1、2.4.22.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 课时课时对点对点练练 1(多选)若 a2，0，1，23，方程 x2y22ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的值可以为( ) A2 B0 C1 D.23 答案 ABD 解析 根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2(2a)24(2a2a1)0，解得 a0 答案 ABD 解析 AB 显然正确；C 中方程可化为(x1)2(y2)20，所以表示点(1，2)；D 正确 4已知圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)，则圆 C 的圆心的轨迹是( ) A点 B直线 C线段 D圆 答案 D 解析 圆 C：(xa)2(yb)21 过点 A(1,0)，
2、 (1a)2(0b)21， (a1)2b21， 圆 C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆 5圆 C：x2y24x2y0 关于直线 yx1 对称的圆的方程是( ) A(x1)2(y2)25 B(x4)2(y1)25 C(x2)2(y3)25 D(x2)2(y3)25 答案 C 解析 把圆 C 的方程化为标准方程为(x2)2(y1)25， 圆心 C(2，1) 设圆心 C 关于直线 yx1 的对称点为 C(x0，y0)， 则 y01x021，y012x0221， 解得 x02，y03，故 C(2,3)， 圆 C 关于直线 yx1 对称的圆的方程为(x2)2(y3)25. 6若当方程
3、x2y2kx2yk20 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y(k1)x2 的倾斜角 等于( ) A.2 B.4 C.34 D.5 答案 C 解析 x2y2kx2yk20 化为标准式为xk22(y1)2134k2， 所以当 k0 时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为1，故倾斜角为34. 7过三点 O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为_ 答案 x2y28x6y0 解析 设过三点 O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为 x2y2DxEyF0， 则 F0，11DEF0，1644D2EF0，解得 D8，E6，F0， 故所求圆的方程为 x2y28x6y0. 8已知圆
4、C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的一般方程为_ 答案 x2y24x50 解析 设圆 C 的圆心坐标为(a,0)(a0)， 由题意可得|2a|54 55， 解得 a2(a2 舍去)， 所以圆 C 的半径为22 523， 所以圆 C 的方程为 x2y24x50. 9已知方程 x2y22(t3)x2(14t2)y16t490 表示一个圆 (1)求 t 的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程 解 (1)圆的方程化为x(t3)2y(14t2)216t7t2. 由
5、7t26t10，得17t1. 故 t 的取值范围是17，1 . (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t3,4t21)，半径为 16t7t2. (3)r 7t26t1 7t3721674 77. 所以 r 的最大值为4 77，此时 t37， 故圆的标准方程为x2472y13492167. 10.如图，已知线段 AB 的中点 C 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x1)2y24 上运动，求线段AB 的端点 B 的轨迹方程 解 设 B 点坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)，由于点 C 的坐标是(4,3)且点 C 是线段 AB的中点，所以 4x0 x2，3y0y2， 于是有 x08x ，
6、y06y. 因为点 A 在圆(x1)2y24 上运动， 所以点 A 的坐标满足方程(x1)2y24， 即(x01)2y204， 把代入，得(8x1)2(6y)24， 整理，得(x9)2(y6)24. 所以点 B 的轨迹方程为(x9)2(y6)24. 11圆 x2y2ax2y10 关于直线 xy10 对称的圆的方程是 x2y24x30，则a 的值为( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 由于圆x2y2ax2y10的圆心为Ma2，1 ， 圆x2y24x30的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线 xy10 对称，故有10a2211，解得 a2. 12圆 x2y22x6y80 的面积为( ) A
7、8 B4 C2 D 答案 C 解析 原方程可化为(x1)2(y3)22， 半径 r 2，圆的面积为 Sr22. 13已知圆 C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆 C 与两坐标轴的四个截距之和为_ 答案 2 解析 设圆的方程为 x2y2DxEyF0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得 1644D2EF0，19D3EF0，2515DEF0，解得 D2，E4，F20， 所以圆的方程为 x2y22x4y200. 令 x0，则 y24y200， 由根与系数的关系得 y1y24； 令 y0，则 x22x200， 由根与系数的关系得 x1x22， 故圆 C 与两坐标轴的四个
8、截距之和为 y1y2x1x2422. 14设直线 2x3y10 和圆 x2y22x30 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线的方程是_ 答案 3x2y30 解析 圆的方程 x2y22x30，化为标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1,0)，由 kAB23，得 AB 的垂直平分线的斜率为32，且过圆心，从而所求直线方程为 y032(x1)，即3x2y30. 15已知点 P(7,3)，圆 M：x2y22x10y250，点 Q 为圆 M 上一点，点 S 在 x 轴上，则|SP|SQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 答案 C 解析 由题意知圆 M 的方程可化为(x1)2(y5)2
9、1，所以圆心为 M(1,5)，半径为 1.如图所示，作点 P(7,3)关于 x 轴的对称点 P(7，3)， 连接 MP，交圆 M 于点 Q，交 x 轴于点 S，此时|SP|SQ|的值最小，否则，在 x 轴上另取一点 S，连接 SP，SP，SQ，由于 P 与 P关于 x 轴对称，所以|SP|SP|，|SP|SP|，所以|SP|SQ|SP|SQ|PQ|SP|SQ|SP|SQ|. 故(|SP|SQ|)min|PM|1 17253219. 16在平面直角坐标系 xOy 中，长度为 2 的线段 EF 的两端点 E，F 分别在两坐标轴上运动 (1)求线段 EF 的中点 G 的轨迹 C 的方程； (2)设轨
10、迹 C 与 x 轴交于 A1，A2两点，P 是轨迹 C 上异于 A1，A2的任意一点，直线 PA1交直线 l：x3 于 M 点，直线 PA2交直线 l 于 N 点，求证：以 MN 为直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标 解 (1)设 G(x，y)，由中点坐标公式得 E(2x,0)，F(0,2y)， |EF|2x22y22， 整理得 x2y21， 线段 EF 的中点 G 的轨迹 C 的方程为 x2y21. (2)由已知设 A1(1,0)，A2(1,0)， 设 P(x0，y0)，x0 1，x20y201， 直线 PA1的方程为 yy0 x01(x1)， 令 x3，得 y4y0 x01， 则 M3，4y0 x01， 同理， 可求 N3，2y0 x01， MN 的中点坐标为3，13x0y0， |MN|4y0 x012y0 x0123x0y0， 以 MN 为直径的圆 C 的方程为 (x3)2y13x0y023x02y20. 令 y0，得(x3)213x0y023x02y2088x20y208. x3 2 2，圆 C 总过定点，定点坐标为(32 2，0)或(32 2，0)