1、2.32.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 2 2. .3.13.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 1直线 x1 和直线 y2 的交点坐标是( ) A(2,2) B(1,1) C(1,2) D(2,1) 答案 C 解析 由 x1，y2，得交点坐标为(1,2)，故选 C. 2直线 3x2y60 和 2x5y70 的交点坐标为( ) A(4，3) B(4,3) C(4,3) D(3,4) 答案 C 解析 由方程组 3x2y60，2x5y70，得 x4，y3.故选 C. 3经过直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点，且经过原点的直线的方程是( ) A19x9
2、y0 B9x19y0 C3x19y0 D19x3y0 答案 C 解析 由 x3y40，2xy50，解得 x197，y37. 故过点197，37 和原点的直线方程为 y319x， 即 3x19y0. 4两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，那么 k 的值是( ) A24 B6 C 6 D24 答案 C 解析 因为两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在 y 轴上，所以设交点为(0，b)， 所以 3bk0，kb120，消去 b，可得 k 6. 5当 a 取不同实数时，直线(a1)xy2a10 恒过一定点，这个定点是( ) A(2,3) B(2,3) C.1，12
3、D(2,0) 答案 B 解析 直线化为 a(x2)xy10. 由 x20，xy10， 得 x2，y3，直线过定点(2,3) 6过两直线 2xy50 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程为_ 答案 3xy0 解析 由 2xy50，xy20，得 x1，y3， 则所求直线的方程为 y33(x1)， 即 3xy0. 7三条直线 ax2y80,4x3y10,2xy10 相交于一点，则实数 a 的值为_ 答案 1 解析 由 4x3y10，2xy10，解得 x4，y2，又点(4，2)在直线 ax2y80 上， 所以 4a2(2)80，解得 a1. 8已知直线 ax2y10 与直线 2x5
4、yc0 垂直相交于点(1，m)，则 a_，c_，m_. 答案 5 12 2 解析 由两直线垂直得 2a100，解得 a5. 又点(1，m)在直线上得 a2m10,25mc0， 所以 m2，c12. 9求经过直线 l1：7x8y10 和 l2：2x17y90 的交点，且垂直于直线 2xy70的直线方程 解 由方程组 2x17y90，7x8y10，解得 x1127，y1327， 所以交点坐标为1127，1327. 又因为直线斜率为 k12， 所以，所求直线方程为 y132712x1127，即 27x54y370. 10若两条直线 l1：ykx2k1 和 l2：x2y40 的交点在第四象限，求 k
5、的取值范围 解 联立两直线的方程 ykx2k1，x2y40， 解得 x24k2k1，y6k12k1， 该交点落在平面直角坐标系的第四象限， 24k2k10，6k12k10，解得 12k12，12k16， 即12k16. 则 k 的取值范围为12，16. 11直线 kxy12k，当 k 变动时，所有直线都通过定点( ) A(2，1) B(2，1) C(2,1) D(2,1) 答案 A 解析 kxy12k，可化为 y1k(2x)， 故该直线恒过定点(2，1) 12若三条直线 l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0 能构成三角形，则 a 应满足的条件是( ) Aa1 或 a2 Ba 1
6、Ca1 且 a2 Da 1 且 a2 答案 D 解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知 a1. (2)若三条直线交于一点， 由 xay10，xya0，解得 xa1，y1， 将 l2，l3的交点(a1,1)代入 l1的方程解得 a1(舍去)或 a2. (3)若 l1l2，由 aa110，得 a 1，当 a1 时，l1与 l2重合 (4)若 l2l3，由 11a10，得 a1，当 a1 时，l2与 l3重合 (5)若 l1l3，由 a1110，得 a1，当 a1 时，l1与 l3重合 综上，当 a1 时，三条直线重合；当 a1 时，l1l2；当 a2 时，三条直线交于一点， 所以要使三条
7、直线能构成三角形，需 a 1 且 a2. 13若集合(x，y)|xy20 且 x2y40(x，y)|y3xb，则 b_. 答案 2 解析 解方程组 xy20，x2y40，得 x0，y2， 代入直线 y3xb，得 b2. 14 已知A(2,4)， B(4,2)， 直线l： axy20与线段AB恒相交， 则a的取值范围为_ 答案 (，31，) 解析 如图所示， 直线 l：axy20 经过定点 D(0，2)，a 表示直线 l 的斜率， 设线段 AB 与 y 轴交于点 C， 由图形知，当直线 l：axy20 与线段 AB 的交点在线段 CB 上时， a 大于或等于 DB 的斜率，即 a22401，即
8、a1. 当直线 l：axy20 与线段 AB 的交点在线段 AC 上时，a 小于或等于 DA 的斜率， 即 a42203，即 a3. 综上，a 的取值范围为(，31，) 15已知 A(3,1)，B(1,2)，若ACB 的平分线方程为 yx1，则 AC 所在直线方程为( ) Ay2x4 By12x3 Cx2y10 D3xy10 答案 C 解析 设 B 关于直线 yx1 的对称点 B(x，y)， 则 y2x11，y22x121， 即 xy10，xy10， 解得 x1，y0，即 B(1,0)又 B在直线 AC 上， 则直线 AC 的方程为y101x313，即 x2y10. 16 直线 l 过定点 P
9、(0,1)， 且与直线 l1： x3y100， l2： 2xy80 分别交于 A， B 两点，若线段 AB 的中点为 P，求直线 l 的方程 解 方法一 设 A(x0，y0)， 由中点公式，有 B(x0，2y0)， A 在 l1上，B 在 l2上， x03y0100，2x02y080，解得 x04，y02， kAP120414， 故所求直线 l 的方程为 y14x1， 即所求直线 l 的方程为 x4y40. 方法二 由题易知，直线 l 的斜率存在， 设所求直线 l 方程为 ykx1，l 与 l1，l2分别交于 A，B， 解方程组 ykx1，x3y100， 解得 x73k1，y10k13k1，
10、A73k1，10k13k1； 解方程组 ykx1，2xy80，解得 x7k2，y8k2k2， B7k2，8k2k2， A，B 的中点为 P(0,1)，则有1273k17k20， k14. 故所求直线 l 的方程为 x4y40. 方法三 设所求直线 l 与 l1，l2分别交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， P(0,1)为 AB 的中点，则有 x1x20，y1y22，可得 x2x1，y22y1， 代入 l2的方程得 2(x1)2y180， 即 2x1y160， 解方程组 x13y1100，2x1y160，解得 x14，y12， 所以 A(4,2)，由两点式可得所求直线 l 的方程为 x4y40.