1、2.42.4 圆的方程圆的方程 2 2. .4.14.1 圆的标准方程圆的标准方程 课时课时对点对点练练 1圆(x1)2(y 3)21 的圆心坐标是( ) A(1， 3) B(1， 3) C(1， 3) D(1， 3) 答案 C 解析 由圆的标准方程(x1)2(y 3)21，得圆心坐标为(1， 3) 2已知点 A(3，2)，B(5,4)，以线段 AB 为直径的圆的标准方程是( ) A(x1)2(y1)225 B(x1)2(y1)225 C(x1)2(y1)2100 D(x1)2(y1)2100 答案 B 解析 由题意得圆心坐标为(1,1)， 半径 r12|AB|123522425， 所以圆的标
2、准方程是(x1)2(y1)225. 3圆(x1)2y21 的圆心到直线 y33x 的距离是( ) A.12 B.32 C1 D. 3 答案 A 解析 圆(x1)2y21 的圆心坐标为(1,0)， 所以圆心到直线 y33x 的距离为 d33133212. 4已知圆(xa)2(y1)22a(0a1)，则原点 O 在( ) A圆内 B圆外 C圆上 D圆上或圆外 答案 B 解析 由圆的方程(xa)2(y1)22a，知圆心为(a,1)， 则原点与圆心的距离为 a21. 0a1， a21 2ar，即原点在圆外 5(多选)已知圆 M：(x4)2(y3)225，则下列说法正确的是( ) A圆 M 的圆心为(4
3、，3) B圆 M 的圆心为(4,3) C圆 M 的半径为 5 D圆 M 被 y 轴截得的线段长为 6 答案 ACD 解析 由圆 M：(x4)2(y3)252， 故圆心为(4，3)，半径为 5，则 AC 正确； 令 x0，得 y0 或 y6，线段长为 6，故 D 正确 6已知圆 C1：(x1)2(y1)21，圆 C2与圆 C1关于直线 xy10 对称，则圆 C2的方程为( ) A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21 答案 B 解析 在圆 C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线 xy10 的对称点(y1，x1)在圆 C1：(x1)
4、2(y1)21 上， 所以(y11)2(x11)21， 即(x2)2(y2)21. 7与圆 C：(x1)2y236 同圆心，且面积等于圆 C 面积的一半的圆的方程为_ 答案 (x1)2y218 解析 圆 C 的半径 R6，设所求圆的半径为 r， 则r2R212，所以 r218， 又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x1)2y218. 8圆(x1)2(y1)21 上的点到直线 xy2 的距离的最大值是_ 答案 21 解析 圆(x1)2(y1)21 的圆心为 C(1,1)， 则圆心到直线 xy2 的距离 d|112|1212 2， 故圆上的点到直线 xy2 的距离的最大值为 21. 9已知圆 N
5、 的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0) (1)若点 M(6,9)在圆 N 上，求半径 a； (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求 a 的取值范围 解 (1)点 M(6,9)在圆 N 上， (65)2(96)2a2，a210. 又 a0.a 10. (2)由已知，得圆心 N(5,6) |PN|352362 13， |QN| 5523623， |PN|QN|，故点 P 在圆外，点 Q 在圆内， a 的取值范围是 3a 13，即 a(3， 13) 10已知点 A(1，2)，B(1,4)，求 (1)过点 A，B 且周长最小的圆的方程； (2)过点 A，B 且圆
6、心在直线 2xy40 上的圆的方程 解 (1)当 AB 为直径时，过 A，B 的圆的半径最小，从而周长最小 即 AB 中点(0,1)为圆心，半径 r12|AB| 10. 则圆的方程为 x2(y1)210. (2)方法一 AB 的斜率为 k3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y113x.即 x3y30， 由圆心在直线 2xy40 上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是 C(3,2) r|AC|1322222 5. 故所求圆的方程是(x3)2(y2)220. 方法二 待定系数法 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2. 则 1a22b2r2，1a24b2r2，2ab40， a3，b2，r220， 故所
7、求圆的方程为(x3)2(y2)220. 11(多选)以直线 2xy40 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( ) Ax2(y4)220 B(x4)2y220 Cx2(y2)220 D(x2)2y220 答案 AD 解析 令 x0，则 y4； 令 y0，则 x2. 所以直线 2xy40 与两坐标轴的交点分别为 A(0,4)，B(2,0)|AB| 22422 5，以 A为圆心， 过 B 点的圆的方程为 x2(y4)220. 以 B 为圆心，过 A 点的圆的方程为(x2)2y220. 12已知直线(32)x(32)y50 恒过定点 P，则与圆 C：(x2)2(y3)216 有公
8、共的圆心且过点 P 的圆的标准方程为( ) A(x2)2(y3)236 B(x2)2(y3)225 C(x2)2(y3)218 D(x2)2(y3)29 答案 B 解析 由(32)x(32)y50， 得(2x3y1)(3x2y5)0， 则 2x3y10，3x2y50， 解得 x1，y1，即 P(1,1) 圆 C：(x2)2(y3)216 的圆心坐标是(2，3)， |PC|1221325， 所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225，故选 B. 13圆(x3)2(y1)21 关于直线 xy30 对称的圆的标准方程是_ 答案 (x4)2y21 解析 设圆心 A(3，1)关于直线 xy30 对称的点
9、 B 的坐标为(a，b)， 则 b1a3 11，a32b1230，解得 a4，b0， 故所求圆的标准方程为(x4)2y21. 14已知点 P(x，y)为圆 x2y21 上的动点，则 x24y 的最小值为_ 答案 4 解析 点 P(x，y)为圆 x2y21 上的动点， x24y1y24y(y2)25. y1,1， 当 y1 时，(y2)25 有最小值4. 15已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A4 B5 C6 D7 答案 A 解析 设圆心 C(x，y)，则 x32y421， 化简得(x3)2(y4)21， 所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心，1
10、 为半径的圆， 所以|OC|1|OM| 32425， 所以|OC|514，当且仅当 C 在线段 OM 上时取等号 16设圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段弧，其弧长比为 31.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线 l：x2y0 的距离最小时的圆的方程 解 设圆心为(a，b)，半径长为 r， 依题意，得 2|b|r，a21r2， 消去 r，得 2b2a21， 圆心到直线 l 的距离 d|a2b|5. 设 a2bk，则 a2bk，代入式， 整理得 2b24bkk210. 判别式 8(k21)0，解得|k|1， 当|k|1 时，dmin55. 当 k1 时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22； 当 k1 时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22.