1、10.210.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 1掷一枚骰子一次，设事件 A：“掷出偶数点”，事件 B：“掷出 3 点或 6 点”，则事件 A，B 的关系是( ) A互斥但不相互独立 B相互独立但不互斥 C互斥且相互独立 D既不相互独立也不互斥 答案 B 解析 事件 A2,4,6， 事件 B3,6， 事件 AB6， 样本空间 1,2,3,4,5,6， 所以 P(A)3612，P(B)2613，P(AB)161213，即 P(AB)P(A)P(B)，因此事件 A 与 B 相互独立当“掷出 6 点”时，事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件 2 某射击运动员每次射击命中目标的概率都
2、为 0.9， 则他连续射击两次都命中的概率是( ) A0.64 B0.56 C0.81 D0.99 答案 C 解析 Ai表示“第 i 次击中目标”，i1,2， 则 P(A1A2)P(A1)P(A2)0.90.90.81. 3甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( ) A0.12 B0.42 C0.46 D0.88 答案 D 解析 设“甲被录取”记为事件 A，“乙被录取”记为事件 B，则两人至少有一人被录取的概率 P1P( A B )11P(A)1P(B)10.40.30.88. 4从甲袋中摸出
3、1 个红球的概率是13，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是12，从两袋中各摸出 1个球，则23可能是( ) A2 个球不都是红球的概率 B2 个球都是红球的概率 C至少有 1 个红球的概率 D2 个球中恰有 1 个红球的概率 答案 C 解析 记 4 个选项中的事件分别为 A，B，C，D，则： P(A)1131256， P(B)131216， P(C)111211323， P(D)131121131212. 5(多选)下列各对事件中，M，N 是相互独立事件的有( ) A掷 1 枚质地均匀的骰子一次，事件 M“出现的点数为奇数”，事件 N“出现的点数为偶数” B袋中有 5 个白球，5 个黄球，除颜色
4、外完全相同，依次不放回地摸两次，事件 M“第 1次摸到白球”，事件 N“第 2 次摸到白球” C分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M“第 1 枚为正面”，事件 N“两枚结果相同” D一枚硬币掷两次，事件 M“第一次为正面”，事件 N“第二次为反面” 答案 CD 解析 在 A 中，M，N 是互斥事件，不相互独立；在 B 中，M，N 不是相互独立事件；在 C中，P(M)12，P(N)12，P(MN)14，P(MN)P(M)P(N)，因此 M，N 是相互独立事件；在 D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此 M，N 是相互独立事件故选 C，D. 6某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次
5、罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为_ 答案 35 解析 设此队员每次罚球的命中率为 P， 则 1P21625，所以 P35. 7 在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型， 在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型 若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A 型螺栓的概率为_ 答案 35 解析 从甲盒内取一个 A 型螺杆记为事件 M，从乙盒内取一个 A 型螺母记为事件 N，因为事件 M，N 相互独立，所以能配成 A 型螺栓(即一个 A 型螺杆与一个 A 型螺母)的概率为 P(MN)P(M)P(N)16020018024035. 8两人打靶，甲中靶
6、的概率为 0.8，乙中靶的概率为 0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是_，它们都不中靶的概率为_ 答案 0.56 0.06 解析 设 A“甲中靶”， B“乙中靶”， A 与 B 相互独立， 利用 P(AB)P(A)P(B)得 P(AB)0.80.70.56，P( A B )P( A )P( B )(10.8)(10.7)0.06. 9设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购
7、买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率 解 记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”，则 P(A)0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)0.6； 记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种” (1)易知 CAB，则 P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3. (2)易知 D(A B )( A B)，则 P(
8、D)P(A B )P( A B)P(A)P( B )P( A )P(B)0.50.40.50.60.5. (3)易知 E A B ，则 P( E )P( A B )P( A )P( B )0.50.40.2.故 P(E)1P( E )0.8. 10为应对金融危机，刺激消费，某市给市民发放面额为 100 元的旅游消费券，由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如下表： 200 元 300 元 400 元 500 元 老年 0.4 0.3 0.2 0.1 中年 0.3 0.4 0.2 0.1 青年 0.3 0.3 0.2 0.2 某天恰好有持有这种消费券的老年人、
9、中年人、青年人各一人到该旅游景点 (1)求这三人恰有两人的消费额不少于 300 元的概率； (2)求这三人的消费总额大于或等于 1 300 元的概率 解 (1)设三人中恰有两人的消费额不少于 300 元的概率为 P1， 则 P1(0.7)20.420.30.70.60.448. (2)消费总额为 1 500 元的概率是 0.10.10.20.002， 消费总额为 1 400 元的概率是(0.1)20.22(0.2)20.10.010， 消费总额为 1 300 元的概率是(0.1)20.30.30.10.20.10.40.20.2320.220.10.033， 所以消费总额大于或等于 1 300
10、 元的概率是 0.045. 11.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘， 记转盘甲得到的数为 x， 转盘乙得到的数为 y(若指针停在边界上则重新转)，x，y 构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足 xy4 的概率为( ) A.116 B.18 C.316 D.14 答案 C 解析 满足 xy4 的所有可能如下： x1，y4；x2，y2；x4，y1. 所求事件的概率为 PP(x1，y4)P(x2，y2)P(x4，y1) 141414141414316. 12设两个相互独立事件 A 和 B 都不发生的概率为19，A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且A 不发生的概率相同，则事件 A
11、发生的概率 P(A)等于( ) A.29 B.118 C.13 D.23 答案 D 解析 由题意知，P( A ) P( B )19， P( A ) P(B)P(A) P( B ) 设 P(A)x，P(B)y， 则 1x1y19，1xyx1y，即 1xyxy19，xy. x22x119，x113，或 x113(舍去)， x23. 13.如图， 已知电路中 4 个开关每个闭合的概率都是12， 且是相互独立的， 则灯亮的概率为( ) A.316 B.34 C.1316 D.14 答案 C 解析 灯不亮包括四个开关都断开，或下边的 2 个都断开且上边的 2 个中有一个断开，这两种情况是互斥的，每一种情
12、况中的事件是相互独立的， 灯不亮的概率为121212121212121212121212316. 灯亮与不亮是对立事件，灯亮的概率是 13161316. 14某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出 2 个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为_ 答案 0.128 解析 由已知条件知， 第 2 个问题答错， 第 3,4 个问题答对， 记“问题回答正确”事件为 A，则 P(A)0.8，故 PP(A A ) A AA1P(A) P(A) P(A)0.
13、128. 15(多选)如图所示的电路中，5 只箱子表示保险匣，设 5 个盒子分别被断开为事件 A，B，C，D，E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是( ) AA，B 两个盒子串联后畅通的概率为13 BD，E 两个盒子并联后畅通的概率为130 CA，B，C 三个盒子混联后畅通的概率为56 D当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936 答案 ACD 解析 由题意知，P(A)12，P(B)13，P(C)14，P(D)15，P(E)16，所以 A，B 两个盒子畅通的概率为122313， 因此 A 正确； D， E 两个盒子并联后畅通的概率为 1151611302930，因此 B
14、 错误；A，B，C 三个盒子混联后畅通的概率为 1231411656，C 正确；当开关合上时，电路畅通的概率为2930562936，D 正确故选 A，C，D. 16本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费， 超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算)有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所
15、付的租车费用之和为 4 元的概率 解 甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为 1141214，1121414. (1)租车费用相同可分为租车费用都为 0 元、2 元、4 元三种情况 都付 0 元的概率为 P1141218； 都付 2 元的概率为 P2121418； 都付 4 元的概率为 P31414116. 所以，甲、乙两人所付租车费用相同的概率为 PP1P2P3516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为 ，则 4 表示两人的租车费用之和为 4 元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为0 元，4 元；2 元，2 元；4 元，0 元 所以可得 P(4)141412141412516， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元的概率为516.