1、2.3.42.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 课时课时对点对点练练 1平行直线 l1：3xy0 与 l2：3xy 100 的距离等于( ) A1 B0 C. 10 D3 答案 A 解析 l1，l2的距离为 d| 100|32121. 2两平行直线 5x12y30 与 10 x24y50 之间的距离是( ) A.213 B.113 C.126 D.526 答案 C 解析 5x12y30 可化为 10 x24y60. 由平行线间的距离公式可得 d|65|102242126. 3已知直线 3x2y30 和 6xmy10 互相平行，则它们之间的距离是( ) A4 B.2 1313 C
2、.5 1326 D.7 1326 答案 D 解析 因为 3x2y30 和 6xmy10 互相平行， 所以 326m，所以 m4. 直线 6x4y10 可以转化为 3x2y120， 由两条平行直线间的距离公式可得 d123322272137 1326. 4(多选)到直线 2xy10 的距离等于55的直线方程可能为( ) A2xy10 B2xy20 C2xy0 D. 2xy20 答案 CD 解析 因为所求直线与直线 2xy10 的距离为55， 所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为 2xyc0(c1)， 则 d|c1|221255， 解得 c0 或 c2， 故所求直线方程为 2xy0
3、或 2xy20. 5(多选)若两条平行直线 l1：x2ym0 与 l2：2xny60 之间的距离是 2 5，则 mn的可能值为( ) A3 B17 C3 D17 答案 AB 解析 由题意，n0，2n12，所以 n4， 所以 l2：2x4y60，即 x2y30， 由两平行直线间的距离公式得|m3|12222 5， 解得 m7 或 m13， 所以 mn3 或 mn17. 6若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( ) A. 2 B.8 23 C. 3 D.8 33 答案 B 解析 由题意知，直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0
4、平行， 则 3a(a2)，即 a22a30，解得 a3 或 a1， 当 a3 时，直线 l1：x3y60 与 l2：x3y60 重合； 当 a1 时，直线 l1：xy60 与 l2：xy230 平行， 两直线之间的距离为62328 23. 7与三条直线 l1：xy20，l2：xy30，l3：xy50 可围成正方形的直线方程为_ 答案 xy0 或 xy100 解析 易知 l1l2，且它们之间的距离 d|23|25 22. 设所求直线为 l4，则 l4l3， 所以可设 l4：xyc0，则|c5|25 22， 解得 c0 或10， 所以所求直线方程为 xy0 或 xy100. 8若直线 l1：ykx
5、1 与直线 l2关于点(2,3)对称，则直线 l2恒过定点_，l1与 l2的距离的最大值是_ 答案 (4,5) 4 2 解析 直线 l1：ykx1 经过定点(0,1)， 又两直线关于点(2,3)对称， 则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称， 直线 l2恒过定点(4,5)， l1与 l2的距离的最大值就是两定点之间的距离， 即为 4025124 2. 9(1)求平行于直线 3x4y20，且与它的距离是 1 的直线方程； (2)求垂直于直线 x3y50 且与点 P( 1,0)的距离是3 105的直线方程 解 (1)设所求直线方程为 3x4ym0. 由题意知|m2|32421， 解得 m3 或7
6、， 所以所求直线方程为 3x4y30 或 3x4y70. (2)设所求直线方程为 3xyc0，由题意，可得点 P 到直线的距离等于3 105， 即 d|3c|103 105， 解得 c9 或 c3， 所以所求直线方程为 3xy90 或 3xy30. 10设直线 l1：x2y10 与 l2：(3m)xmym23m0. (1)若 l1l2，求 l1，l2之间的距离； (2)若直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 l2的方程 解 (1)若 l1l2，则 m0， 123mm，m6， l1：x2y10，l2：x2y60， l1，l2之间的距离 d514 5. (2)由题意，得 m0
7、，3m0，0m3， 直线 l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S12m(3m)12m32298， 当 m32时，S 的最大值为98， 此时直线 l2的方程为 2x2y30. 11已知直线 l1：mx2y4m0(m0)在 x 轴、y 轴上的截距相等，则直线 l1与直线 l2：xy10 间的距离为( ) A.22 B. 2 C.22或 2 D0 或 2 答案 B 解析 直线 l1：mx2y4m0(m0)在 x 轴、y 轴上的截距相等， m4mm42，m2， 直线 l1：2x2y420，即 xy30， 则直线 l1与直线 l2：xy10 间的距离为|13|2 2. 12(多选)两条平行直线 l
8、1，l2分别过点 P(1,3)，Q(2，1)，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2之间的距离可能取值为 ( ) A1 B3 C5 D7 答案 ABC 解析 当两直线 l1，l2与直线 PQ 垂直时，两平行直线 l1，l2间的最大距离为|PQ|1223125，所以 l1，l2之间距离的取值范围是(0,5 13直线 l1，l2分别过点 M(1,4)，N(3,1)，它们分别绕点 M 和 N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离 d 的最大值是( ) A5 B4 C. 13 D3 答案 A 解析 根据题意画出图象，如图所示， 根据图象可得当 l1l2，且 l1MN，l2MN 时
9、，l1与 l2之间的距离为|MN|； 当 l1l2，但是 l1与 MN 不垂直，l2与 MN 不垂直时，过 M 点向 l2引垂线，垂足为 P，则 l1与 l2之间的距离为|MP|； 因为|MN|MP|，所以 dmax|MN| 1324125. 14若某直线被两平行直线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2 2，则该直线的倾斜角大小为_ 答案 15 或 75 解析 由两平行直线的距离公式，可得直线 l1：xy10 与 l2：xy30 的距离为 d|31|2 2， 又直线被两平行直线 l1： xy10 与 l2： xy30 所截得的线段的长为 2 2，即该直线与直线 l1所成
10、角为30 ， 又直线 l1的倾斜角为45 ， 则该直线的倾斜角大小为15 或75 . 15.如图，已知直线 l1：xy10，现将直线 l1向上平移到直线 l2的位置，若 l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为 4，则 l2的方程为_ 答案 xy30 解析 设 l2的方程为 yxb(b1)， 则图中 A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b) 所以 AD 2，BC 2b. 梯形的高 h 就是两平行直线 l1与 l2的距离， 故 h|b1|2b12(b1)， 由梯形面积公式得2 2b2b124， 所以 b29，b 3. 又 b1，所以 b3. 所以所求直线 l2的方程是 xy30. 16
11、已知三条直线 l1：2xya0(a0)，直线 l2：4x2y10 和直线 l3：xy10，且l1和 l2的距离是7 510. (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的12；P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是 2 5？若能，求出 P 点坐标；若不能，请说明理由 解 (1)l2的方程即为 2xy120， l1和 l2的距离 da1222127 510， a1272. a0，a3. (2)设点 P(x0，y0)，若 P 点满足条件，则 P 点在与 l1和 l2平行的直线 l：2xyc0 上， 且|c3|512c125， 即 c132或 c116. 2x0y01320 或 2x0y01160. 若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式，得 |2x0y03|525|x0y01|2， x02y040 或 3x020. 点 P 在第一象限， 3x020 不符合题意 联立方程 2x0y01320，x02y040， 解得 x03，y012，应舍去 联立 2x0y01160，x02y040， 解得 x019，y03718. 所以 P19，3718即为同时满足三个条件的点