1221， 所以1 172a0 或 1a1 172. 所以实数 a 的取值范围是1 172，0 1，1 17
14、2. 16 已知圆 M 与圆 N：x532y532r2关于直线 yx 对称， 且点 D13，53在圆 M 上 (1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系； (2)设 P 为圆 M 上任意一点，A1，53，B1，53，P，A，B 三点不共线，PG 为APB 的平分线，且交 AB 于 G，求证：PBG 与APG 的面积之比为定值 (1)解 N53，53关于直线 yx 的对称点为 M53，53， 所以圆 M 的半径 r |MD|2531325353243， 所以圆 M 的方程为x532y532169. 又|MN|1032103210 23432， 故圆 M 与圆 N 相离 (2)证明 设 P(x0，y0)， 则|PA|2(x01)2y0532(x01)2169x053243x0， |PB|2(x01)2y0532(x01)2169x0532163x0， 所以|PA|PB|214，即|PA|PB|12. 又 PG 为APB 的平分线，故SBPGSAPG|PB|PA|2 为定值