1、2.52.5 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 2 25.15.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第第 1 1 课时课时 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是( ) A过圆心 B相切 C相离 D相交但不过圆心 答案 D 解析 圆心(1，1)到直线 3x4y120 的距离 d|314112|3242115，0dr， 所以相交但不过圆心 2若直线 3x4ym0 与圆 x2y22x4y10 没有公共点，则实数 m 的取值范围是( ) A5m15 Bm15 Cm13 D4m2， m15.故选 B. 3(多选)
2、若直线 xy2 被圆(xa)2y24 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为( ) A0 B4 C2 D. 3 答案 AB 解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径 r2.又直线被圆截得的弦长为 2 2， 所以圆心到直线的距离 d222 222 2. 又 d|a2|2，所以|a2|2， 解得 a4 或 a0. 4若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，) 答案 C 解析 圆(xa)2y22 的圆心 C(a，0)到直线 xy10 的距离为 d， 则 dr 2|a1|2 2|a1|23a1. 5圆心为(
3、3,0)且与直线 x 2y0 相切的圆的方程为( ) A(x 3)2y21 B(x3)2y23 C(x 3)2y23 D(x3)2y29 答案 B 解析 由题意知所求圆的半径 r|3 20|12 3， 故所求圆的方程为(x3)2y23， 故选 B. 6设 A，B 为直线 yx 与圆 x2y21 的两个交点，则|AB|_. 答案 2 解析 直线 yx 过圆 x2y21 的圆心 C(0,0)，则|AB|2. 7过点 P(1,6)且与圆(x3)2(y2)24 相切的直线方程是_ 答案 3x4y270 或 x1 解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为 y6k(x1)， 则 d|26k31|1
4、k22，解得 k34，此时，直线方程为 3x4y270； 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为 x1，验证可知，符合题意 8一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为_ 答案 43或34 解析 由已知得点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由反射光线与圆相切， 则有 d|3k22k3|k211， 解得 k43或 k34. 9已知圆 C 与 y 轴相切，圆心 C 在直线
5、 x3y0 上，且直线 yx 截圆所得弦长为 2 7，求圆 C 的方程 解 因为圆 C 与 y 轴相切，且圆心 C 在直线 x3y0 上， 故设圆 C 的方程为(x3b)2(yb)29b2. 又因为直线 yx 截圆得弦长为 2 7， 则有|3bb|22( 7)29b2， 解得 b 1，故所求圆 C 的方程为 (x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29. 10设圆上的点 A(2,3)关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 xy10 相交的弦长为 2 2，求圆的方程 解 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心为(a，b)，半径长为 r. 点 A(2,3)关于直线 x2y
6、0 的对称点 A仍在这个圆上， 圆心(a，b)在直线 x2y0 上 a2b0， 且(2a)2(3b)2r2. 又直线 xy10 与圆相交的弦长为 2 2， r2d2r2|ab1|22( 2)2. 解由方程组成的方程组， 得 a6，b3，r252或 a14，b7，r2244. 所求圆的方程为(x6)2(y3)252 或(x14)2(y7)2244. 11已知圆 x2y29 的弦过点 P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( ) Ay20 Bx2y50 C2xy0 Dx10 答案 B 解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点 P(1,2)的直径垂直已知圆心 O(0,0)， 所以过点 P(1
7、,2)的直径所在直线的斜率 k20102， 故所求直线的斜率为12， 所以所求直线方程为 y212(x1)，即 x2y50. 12已知直线 l：3x4ym0(m0)被圆 C：x2y22x2y60 截得的弦长是圆心 C 到直线 l 的距离的 2 倍，则 m 等于( ) A6 B8 C11 D9 答案 D 解析 圆 C：x2y22x2y60 可化为(x1)2(y1)28， 圆心坐标为(1,1)，半径为 2 2， 由题意可知，圆心到直线的距离 d|1m|52. m0，m9. 13在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为_ 答案
8、 10 2 解析 圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，易知点 E 在圆内， 由圆的性质可知最长弦|AC|2 10，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点，且与 AC 垂直， 设点 F 为其圆心，坐标为(1,3) 故|EF| 5，|BD|210 522 5， S四边形ABCD12|AC| |BD|10 2. 14自圆外一点 P 作圆 O：x2y21 的两条切线 PM，PN(M，N 为切点)，若MPN90 ，则动点 P 的轨迹方程是_ 答案 x2y22 解析 设点 P 的坐标为(x，y)， 则|PO|x2y2. MPN90 ，四边形 OMPN 为正方形， |PO| 2|OM| 2， x
9、2y2 2，即 x2y22. 15 曲线y1 4x2与直线l： yk(x2)4有两个交点， 则实数k的取值范围是_ 答案 512，34 解析 直线 l 过点 A(2,4)，又曲线 y1 4x2的图象为以(0,1)为圆心，2 为半径的半圆， 当直线 l 与半圆相切，C 为切点时， 圆心到直线 l 的距离 dr， 即|32k|k212，解得 k512. 当直线 l 过点 B(2,1)时，直线 l 的斜率为412234， 则直线 l 与半圆有两个不同的交点时， 实数 k 的取值范围为512，34. 16已知 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA，PB 是圆 C: x2y22x2y10 的两条切线
10、，A，B 是切点 (1)求四边形 PACB 面积的最小值； (2)直线上是否存在点 P，使BPA60 ，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由 解 (1)如图，连接 PC，由 P 点在直线 3x4y80 上，可设 P 点坐标为x，234x . 所以 S四边形PACB2SPAC212|AP|AC|AP|. 因为|AP|2|PC|2|CA|2|PC|21， 所以当|PC|2最小时，|AP|最小 因为|PC|2(1x)21234x2 54x129. 所以当 x45时，|PC|2min9. 所以|AP|min912 2. 即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2. (2)由(1)知圆心 C 到 P 点距离 3 为 C 到直线上点的最小值，若APB60 易得需 PC2，这是不可能的，所以这样的点 P 是不存在的