1、2 23.33.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 2 23.43.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 1原点到直线 x2y50 的距离为( ) A1 B. 3 C2 D. 5 答案 D 解析 d|0205|1222 5. 2已知直线 l1：xy10，l2：xy10，则 l1与 l2之间的距离为( ) A1 B. 2 C. 3 D2 答案 B 解析 d|11|1212 2. 3已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B. 21 C. 21 D2 2 答案 B 解析 由点到直线的距离公式，得 1|a23|11， 即|a1| 2.因
2、为 a0，所以 a 21，故选 B. 4已知直线 3xmy30 与 6x4y10 互相平行，则它们之间的距离是( ) A4 B.2 1313 C.5 1326 D.7 1326 答案 D 解析 3xmy30 与 6x4y10 平行， 36m4，m2， 化 6x4y10 为 3x2y120， d123322272137 1326. 5(多选)已知 A(2，4)，B(1,5)两点到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值可能为( ) A3 B3 C2 D1 答案 AB 解析 由题意得|2a41|a21|a51|a21，解得 a3 或 a3. 6若点(2，k)到直线 5x12y60 的距离
3、是 4，则 k 的值是_ 答案 3 或173 解析 |5212k6|521224， |1612k|52，k3 或 k173. 7已知点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为_ 答案 (1,2)或(2，1) 解析 设点 P 的坐标为(a，53a)，由题意得|a53a1|1212 2，解得 a1 或 2， 所以点 P 的坐标为(1,2)或(2，1) 8经过点 P(3,4)，且与原点的距离等于 3 的直线 l 的方程为_ 答案 x3 或 7x24y750 解析 (1)当直线 l 的斜率不存在时，原点到直线 l：x3 的距离等于 3，满足题意； (2
4、)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y4k(x3)， 即 kxy3k40. 原点到直线 l 的距离 d|3k4|k2123， 解得 k724. 直线 l 的方程为 7x24y750. 综上可知，直线 l 的方程为 x3 或 7x24y750. 9求过点 P(0,2)且与点 A(1,1)，B(3,1)等距离的直线 l 的方程 解 方法一 点 A(1,1)与 B(3,1)到 y 轴的距离不相等， 直线 l 的斜率存在，设为 k. 又直线 l 在 y 轴上的截距为 2，则直线 l 的方程为 ykx2，即 kxy20. 由点 A(1,1)与 B(3,1)到直线 l 的距离相等， 得|k
5、12|k21|3k12|k21， 解得 k0 或 k1. 直线 l 的方程是 y2 或 xy20. 方法二 当直线 l 过线段 AB 的中点时，直线 l 与点 A，B 的距离相等 AB 的中点是(1,1)，又直线 l 过点 P(0,2)， 直线 l 的方程是 xy20； 当直线 lAB 时，直线 l 与点 A，B 的距离相等 直线 AB 的斜率为 0，直线 l 的斜率为 0， 直线 l 的方程为 y2. 综上所述，满足条件的直线 l 的方程是 xy20 或 y2. 10已知正方形的中心为直线 xy10 和 2xy20 的交点，正方形一边所在直线方程为 x3y20，求其他三边所在直线的方程 解
6、因为由 xy10，2xy20，解得 x1，y0， 所以中心坐标为(1,0) 所以中心到已知边的距离为|12|1232310. 设正方形相邻两边方程为 x3ym0 和 3xyn0. 因为正方形中心到各边距离相等， 所以|1m|10310和|3n|10310. 所以 m4 或 m2(舍去)，n6 或 n0. 所以其他三边所在直线的方程为 x3y40,3xy0,3xy60. 11直线 l 过点 A(3,4)且与点 B(3,2)的距离最远，那么 l 的方程为( ) A3xy130 B3xy130 C3xy130 D3xy130 答案 C 解析 由已知可知，l 是过 A 且与 AB 垂直的直线， kAB
7、243313，kl3， 由点斜式得，y43(x3)，即 3xy130. 12过两直线 xy10 和 xy10 的交点，并与原点的距离等于 1 的直线共有( ) A0 条 B1 条 C2 条 D3 条 答案 B 解析 联立 xy10，xy10，得 x0，y1. 两直线交点坐标为(0,1)， 由交点到原点的距离为 1 可知，只有 1 条直线符合条件 13已知直线 l 与直线 l1：2xy30 和 l2：2xy10 的距离相等，则 l 的方程是_ 答案 2xy10 解析 方法一 由题意可设 l 的方程为 2xyc0，于是有|c3|2212|c1|2212， 即|c3|c1|，解得 c1，则直线 l
8、的方程为 2xy10. 方法二 由题意知 l 必介于 l1与 l2中间，故设 l 的方程为 2xyc0，则 c3121. 则直线 l 的方程为 2xy10. 14已知 xy30，则 x22y12的最小值为_ 答案 2 解析 设 P(x，y)，A(2，1)， 则点 P 在直线 xy30 上， 且 x22y12|PA|. |PA|的最小值为点 A(2，1)到直线 xy30 的距离 d|213|1212 2. 15已知入射光线在直线 l1：2xy3 上，经过 x 轴反射到直线 l2上，再经过 y 轴反射到直线 l3上若点 P 是直线 l1上某一点，则点 P 到直线 l3的距离为( ) A6 B3 C
9、.6 55 D.9 510 答案 C 解析 如图所示， 结合图形可知，直线 l1l3，则直线 l1上一点 P 到直线 l3的距离即为 l1与 l3之间的距离 由题意知 l1与 l2关于 x 轴对称，故 l2的方程为 y2x3，l2与 l3关于 y 轴对称， 故 l3的方程为 y2x3. 由两平行线间的距离公式，得 l1与 l3间的距离 d|33|12226 55， 即点 P 到直线 l3的距离为6 55. 16已知直线 l：x2y80 和两点 A(2,0)，B(2，4) (1)在直线 l 上求一点 P，使|PA|PB|最小； (2)在直线 l 上求一点 P，使|PB|PA|最大 解 (1)设
10、A 关于直线 l 的对称点为 A(m，n)， 则 n0m22，m222n0280，解得 m2，n8， 故 A(2,8) 因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|PB|PA|PB|AB|， 当且仅当 B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 则 x2，x2y80，得 x2，y3， 故所求的点 P 的坐标为(2,3) (2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则|PB|PA|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l的交点，又直线 AB 的方程为 yx2，则 yx2，x2y80，得 x12，y10， 故所求的点 P 的坐标为(12,10)