1、第二课时第二课时 直线与圆的位置关系的应用直线与圆的位置关系的应用 一、选择题 1.方程 1x2xk 有唯一解，则实数 k 的取值范围是( ) A. 2 B.( 2， 2) C.1，1) D.k|k 2或1k1 答案 D 解析 由题意知， 直线 yxk 与半圆 x2y21(y0)只有一个交点， 结合图形(图略)易得1k1 或 k 2. 2.y|x|的图象和圆 x2y24 所围成的较小的面积是( ) A.4 B.34 C.32 D. 答案 D 解析 如图，所求面积是圆 x2y24 面积的14. 3.一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的
2、斜率为( ) A.53或35 B.32或23 C.54或45 D.43或34 答案 D 解析 由已知，得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有 d|3k22k3|k211，解得 k43或 k34，故选 D. 4.若直线 ykx1 与圆 x2y2kxmy40 交于 M，N 两点，且 M，N 关于直线 x2y0 对称，则实数 km( ) A.1 B.1 C.0 D.2 答案 B 解析 直线 ykx1 与圆 x2y
3、2kxmy40 交于 M，N 两点，且 M，N 关于直线 x2y0 对称， 直线 x2y0 是线段 MN 的中垂线，得 k121，解之得 k2， 又圆方程为 x2y22xmy40，圆心坐标为1，m2， 将1，m2代入 x2y0，得1m0， 解得 m1，故 km1. 故选 B. 5.方程 1x2kx2 有唯一解，则实数 k 满足( ) A.k 3 B.k(2，2) C.k2 D.k2 或 k 3 答案 D 解析 y 1x2表示单位圆 x2y21 的上半部分，ykx2表示过定点(0，2)的直线，如图，当直线 ykx2 在 l1，l4的位置或在 l2，l3之间时满足条件. 易求得 k22，k32.
4、又由 ykx2 与圆 x2y21 相切求得 k1 3，k4 3. 故 k2 或 k 3. 二、填空题 6.实数 x，y 满足方程 xy40，则 x2y2的最小值为_. 答案 8 解析 令 x2y2r2，则 x2y2的最小值为圆 x2y2r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以 r|004|12122 2，即 x2y2的最小值为 8. 7.在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的点，若以 AB 为直径的圆 C与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为_. 答案 45 解析 由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的半径或直径最
5、小，又圆 C 与直线 2xy40 相切，所以由平面几何知识，当 OC 所在直线与已知直线垂直时，圆 C 的直径最小，又 O 到直线 2xy40 的距离 d|2004|545，所以圆的半径最小为25，圆 C 的面积的最小值为 Sr245. 8.已知 M(x，y)|y9x2，y0，N(x，y)|yxb，若 MN，则实数 b 的取值范围是_. 答案 (3，3 2 解析 数形结合法，注意 y 9x2，y0 等价于 x2y29(y0)，它表示的图形是圆 x2y29 在 x 轴之上的部分(如图所示). 结合图形不难求得， 当30)有公共点. 三、解答题 9.设有半径长为 3 km 的圆形村落，甲、乙两人同
6、时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进， 后来恰好与乙相遇.设甲、 乙两人的速度都一定， 且其速度比为 31， 问： 甲、乙两人在何处相遇？ 解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇， CD 所在直线的方程为xayb1(a3， b3)， 乙的速度为 v， 则甲的速度为 3v.依题意， 有|ab|a2b23，a2b2a3vbv.解得a5，b3.75. 所以乙向北前进 3.75 km 时甲、乙两人相遇. 10.已知实数 x，y 满足方程(
7、x3)2(y3)26，求 (1)yx的最大值与最小值； (2) （x2）2y2的最大值与最小值. 解 (1)设 kyx，则 k 表示圆上的点 P(x，y)与原点连线的斜率，直线 OP 的方程为ykx，当直线 OP 与圆 C 相切时，斜率取得最值.由点 C(3，3)到直线 ykx 的距离 d|3k3|k21 6，得 k3 2 2，即 k3 2 2时，直线 OP 与圆 C 相切，所以yxmax32 2，yxmin32 2. (2)代数式 （x2）2y2表示圆 C 上的点到定点(2，0)的距离，圆心(3，3)与定点 (2 ， 0) 的 距 离 为（32）23210 ， 又 圆 C 的 半 径 是6
8、， 所 以( （x2）2y2)max 10 6，( （x2）2y2)min 10 6. 11.曲线 y1 4x2与直线 yk(x2)4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是( ) A.512， B.13，34 C.0，512 D.512，34 答案 D 解析 由题意可得：直线 l 过定点 A(2，4)，曲线 y14x2为以(0，1)为圆心，2 为半径的半圆.根据题意画出图形，如图所示. 当直线 l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线 l 的距离 dr，即|32k|k212，解得：k512； 当直线 l 过点 B(2，1)时，直线 l 的斜率为412（2）34，则直线 l 与半圆有两个不同的交
9、点时，实数 k 的取值范围为512，34. 12.(多选题)如图所示，已知直线 l 的方程是 y43x4，并且与 x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，一个半径为 1.5 的圆 C，圆心 C 从点(0，1.5)开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当圆 C 与直线 l 相切时，该圆运动的时间可以为( ) A.6 B.8 C.10 D.16 答案 AD 解析 设当圆与直线 l 相切时，圆心坐标为(0，m)， 则圆心到直线 l 的距离为|m4|143232， 得 m32或 m132， 该圆运动的时间为32320.56(s)或321320.516(s). 13.如图， 已知一艘海监船O
10、上配有雷达， 其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 解 如图，以 O 为原点，东西方向为 x 轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆 O 方程 x2y2252. 直线 AB 方程：x40y301， 即 3x4y1200.设 O 到 AB 距离为 d， 则 d|120|5240)， PQ 与圆 A 相切， |43b|b2421，解得 b3， 故当 P 距 O 处 4 千米时
11、，OQ 的长为 3 千米. (2)设 P(a，0)，Q(0，b)(a2，b2)， 则直线 PQ 方程为xayb1，即 bxayab0. 因为 PQ 与圆 A 相切，所以|baab|b2a21， 化简得 ab2(ab)20，即 ab2(ab)2； 因此 PQ a2b2 （ab）22ab （ab）24（ab）4 （ab2）2. 因为 a2，b2，所以 ab4，于是 PQ(ab)2. 又 ab2(ab)2ab22， 解得 04，所以 ab42 2， PQ(ab)222 2，当且仅当 ab2 2时取等号， 所以 PQ 最小值为 22 2，此时 ab2 2. 答：当 P，Q 两点距离两公路的交点 O 都为 2 2(千米)时，新建公路 PQ 最短.