1、2.4 圆的方程圆的方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 一、选择题 1.圆(x1)2(y 3)21 的圆心坐标是( ) A.(1， 3) B.(1， 3) C.(1， 3) D.(1， 3) 答案 C 解析 由圆的标准方程(x1)2(y 3)21，得圆心坐标为(1， 3). 2.圆心是 O(3，4)，半径长为 5 的圆的方程为( ) A.(x3)2(y4)25 B.(x3)2(y4)225 C.(x3)2(y4)25 D.(x3)2(y4)225 答案 D 解析 将 O(3，4)，r5 代入圆的标准方程可得. 3.已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，
2、则直线 l的方程是( ) A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30 答案 D 解析 圆 x2(y3)24 的圆心为点(0，3)， 又因为直线 l 与直线 xy10 垂直， 所以直线 l 的斜率 k1. 由点斜式，得直线 l 的方程为 y3x0， 化简得 xy30. 4.若直线 yaxb 经过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21 的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 圆的圆心为(a， b).直线经过一、 二、 四象限， a0， 即a0，b0，圆心在第四象限. 5.点(5a1，12a)在圆(x1)2y21 的内部，则实数 a
3、 的取值范围是( ) A.(1，1) B.，13 C.15，15 D.113，113 答案 D 解析 依题意有(5a)2144a21，得 169a21，所以 a21169，即113a1，故圆上的点到直线 xy2 的距离的最大值为 21. 三、解答题 9.求圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程. 解 法一 设点 C 为圆心， 点 C 在直线 x2y30 上， 可设点 C 的坐标为(2a3，a). 又该圆经过 A，B 两点，|CA|CB|. （2a32）2（a3）2 （2a32）2（a5）2，解得 a2. 圆心坐标为 C(1，2)，半径 r 10. 故所求圆
4、的标准方程为(x1)2(y2)210. 法二 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由条件知（2a）2（3b）2r2，（2a）2（5b）2r2，a2b30，解得a1，b2，r210， 故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210. 10.一个等腰三角形 ABC 底边上的高等于 4，底边两端点的坐标分别是 B(3，0)和 C(3，0)，求它的外接圆的方程. 解 (1)当点A的坐标是(0， 4)时(如图)， kAB43， 线段AB的中点坐标是32，2 ，线段 AB 的垂直平分线的方程是 y234x32，即 y34x78. 令 x0，则 y78. 所以圆心的坐标是0，78，半径长为 478
5、258， 此时所求外接圆的方程是 x2y78262564. (2)当点A的坐标是(0， 4)时(如图)， kAB43， 线段AB的中点坐标是32，2 ，线段 AB 的垂直平分线的方程是 y234x32，即 y34x78. 令 x0，则 y78. 所以圆心的坐标是0，78，半径长为 478258， 此时所求外接圆的方程是 x2y78262564. 综上，所求外接圆的方程是 x2y78262564或 x2y78262564. 11.直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22上，则ABP 面积的取值范围是( ) A.2，6 B.4，8 C. 2，3 2 D
6、.2 2，3 2 答案 A 解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径 r 2，圆心到直线 xy20 的距离 d|202|22 2，所以圆上的点到直线的最大距离是 dr3 2，最小距离是 dr 2.易知 A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2 2，所以12|AB| (dr)SABP12|AB| (dr)，即 2SABP6.故选 A. 12.已知圆心在第二象限，半径为 2 的圆 C 与两坐标轴都相切，则圆 C 的标准方程为_；与圆 C 关于直线 xy20 对称的圆的方程为_. 答案 (x2)2(y2)24 x2y24 解析 由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(2，2)，半径为 2， 所以圆
7、的标准方程为(x2)2(y2)24. 设(2，2)关于直线 xy20 的对称点为(a，b). 则有a22b2220，b2a21，解得a0，b0， 故所求圆的圆心为(0，0)，半径为 2. 所以所求圆的标准方程为 x2y24. 13.已知 x，y 满足(x1)2y21，求 S x2y22x2y2的最小值. 解 因为 S x2y22x2y2 （x1）2（y1）2， 又点(x，y)在圆(x1)2y21 上运动，即 S 表示圆上的动点到定点(1，1)的距离，如图所示，显然当动点、定点(1，1)和圆心(1，0)共线时取得最值，且最小值为（11）2（01）21 51， 所以 S x2y22x2y2的最小值为 51. 14.若圆 C 经过坐标原点，且圆心在直线 y2x3 上运动，求当半径最小时圆的方程. 解 法一 设圆心坐标为(a，2a3)， 则圆的半径 r （a0）2（2a30）2 5a212a95a65295. 当 a65时，rmin3 55. 故所求圆的方程为x652y35295. 法二 易知，圆的半径的最小值就是原点 O 到直线 y2x3的距离. 如图，此时 r|003|22123 55. 设圆心为(a，2a3)， 则 （a0）2（2a30）23 55， 解得 a65，从而圆心坐标为65，35. 故所求圆的方程为x652y35295.