1、10.1.3 古典概型古典概型 A 级基础过关练 1(多选)下列是古典概型的是( ) A从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B同时掷两颗骰子，点数和为 7 的概率 C近三天中有一天降雨的概率 D10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 2五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为( ) A12 B13 C14 D15 3从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、
2、乙都当选的概率为( ) A25 B15 C310 D35 42021 年起，广东省高考将实行“312”新高考“3”是统一高考的语文、数学和英语三门； “1”是选择性考试科目， 由考生在物理、 历史两门中选一门； “2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“12”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( ) A14 B13 C12 D23 5 某部三册的小说， 任意排放在书架的同一层上， 则各册从左到右或从右到左恰好为第 1，2，3 册的概率为( ) A16 B13 C12 D23 6定义：abcde10 000a1 000b100c1
3、0de，当五位数 abcde 满足 abde时，称这个五位数为“凸数”由 1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的五位数共 120 个，若从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( ) A16 B110 C112 D120 7某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为_ 8在某学校图书馆的书架上随意放着编号为 1，2，3，4，5 的五本书，若某同学从中任意选出 2 本书，则选出的 2 本书编号相连的概率为_ 9将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，并分别记为 x，y. (1)若记“xy5”
4、为事件 A，求事件 A 发生的概率； (2)若记“x2y210”为事件 B，求事件 B 发生的概率 10 某地区高考实行新方案， 规定： 语文、 数学和英语是考生的必考科目， 考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定 某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向， 随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 5 人 5 5 2 1 2 0 选考方案待确定
5、的有 7 人 6 4 3 2 4 2 女生 选考方案确定的有 6 人 3 5 2 3 3 2 选考方案待确定的有 2 人 1 2 1 0 1 1 (1)在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？ (2)从选考方案确定的男生中任选 2 名，试求出这 2 名学生选考科目完全相同的概率 B 级能力提升练 11有一列数由奇数组成：1，3，5，7，9，现在进行如下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有 2 个数为 3，5，第三组有 3 个数为 7，9，11，依此类推，则从第 10 组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为( ) A110 B310 C15 D35 12从 1，2，
6、3，4 中任取两个不同的数，则取出两个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A12 B13 C14 D16 13已知集合 A2，1，12，13，12，1，2，3 ，任取一个数 kA，则幂函数 f(x)xk为偶函数的概率为_ 14将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是 10 的概率为_，向上的点数之和不小于 10 的概率为_ 15设 a 是从集合1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合1，2，3中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)记“这些样本点中，满足 logba1”为事件 E，则 E 发生的概率是_ 16某校从高二甲、乙两班各选出 3 名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选
7、出了 2 名男同学、1 名女同学，从高二乙班选出了 1 名男同学、2 名女同学 (1)若从这 6 名同学中抽出 2 名进行活动发言， 写出所有可能的结果， 并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率； (2)若从高二甲班和乙班各选 1 名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名同学性别相同的概率 17在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有 4 个小球，小球上分别写有 0，1，2，3 的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回若取出的两个小球上数
8、字之积大于 4，则奖励飞机玩具一个；若取出的两个小球上数字之积在区间1，4上，则奖励汽车玩具一个；若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶 (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率； (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大？请说明理由 C 级探索创新练 18某学校有 40 名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第 1 组75，80)，第 2 组80，85)，第 3 组85，90)，第 4 组90，95)，第 5 组95，100，得到频率分布直方图如图所示 (1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的
9、数据用该组区间的中点值作代表)； (2)用分层抽样的方法从成绩在第 3，4，5 组的高中生中抽 6 名组成一个小组，若从 6 人中随机选 2 人担任小组负责人，求这 2 人来自第 3，4 组各 1 人的概率 参考答案 A 级基础过关练 1 【答案】ABD 【解析】A，B，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C 不适合等可能性，故不为古典概型故选 ABD 2 【答案】A 【解析】 金、 木、 水、 火、 土彼此之间存在的相生相克的关系 从 5 类元素中任选 2 类元素，基本事件总数 n10， 2 类元素相生包含的基本事件有 5 个， 则 2 类元素相生的概率 p51
10、012.故选 A 3 【答案】C 【解析】从五个人中选取三人有 10 种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有 3 种，故所求的概率为310.故选 C 4 【答案】A 【解析】基本事件总数 n12，某考生自主选择的“12”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到包含的基本事件个数 m3，历史和政治均被选择到的概率 pmn31214.故选 A 5 【答案】B 【解析】所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，
11、(3，1，2)，(3，2，1)其中从左到右或从右到左恰好为第 1，2，3 册包含 2 个样本点，所以 p2613.故选 B 6 【答案】D 【解析】 由题意， 由 1， 2， 3， 4， 5 组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有： 12543，13542，14532，23541，24531，34521，共 6 个样本点，所以恰好为“凸数”的概率 p6120120.故选 D 7 【答案】34 【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为 16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为 4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率 p141634. 8 【答案】25 【解析】从五本
12、书中任意选出 2 本书的所有可能情况为(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共 10 种，满足 2 本书编号相连的所有可能情况为(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共 4 种，故选出的 2 本书编号相连的概率为41025. 9解：将一颗质地均匀的骰子抛掷 1 次，它的点数有 1、2、3、4、5、6 这 6 种结果，抛掷第 2 次，它的点数有 1、2、3、4、5、6 这 6 种结果，因为骰子共抛掷 2 次，所以共有 36种结果 (1)事件 A 发生的样本点有(1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1)共
13、4 种结果，所以事件 A 发生的概率为 P(A)43619. (2)事件 B 发生的样本点有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共 6 种结果，所以事件 B 发生的概率为 P(B)63616. 10解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数是2. (2)由统计表可知，已确定选考科目 5 名男生中，有 2 人选择物理、化学和生物，记为 a1，a2，有 1 人选择物理、化学和历史，记为 b，有 2 人选择物理、化学和地理，记为 c1，c2.从已确定选考科目的男生中任选 2 人，有 10 种选法，分别为：a1a2，a1b，a1c1，
14、a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2，两名学生选考科目完全相同的有 2 种选法，分别为：a1a2，c1c2，设事件 A 为“从已确定选考科目的男生中任选出 2 人，这两名学生选考科目完全相同”，则 P(A)21015. B 级能力提升练 11 【答案】B 【解析】由已知可得前九组共有 123945 个奇数，则第 10 组第一个数为 452191，第 10 组有 10 个数分别为 91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰为 3 的倍数的数为 93，99，105.故所求概率 p310.故选 B 12 【答案】B 【解析】从 1，2，3，
15、4 中任取两个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共 6 种不同的结果，取出的 2 个数之差的绝对值为 2 有(1，3)，(2，4)共 2 种结果，故取出两个数之差的绝对值为 2 的概率 p2613.故选 B 13 【答案】14 【解析】集合 A2，1，12，13，12，1，2，3 ，任取一个数 kA，基本事件总数 n8， 【答案】112 16 【解析】将两骰子投掷一次，共有 36 种情况向上的点数之和为 10 的情况有(4，6)，(5，5)，(6，4)共 3 种，故概率 p1336112；向上的点数之和不小于 10 的情况有(4，6)，(5，5)
16、，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共 6 种，故概率 p263616. 15 【答案】512 【解析】事件 E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有 12 种结果，满足条件的样本点是满足 logba1，可以列举出所有的样本点，当 b2 时，a2，3，4；当 b3 时，a3，4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3212512. 16解：(1)设选出的 3 名高二甲班同学为 A，B，C，其中 A 为女同学，B，C 为男同学，选出的 3 名高二乙班同学为 D，E，F，其中 D 为男同学，E，F 为女同学从这 6 名同学中抽出 2 人的所有可能结果有(A，B)，(A，C
17、)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种 其中高二甲班女同学、 高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A， B)， (A， C)， (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F)，共 9 种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率 p91535. (2)高二甲班和乙班各选 1 名的所有可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共 9
18、 种，选出的 2 名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共 4 种，所以选出的 2 名同学性别相同的概率为49. 17解：样本空间 (0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共 16 个 (1)记“获得飞机玩具”为事件 A，事件 A 包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)共 3 个 故每对亲子获得飞机玩具的概率为 P(A)316. (2)记“获得汽车玩具”为事件 B，“获得饮料”为事件 C 事件 B 包含的样本
19、点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共 6 个，所以 P(B)61638.事件 C 包含的样本点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(2，0)，(3，0)共7个， 所以P(C)716.所以P(B)P(C)， 即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率 C 级探索创新练 18解：(1)因为(0.010.070.06x0.02)51， 所以 x0.04. 所以成绩的平均值为 0.05758020.35808520.30859020.20909520.1095100287.25. (2)第 3 组学生人数为 0.304012，第 4 组学生人数为 0.20408，第 5 组学生人数为0.10404，所以抽取的 6 人中第 3，4，5 组的人数分别为 3，2，1. 第 3 组的 3 人分别记为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 人分别记为 B1，B2，第 5 组的 1 人记为 C，则从中选出 2 人的基本事件为共 15 个， 记“从这 6 人中随机选出 2 人担任小组负责人，这 2 人来自第 3，4 组各 1 人”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共 6 个， 所以 P(M)61525.