1、2.3.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 一、选择题 1.点(2，5)到直线 y2x 的距离为( ) A.55 B.2 55 C.3 55 D. 5 答案 A 解析 直线y2x可化为2xy0， 由点到直线的距离公式得|225|22（1）21555. 2.两平行线分别经过点 A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离 d 满足的条件是( ) A.0d3 B.0d5 C.0d4 D.3d5 答案 B 解析 当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|5，所以 01)， 则图中 A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(
2、0，b). |AD| 2，|BC| 2b. 梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离， 故 h|10b|2|b1|2b12(b1)， 由梯形面积公式得2 2b2b124， b29，b 3.又 b1，b3. 从而得到直线 l2的方程是 xy30. 10.已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点， (1)点 A(5，0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5，0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50， 点 A(5，0)到 l 的距离为 3， |1055|（2）2（12）23.
3、 即 22520，2，或 12， l 的方程为 x2 或 4x3y50. (2)由2xy50，x2y0解得x2，y1，所以交点P的坐标为(2， 1)，如图， 过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d|PA| (当 lPA 时等号成立). dmax|PA| 10. 11.(多选题)已知在ABC 中，A(3，2)，B(1，5)，点 C 在直线 3xy30 上.若ABC 的面积为 10，则点 C 的坐标可以为( ) A.(1，0) B.53，8 C.(1，6) D.53，2 答案 AB 解析 由|AB|5，ABC 的面积为 10，得点 C 到直线 AB 的距离为 4.设 C(
4、x，3x3)，利用点到直线的距离公式可求得 x1 或 x53.故点 C 坐标为(1，0)或53，8 . 12.若直线 l1：2xmy10 与直线 l2：y3x1 平行，则 m_，此时直线 l1与 l2之间的距离为_. 答案 23 104 解析 直线 l1：2xmy10 与直线 l2：y3x1 平行， 2m3，m23， 故直线 l1：6x2y30，直线 l2：6x2y20. 则直线 l1与 l2之间的距离为|3（2）|62（2）2104. 13.已知实数 x，y 满足关系式 xy10，求式子 S x2y22x2y2的最小值. 解 法一 x2y22x2y2(x1)2(y1)2， 上式可看成是一个动
5、点 M(x，y)到一个定点 N(1，1)距离的平方， 即为点 N 与直线 l：xy10 上任意一点 M(x，y)距离的平方. S|MN|的最小值应为点 N 到直线 l 的距离，即 |MN|mind|111|23 22. 法二 xy10，yx1， S x2（x1）22x2（x1）2 2x22x5 2x12292， x12时，Smin923 22. 14.已知 10 条直线. l1：xyc10，c1 2， l2：xyc20， l3：xyc30， l10：xyc100，其中 c1c2c10. 这 10 条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为 2，3，4，10.求： (1)c10； (2)xyc100 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积. 解 (1)原点 O 到 l1的距离为 d1|00 2|12（1）21， 原点 O 到 l2的距离为 d212， 原点 O 到 l3的距离为 d3123， 原点 O 到 l10的距离为 d101231055. 因为 d10c102，所以 c1055 2. (2)由(1)知，直线 l10的方程为 xy55 20，其与 x 轴交于点 M(55 2，0)，与 y 轴交于点 N(0， 55 2)， 则OMN 的面积为 SOMN12|OM|ON|12(55 2)23 025.