1、1010. .2 2 事件的相互独立性事件的相互独立性 基础达标 一、选择题 1.一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件 A1与A2是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 解析 由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件 A1与A2是相互独立事件. 答案 A 2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率
2、为( ) A.19 B.16 C.13 D.718 解析 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件 A，B，C，则 P(A)13，P(B)12，P(C)23. 停车一次即为事件ABCABCABC， 故概率为 p113122313112231312123718. 答案 D 3.同时转动如图所示的两个转盘， 记转盘甲得到的数为 x， 转盘乙得到的数为 y，x，y 构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足 xy4 的概率为( ) A.116 B.18 C.316 D.14 解析 满足 xy4 的所有可能如下： x1，y4；x2，y2；x4，y1. 所求事件的概率 pP(x1，y4)P(x2，y2)
3、P(x4，y1)141414141414316. 答案 C 4.从甲袋中摸出 1 个白球的概率为13，从乙袋内摸出 1 个白球的概率是12，从两个袋内各摸 1 个球，那么概率为56的事件是( ) A.2 个球都是白球 B.2 个球都不是白球 C.2 个球不都是白球 D.2 个球恰好有 1 个白球 解析 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立， 故两个球都是白球的概率为 p1131216， 两个球不都是白球的概率为 p1p156. 答案 C 5.在如图所示的电路图中，开关 a，b，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A.18 B.38 C.14 D.78
4、 解析 设开关 a， b， c 闭合的事件分别为 A， B， C， 则灯亮这一事件 EABCABCABC，且 A，B，C 相互独立， ABC，ABC，ABC 互斥，所以 P(E)P(ABC)(ABC)(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 1212121212112121121238. 答案 B 二、填空题 6.甲、乙两人独立地求解同一问题，甲解出这个问题的概率是 p1，乙解出这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解出这个问题的概率是_. 解析 恰好有 1 人解出可分为甲解出乙没解出、甲没解出乙解出，这两个事
5、件显然是互斥的，所以恰好有 1 人解出这个问题的概率为 p1(1p2)p2(1p1). 答案 p1(1p2)p2(1p1) 7.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为 0.4，乙胜丙的概率为 0.5，丙胜甲的概率为 0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为_. 解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，概率p(10.4)0.5(10.4)0.50.09. 答案 0.09 8.国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影
6、响， 那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_. 解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件 A，B，C，则 A，B，C 相互独立且 P(A)13，P(B)14，P(C)15，至少有 1 人去北京旅游的概率为： 1P(A B C )1P(A) P(B) P(C)111311411512535. 答案 35 三、解答题 9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重拨，试求下列事件的概率： (1)第 3 次拨号才接通电话； (2)拨号不超过 3 次而接通电话. 解 设 Ai第 i 次拨号接通电话，i1，2，3. (1)第 3 次才接通电话可表示
7、为A1 A2A3， 于是所求概率为 P(A1 A2A3)9108918110； (2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为 A1A1A2A1 A2A3， 由于事件 A1， A1A2，A1A2A3两两互斥， 于是所求概率为 P(A1A1A2A1 A2A3) P(A1)P(A1A2)P(A1 A2A3)110910199108918310. 10.甲、 乙、 丙三人各自向同一飞机射击， 设击中飞机的概率分别为 0.4， 0.5， 0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是 0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是 0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率. 解 设甲、乙
8、、丙三人击中飞机的事件分别为 A，B，C，依题意知，A，B，C相互独立，故所求概率为 pP(AB C )P(ABC)P(A B C)0.2P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.6P(ABC)(0.40.50.20.60.50.20.60.50.8)0.2(0.40.50.20.40.50.80.60.50.8)0.60.40.50.80.492. 能力提升 11.甲盒中有 200 个螺杆，其中有 160 个 A 型的，乙盒中有 240 个螺母，其中有180 个 A 型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成 A 型螺栓的概率为( ) A.120 B.1516 C.35 D.1920 解析
9、 设“从甲盒中任取一螺杆为 A 型螺杆”为事件 M，“从乙盒中任取一螺母为 A 型螺母”为事件 N， 则 M 与 N 相互独立， P(M)16020045， P(N)18024034，则从甲、 乙两盒中各任取一个， 恰好可配成 A 型螺栓的概率为 P(MN)P(M)P(N)453435.故选 C. 答案 C 12.如图所示，用 A，B，C，D 四种不同的元件分别连接成两个系统 M，N.当元件 A， B 都正常工作或元件 C 正常工作或元件 D 正常工作时， 系统 M 正常工作；当元件 A，B 都正常工作或元件 B，D 都正常工作或元件 C 正常工作时，系统 N正常工作.已知 A，B，C，D 四
10、种元件正常工作的概率分别为 0.5，0.9，0.7，0.8，且各元件是否正常工作是彼此独立的.试从能否正常工作的角度判断两个系统中哪一个的连接方式更为合理. 解 由题意知，元件 A 正常工作的概率为 p10.5，元件 B 正常工作的概率 p20.9，元件 C 正常工作的概率 p30.7，元件 D 正常工作的概率 p40.8， 则系统 M 正常工作的概率为 1(1p1p2)(1p3)(1p4)1(10.50.9)(10.7)(10.8)10.0330.967， 系统 N 正常工作的概率为 111(1p1)(1p4) p2 (1p3)11(10.50.2)0.90.310.0570.943. 因为
11、 0.9670.943，所以系统 M 的连接方式更为合理. 创新猜想 13.(多空题)两人打靶，甲击中的概率为 0.8，乙击中的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是_，他们都不中靶的概率为_. 解析 利用 P(AB)P(A)P(B)得 P(AB)0.80.70.56，P(AB)P(A)P(B)(10.8)(10.7)0.06. 答案 0.56 0.06 14.(多空题)事件 A，B，C 相互独立，如果 P(AB)16，P(BC)18，P(ABC)18，则 P(B)_，P(AB)_. 解析 P(ABC)P(AB)P(C)16P(C)18， P(C)34，即 P(C)14. 又 P(BC)P(B) P(C)18， P(B)12，P(B)12. 又 P(AB)16， 则 P(A)13， P(AB)P(A) P(B)1131213. 答案 12 13