1、10.1.210.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 基础达标 一、选择题 1.抽查 10 件产品，设事件 A：至少有两件次品，则与事件 A 互斥的事件为( ) A.恰有两件次品 B.恰有一件次品 C.恰有两件正品 D.至少有两件正品 解析 事件“恰有一件次品”与事件 A 不会同时发生，故选 B. 答案 B 2.给出事件 A 与 B 的关系示意图，如图所示，则( ) A.AB B.AB C.A 与 B 互斥 D.A 与 B 互为对立事件 解析 由互斥事件的定义知 C 正确. 答案 C 3.一箱产品有正品 4 件、次品 3 件，从中任取 2 件，有如下事件： “恰有 1 件次品”和“2 件
2、都是次品”； “至少有 1 件次品”和“都是次品”； “至少有 1 件正品”和“至少有 1 件次品”； “至少有 1 件次品”和“都是正品”. 其中互斥事件有( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 解析 对于，“恰有 1 件次品”就是“1 件正品，1 件次品”，与“2 件都是次品”显然是互斥事件； 对于， “至少有 1 件次品”包括“恰有 1 件次品”和“2 件都是次品”， 与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于， “至少有 1 件正品”包括“恰有 1 件正品”和“2 件都是正品”， 与“至少有 1 件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对
3、于“至少有 1 件次品”包括“恰有 1 件次品”和“2 件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故是互斥事件. 答案 B 4.从 1，2，9 中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中是对立事件的是( ) A. B. C. D. 解析 从 1，2，9 中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2).故选 C. 答案 C 5.把电影院的 4 张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 人，每人分
4、得 1 张，事件“甲分得 4 排 1 号”与事件“乙分得 4 排 1 号”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件 D.以上答案都不对 解析 “甲分得 4 排 1 号”与“乙分得 4 排 1 号”是互斥事件. 答案 C 二、填空题 6.打靶 3 次，事件 Ai表示“击中 i 次”，其中 i0，1，2，3.那么 AA1A2A3表示_. 解析 A1A2A3所表示的含义是 A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中 1 次、2 次或 3 次. 答案 至少有一次击中 7.抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件 C 为
5、“落地时向上的点数是 2 或 4 的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是_. 解析 A 与 C 互斥但不对立. 答案 A 与 C 8.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有_(填序号). 恰有 1 名男生和全是男生； 至少有一名男生和至少有一名女生； 至少有一名男生和全是男生； 至少有一名男生和全是女生. 解析 是互斥事件， 恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件，至少有一名男生与全是女生不可能同时发生. 答案 三、解答题 9.某城市有甲，乙两种报
6、纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸” ，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C； (2)B 与 D； (3)B 与 C； (4)C 与 D. 解 事件A为“只订甲报纸”； 事件B“至少订一种报纸”包括“只订甲报纸”，“只订乙报纸”和“订甲乙两种报纸”； 事件 C“至多订一种报纸”包括“一种报纸也不订”，“只订甲报纸”和“只订乙报纸”；事件 D 为“一种报纸也不订”. (1)事件 C 包含事件 A，所以不是互斥事件； (2)B 与 D 既是互斥事件，
7、也是对立事件； (3)事件 B 和事件 C 可以同时发生，所以不是互斥事件； (4)事件 C 包含事件 D，所以不是互斥事件. 10.设某人向一个目标射击 3 次，用事件 Ai表示随机事件“第 i 次射击击中目标”(i1，2，3)，指出下列事件的含义： (1)A1A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2； (4)A1A2A3. 解 (1)A1A2表示第 1 次和第 2 次射击都击中目标. (2)A1A2A3表示第 1 次和第 2 次射击都击中目标，而第 3 次没有击中目标. (3)A1A2表示第 1 次和第 2 次都没击中目标. (4)A1A2A3表示三次都没击中目标. 能力提升 11.同
8、时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是 5 点且不是 6 点”的对立事件为( ) A.一个是 5 点，另一个是 6 点 B.一个是 5 点，另一个是 4 点 C.至少有一个是 5 点或 6 点 D.至多有一个是 5 点或 6 点 解析 同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有 36 个，“都不是 5 点且不是 6 点”包含 16 个，其对立事件是“至少有一个是 5 点或 6 点”. 答案 C 12.连续抛掷一枚均匀的骰子 2 次，观察每次出现的点数，事件 A 表示随机事件“第一次掷出 1 点”，事件 Aj表示随机事件“第一次掷出 1 点，第二次掷出 j点”，事件 B 表示随机事件“2 次掷出的点数
9、之和为 6”，事件 C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大 3”. (1)试用样本点表示事件 AB 与 AB； (2)试判断事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否为互斥事件； (3)试用事件 Aj表示随机事件 A. 解 试验的样本空间为 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)
10、，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). (1)因为事件 A 表示随机事件“第一次掷出 1 点”， 所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即 A(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1， 4)， (1， 5)， (1， 6)， 因为事件 B 表示随机事件“2 次掷出的点数之和为 6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即 B(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1).所以 AB(1，5)，AB(1，1)，(1，2)，(1，3)，(
11、1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1). (2)因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大 3”， 所以 C(1，4)，(2，5)，(3，6).因为 AB(1，5)，AC(1，4)，BC，所以事件 A 与事件 B，事件 A 与事件 C 都不是互斥事件，事件 B 与事件 C 是互斥事件. (3)因为事件 Aj表示随机事件“第一次掷出 1 点，第二次掷出 j 点”，所以 A1(1，1)，A2(1，2)，A3(1，3)，A4(1，4)，A5(1，5)，A6(1，6)，所以 AA1A2A3A4A5A6. 创新猜想 13.(多选题)下列各组事件中是互
12、斥事件的是( ) A.一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分 C.播种 100 粒菜籽，发芽 90 粒与发芽 80 粒 D.检验某种产品，合格率高于 70%与合格率低于 70% 解析 对于 A，一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6，不可能同时发生，故 A 中两事件为互斥事件；对于 B，设事件 A1为平均分不低于90 分，事件 A2为平均分不高于 90 分，则 A1A2为平均分等于 90 分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于 C，播种菜籽 100 粒，发芽 90 粒与发芽 80 粒，不可能同时发生，故 C 中两事件为互斥事件；对于 D，检验某种产品，合格率高于 70%与合格率低于 70%，不可能同时发生，故 D 中两事件为互斥事件. 答案 ACD 14.(多空题)掷一枚骰子， 记A为事件“落地时向上的点数是奇数”， B为事件“落地时向上的点数是偶数” ， C 为事件“落地时向上的点数是 3 的倍数”.其中是互斥事件的是_，是对立事件的是_. 解析 A，B 既是互斥事件，也是对立事件；A 与 C、B 与 C 都不是互斥事件. 答案 A，B A，B