1、2.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 一、选择题 1.经过两点(5，0)，(2，5)的直线方程为( ) A.5x3y250 B.5x3y250 C.3x5y250 D.5x3y250 答案 B 解析 经过两点(5，0)，(2，5)的直线方程为： y050 x525，整理，得 5x3y250. 故选 B. 2.已知直线 l：axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a 的值是( ) A.1 B.1 C.2 或1 D.2 或 1 答案 A 解析 显然 a0.把直线 l：axy20 化为x2ay21. 直线 l：axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 2a2，解得 a1，
2、故选 A. 3.(多选题)下列命题中不正确的是( ) A.经过点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示 B.经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示 C.经过任意两个不同点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可用方程(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示 答案 ABD 解析 A 中当直线的斜率不存在时， 其方程只能表示为 xx0； B 中经过定点 A(0，b)的直线 x0 无法用 ykxb 表示； D 中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程xayb1 表示.只有
3、 C 正确.故选 A、B、D. 4.经过点 A(2，5)，B(3，6)的直线在 x 轴上的截距为( ) A.2 B.3 C.27 D.27 答案 D 解析 由两点式得直线方程为y656x323， 即 x5y270，令 y0，得 x27. 5.(多选题)直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围可以是( ) A.1，15 B.()，1 C.15， D.12， 答案 BD 解析 设直线的斜率为 k，如图，过定点 A 的直线经过点B(3，0)时，直线 l 在 x 轴上的截距为 3，此时 k1；过定点 A 的直线经过点 C(3，0)时，直线 l 在 x
4、 轴的截距为3，此时 k12，满足条件的直线 l 的斜率范围是(，1)12， . 二、填空题 6.已知 A(2，1)，B(6，1)，则在 y 轴上的截距是3，且经过线段 AB 中点的直线方程为_. 答案 3x4y120 解析 由于 A(2，1)，B(6，1)，故线段 AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在 y 轴上的截距是3， 直线方程为x4y31，即 3x4y120. 7.垂直于直线 3x4y70， 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线 l 在 x轴上的截距是_. 答案 3 或3 解析 由 3x4y70 知其斜率为34，故 l 的斜率为43，设 l 的方程为 y43xb，则 l 在
5、 x，y 轴上的截距分别为34b，b，1234b |b|6，b 4，则直线 l在 x 轴上的截距为 3 或3. 8.过点 P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是_. 答案 2x3y0 或 xy50 解析 当直线过原点时，斜率等于203023， 故直线的方程为 y23x，即 2x3y0. 当直线不过原点时，设直线的方程为xmym1， 把 P(3，2)代入直线的方程得 m5， 故求得的直线方程为 xy50， 综上，满足条件的直线方程为 2x3y0 或 xy50. 三、解答题 9.求经过点 A(2， 3)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程. 解 (1)当横
6、截距、纵截距都是零时， 设所求的直线方程为 ykx， 将(2，3)代入 ykx 中，得 k32， 此时，直线方程为 y32x， 即 3x2y0. (2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x2aya1， 将(2，3)代入所设方程，解得 a2， 此时，直线方程为 x2y40. 综上所述，所求直线方程为 x2y40 或 3x2y0. 10.求经过点 A(2，3)，B(4，1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 解 过 A，B 两点的直线的两点式方程是y131x424. 化为点斜式为：y123(x4)， 斜截式为：y23x53， 截距式为：x52y531. 11.(多
7、选题)下列命题不正确的是( ) A.过任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程可以写成yy1y2y1xx1x2x1 B.直线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则直线斜率为1 C.若直线的斜率为 1，则直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 0 D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为 1 答案 ABD 解析 当 x1x2或 y1y2时，直线方程不能写成yy1y2y1xx1x2x1，故 A 错误；当直线过原点时，在 x 轴和 y 轴上的截距相等，但斜率不一定为1，故 B 错误；设直线在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 yxb.令 y0，得直线在 x 轴上的
8、截距为 xb，于是 b(b)0，故 C 正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为 1，故 D 错误. 12.两条直线 l1：xayb1 和 l2：xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是( ) 答案 A 解析 将两方程化为截距式 l1：xayb1，l2：xbya1. 假定 l1的位置，判断 a，b 的正负，从而确定 l2的位置，知 A 项符合. 13.已知 A(3，0)，B(0，4)，直线 AB 上有一动点 P(x，y)，求 xy 的最大值. 解 由直线方程的截距式知直线 AB 的方程为x3y41， 设 P(x，y)，则 x334y， xy3y34y234(y24y)
9、34(y2)243， 当且仅当 y2 时“”成立， 即当 P 点坐标为32，2 时，xy 取得最大值 3. 14.一河流同侧有两个村庄 A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知 A， B 两村到河边的垂直距离分别为 300 m 和 700 m， 且两村相距 500 m， 问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 解 如图，以河流所在直线为 x 轴，y 轴通过点 A，建立直角坐标系， 则点 A(0， 300)， B(x， 700)， 设 B 点在 y 轴上的射影为 H， 则 x|BH| |AB|2|AH|2300，故点 B(300，700)， 设点 A 关于 x 轴的对称点 A(0，300)，则直线 AB 的斜率 k103，直线 AB 的方程为 y103x300. 令 y0 得 x90，得点 P(90，0)， 故水电站建在河边 P(90，0)处电线用料最省.