1、2.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 一、选择题 1.直线 x1 的倾斜角是( ) A.0 B.45 C.90 D.不存在 答案 C 解析 直线 x1 与 x 轴垂直，故倾斜角为 90 . 2.如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则( ) A.k1k3k2 B.k3k1k2 C.k1k2k3 D.k3k2k1 答案 A 解析 设直线 l1，l2，l3的倾斜角分别为 1，2，3，则由图知 0 32901180 ，tan 10，tan 2tan 30，即 k10，k2k30，故选 A. 3.若过点 A(a，1)和 B(2，a)的
2、直线的斜率为12，则 a 的值为( ) A.4 B.0 C.4 D.1 答案 B 解析 kABa12a12，解得 a0. 4.下列各组中，能构成三角形的三个顶点为( ) A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(1，4)，(2，1)，(2，5) C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，1)，(3，3)，(5，7) 答案 C 解析 A，B，D 三个选项中三点均共线. 5.已知点 A(a，2)，B(3，b1)，且直线 AB 的倾斜角为 90 ，则( ) A.a3，b1 B.a2，b2 C.a2，b3 D.a3，bR 且 b1 答案 D 解析 A(a，2)，B(3，b1)，且直线
3、AB 的倾斜角为 90 ， a3，2b1，即a3，b1，即 a3，bR 且 b1. 二、填空题 6.斜率为 2 的直线过(3，5)，(a，7)，(1，b)三点，则 ab_. 答案 1 解析 由题意，得 275a3b513， a4，b3，ab1. 7.已知点 A(1，2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 135 ，则点 P的坐标为_. 答案 (3，0)或(0，3) 解析 由题意知， kPA1.若点 P 在 x 轴上， 则设 P(m， 0)(m1)， 则02m11，解得 m3；若点 P 在 y 轴上，则设 P(0，n)，则n2011，解得 n3.故点 P 的坐标为(3，0)或(0
4、，3). 8.若经过点 A(1t，1t)和点 B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数 t 的取值范围是_. 答案 (2，1) 解析 由题意知，kAB2t（1t）3（1t）t1t2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以 kABt1t20， 解得2t1. 三、解答题 9.已知交于点 M(8，6)的四条直线 l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为 1234，又知 l2过点 N(5，3)，求这四条直线的倾斜角. 解 因为 kMN63851，所以 l2的倾斜角为 45 ， 又 l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为 1234， 故这四条直线的倾斜角分别为 22.5 ，45 ，67.5 ，90 . 10.已知坐
5、标平面内三点 P(3，1)，M(6，2)，N( 3， 3)，直线 l 过点 P.若直线 l 与线段 MN 相交，求直线 l 的倾斜角的取值范围. 解 如图所示，考虑临界状态，令直线 PM 的倾斜角为 1，直线 PN 的倾斜角为 2， 由题意知， tan 12（1）631， tan 23（1） 3333， 又 0 1180 ，0 2180 ， 故直线 PM 的倾斜角为 45 ，直线 PN 的倾斜角为 150 . 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线 l 的倾斜角 的取值范围是|45 150 . 11.直线 l 过点 A(1，2)，且不过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的最大值是( )
6、A.0 B.1 C.12 D.2 答案 D 解析 如图， kOA2， kl0， 只有当直线落在图中所示位置时才符合题意， 故 k0，2.故直线 l 的斜率 k 的最大值为 2. 12.(多选题)一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴正方向所成的角为(0 90 )，则其倾斜角可以为( ) A. B.90 C.90 D.180 答案 BC 解析 如图所示，当 l 向上的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90 ；当 l 向上的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90 . 13.已知 A(1，1)，B(1，1)，C(2， 31)， (1)求直线 AB 和 AC 的斜率； (2)若点 D 在线段
7、 AB(包括端点)上移动时，求直线 CD 的斜率的变化范围. 解 (1)由斜率公式得 kAB111（1）0，kAC3112（1）33. (2)如图所示. kBC31121 3. 设直线 CD 的斜率为 k，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕 C 点旋转，当直线 CD 由CA 逆时针方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA增大到 kCB，所以 k 的取值范围为33， 3 . 14.如图所示，菱形 OBCD 的顶点 O 与坐标原点重合，一边在 x 轴的正半轴上，已知BOD60 ，求菱形 OBCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解 在菱形 OBCD 中，ODBC，BOD60 ， 所以直线 OD，BC 的倾斜角相等，都为 60 ，所以斜率 kODkBCtan 60 3； CDOB，且 OB 在 x 轴上，所以直线 OB，CD 的倾斜角相等，都为 0 ，所以斜率 kOBkCD0； 由菱形的性质知，COB1260 30 ，OBD60 ， 所以直线 OC，BD 的倾斜角分别为 30 ，120 ， 所以两对角线的斜率分别为 kOCtan 30 33，kBDtan 120 3.