1、9 9. .1.21.2 分层随机抽样分层随机抽样 基础达标 一、选择题 1.在 100 个零件中，有一级品 20 个，二级品 30 个，三级品 50 个，从中抽取 20个作为样本. 方法 1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号 00，01，02，99，用抽签法抽取 20 个. 方法 2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取 4 个，从二级品中随机抽取 6 个，从三级品中随机抽取 10 个. 对于上述问题，下列说法正确的是( ) 不论采用哪种抽样方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15； 采用不同的方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同； 在上述两种
2、抽样方法中，方法 2 抽到的样本比方法 1 抽到的样本更能反映总体特征； 在上述抽样方法中，方法 1 抽到的样本比方法 2 抽到的样本更能反映总体的特征. A. B. C. D. 解析 根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是nN，故正确，错误.由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法 2 抽到的样本更有代表性，正确，错误.故正确. 答案 B 2.某校为了解高一学生的学习规划情况，在高一年级 6 个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.分层随机抽样 C.先用分层随机抽样
3、，再用随机数法 D.先用抽签法，再用分层随机抽样 解析 采用抽签法从 6 个班级中抽取两个班级，然后采用分层随机抽样的方法在所选的班级中按男女比例抽取样本，故 D 项正确. 答案 D 3.某商场有四类食品， 食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本， 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 A.7 B.6 C.5 D.4 解析 由已知可得抽样比为：204010302015， 抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(1020)156. 答案 B 4.当前
4、，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户.若第一批经济适用房中有 90 套住房用于解决这三个社区中低收入家庭的住房问题， 则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A.40 B.30 C.20 D.36 解析 由题意可知应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为 9036036027018040. 答案 A 5.在 1 000 个球中有红球 50 个，从中抽取 100 个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球( ) A.33 个 B.20 个 C.5 个 D.10 个 解析 设应抽红球
5、x 个，由1001 000 x50，则 x5. 答案 C 二、填空题 6.一支田径队有男、女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人.按男、女比例用分层随机抽样的方法， 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本， 那么应抽取女运动员的人数是_. 解析 抽取女运动员的人数为2898(9856)12. 答案 12 7.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 334，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取_名学生. 解析 高二年级学生人数占总数的310， 样本量为 50， 则应从高二年级抽取 5031015(名)学生. 答案 15 8.某
6、分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 第 1 层 45 4 第 2 层 35 8 此样本的平均数为_. 解析 454535435453585.75. 答案 5.75 三、解答题 9.一个单位有职工 500 人， 其中不到 35 岁的有 125 人， 35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁及 50 岁以上的有 95 人.为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标， 要从中抽取容量为 100 的样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层.按年龄将 500 名职工分成三层： 不到 35 岁的职工； 35 岁至 49 岁的职工；
7、50 岁及 50 岁以上的职工. (2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为10050015， 则在不到 35 岁的职工中抽取 1251525(人)； 在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 2801556(人)； 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽取 951519(人). (3)在各层分别用随机数法抽取样本. (4)汇总每层所抽取的个体，组成样本. 10.某高级中学共有学生 3 000 名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知从全校学生中随机抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的可能性是 0.18. (1)问高二年级有多少
8、名女生？ (2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取 300 名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？ 解 (1)由x3 0000.18 得 x540，所以高二年级有 540 名女生. (2)高三年级人数为：yz3 000(487513540560)900. 3003 00090090，故应从高三年级抽取 90 名学生. 能力提升 11.某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本， 已知从高中生中抽取 70人，则 n 为( ) A.100 B.150 C.200 D.250 解析 法一 由题意可得7
9、0n703 5001 500，解得 n100. 法二 由题意，抽样比为703 500150，总体的个体数为 3 5001 5005 000，故 n5 000150100. 答案 A 12.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占 42.5%，中年人占 47.5%，老年人占 10%；登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占 50%，中年人占 40%， 老年人占 10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为 200 的样本.试求： (1)游泳组中，
10、青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 解 (1)设登山组人数为 x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c， 则有x 40%3xb4x47.5%，x 10%3xc4x10%. 解得 b50%，c10%. 故 a150%10%40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为 40%，50%，10%. (2)游泳组中，抽取的青年人人数为 2003440%60； 抽取的中年人人数为 2003450%75； 抽取的老年人人数为 2003410%15. 创新猜想 13.(多选题)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1
11、200 辆，6 000 辆和 2 000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取 46 辆进行检验，则( ) A.应采用分层随机抽样抽取 B.应采用抽签法抽取 C.三种型号的轿车依次抽取 6 辆、30 辆、10 辆 D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 解析 由于总体按型号分为三部分，所以应采用分层随机抽样抽取，A 正确； 设三种型号的轿车依次抽取 x 辆、y 辆、z 辆， 则有x1 200y6 000z2 000，xyz46，解得x6，y30，z10. 所以三种型号的轿车依次抽取 6 辆、30 辆、10 辆，故 C 正确；由分层随机抽样的意义可知 D 也正确. 答案 ACD 14.(多空题)高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有 450 人，高二年级有 350 人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为 160 的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为 80 分和 90 分，则 (1)高一、高二抽取的样本量分别为_； (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为_分. 解析 (1)由题意可得高一年级抽取的样本量为16045035045090，高二年级抽取的样本量为16045035035070. (2)高一和高二数学竞赛的平均分约为909070807090709084.375(分). 答案 (1)90，70 (2)84.375