1、2.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式两点间的距离公式 一、选择题 1.直线 xky0，2x3y80 和 xy10 交于一点，则 k 的值是( ) A.12 B.12 C.2 D.2 答案 B 解析 由方程组2x3y80，xy10得直线 2x3y80 与 xy10 的交点坐标为(1，2)，代入直线 xky0 得 k12. 2.过两直线 l1： x3y40 和 l2： 2xy50 的交点和原点的直线方程是( ) A.19x9y0 B.9x19y0 C.19x3y0 D.3x19y0 答案 D 解析
2、由方程组x3y40，2xy50，解得x197，y37， 两直线的交点为197，37， 所求直线的斜率为3701970319， 所求直线的方程为 y319x，即 3x19y0. 3.以点 A(3，0)，B(3，2)，C(1，2)为顶点的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 答案 C 解析 |AB| （33）222 364 402 10， |BC|（13）2（22）2 1616 324 2， |AC|（13）222 82 2， |AC|2|BC|2|AB|2， ABC 为直角三角形.故选 C. 4.当 0k12时，直线 l1：kxyk1 与直线 l2：ky
3、x2k 的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析 由方程组kxyk1，kyx2k， 得两直线的交点坐标为kk1，2k1k1. 因为 0k12，所以kk10， 所以交点在第二象限. 5.方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直线( ) A.恒过定点(2，3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(2，3)和点(2，3) D.都是平行直线 答案 A 解析 (a1)xy2a10 可化为xy1a(x2)0， 由xy10，x20，得x2，y3. 二、填空题 6.过点 A(4，a)和 B(5，b)的直线和直线 yxm 平行，则|AB|_. 答案 2 解析 由题
4、意知 kABba54ba1，所以|AB|（54）2（ba）2 2. 7.三条直线 ax2y80，4x3y10，2xy10 相交于一点，则实数 a 的值为_. 答案 1 解析 由4x3y10，2xy10，解得x4，y2， 把(4，2)代入直线 ax2y80，可得 4a480，解得 a1. 8.若动点 P 的坐标为(x，1x)，xR，则动点 P 到原点的最小值是_. 答案 22 解析 由两点间的距离公式得 P 到原点的距离为 x2（1x）22x22x12x12212，最小值为1222. 三、解答题 9.求经过直线 l1：7x8y10 和 l2：2x17y90 的交点，且垂直于直线 2xy70 的直
5、线方程. 解 由方程组2x17y90，7x8y10， 解得x1127，y1327，所以交点坐标为1127，1327. 又因为所求直线斜率为 k12， 所以所求直线方程为 y132712x1127，即 27x54y370. 10.已知 0k4，直线 l1：kx2y2k80 和直线 l2：2xk2y4k240 与两坐标轴围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的 k 值. 解 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，4)，直线 l1的纵截距为 4k，直线 l2的横截距为 2k22，如图，所以四边形的面积 S12(2k222)4(4k4)2124k2k8(0k4)，故四边形面积最小时，k18. 1
6、1.(多选题)两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，那么 k 的值可以是( ) A.24 B.6 C.6 D.24 答案 BC 解析 联立两条直线的方程，得 2x3yk0，xky120，解得 xk23632k. 两直线的交点在 y 轴上， k23632k0， k 6(经检验知符合题意). 12.已知两点 A(2，3)，B(4，1)，P 为直线 l：x2y20 上一动点，则|PA|PB|的最小值为_，|PA|PB|的最大值为_. 答案 2 1705 2 2 解析 如图， 可判断 A， B 在直线 l 的同侧， 设点 A 关于 l 的对称点 A的坐标为(x1，y1). 则有
7、x1222y13220，y13x12121， 解得x125，y195.故 A25，95. 由平面几何知识可知，当点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点时，|PA|PB|最小，此时 |PA| |PB| |PA| |PB| |AB| ， 故 |PA| |PB| 的 最 小 值 为 |AB| 254295122 1705. 由平面几何知识可知，当点 P 为直线 AB 与 l 的交点时，|PA|PB|最大，此时|PA|PB|AB|.故|PA|PB|的最大值为|AB|（24）2（31）22 2. 13.已知直线 l1：2xy60 和点 A(1，1)，过 A 点作直线 l 与已知直线 l1相交于 B 点
8、，且使|AB|5，求直线 l 的方程. 解 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y1k(x1)， 解方程组2xy60，y1k（x1）， 得x7kk2，y4k2k2，即 B7kk2，4k2k2. 由|AB|7kk2124k2k2125， 解得 k34， 直线 l 的方程为 y134(x1)， 即 3x4y10. 当过 A 点的直线的斜率不存在时，方程为 x1， 此时，与 l1的交点为(1，4)也满足题意. 综上所述，直线 l 的方程为 3x4y10 或 x1. 14.在ABC 中，AD，BE，CF 分别为三边上的高，求证：AD，BE，CF 三线共点. 证明 建立如图所示的平面直角坐
9、标系， 设 A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)， 则直线 CF 的方程为 x0. 由直线的截距式方程可得直线 AC 的方程为xayc1， 即 cxayac0. 同理，可得直线 BC 的方程为 cxbybc0. 由于 AD 为 BC 边上的高，则直线 AD 的斜率为bc， 由直线的点斜式方程可得直线 AD 的方程为 ybc(xa). 同理，得直线 BE 的方程为 yac(xb). 设直线 CF 和直线 AD 交于点 O， 由ybc（xa），x0得点 O 的坐标为0，abc. 又 O 点坐标也满足直线 BE 的方程， 所以直线 BE 也过点 O. 所以 AD，BE，CF 三线共点.