1、2021 年秋学期初中期中学情调查九年级数学试题年秋学期初中期中学情调查九年级数学试题 一、选择题一、选择题 1. 平面内，若O半径为 3，OP2，则点 P 在（ ） A. O 内 B. O 上 C. O 外 D. 以上都有可能 2. 若一元二次方程 x2+2x+a=0 有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a1 且 a0 D. a1且 a0 3. 如图，在O中，C=20 ，B=35 ，则A 等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 两个相似三角形面积比是 1：4，若小三角形的周长为 8cm，则另一个三角形的周长是（ ） A.
2、 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4 或 16cm 5. 如图， 已知O的半径为 10cm， 弦 AB的长为 16cm， P 是 AB 的延长线上一点， BP=4cm， 则 OP等于 （ ） A. 62cm B. 35cm C. 65cm D. 63cm 6. 如图，在VABC 中，ACB=90 ，以 AB上一点 O为圆心，OC为半径画弧交 BC于点 D，若 CD：DB=2：3，则 AO：OB 为（ ） A. 1：3 B. 1：4 C. 2：3 D. 2：5 二、填空题二、填空题 7. 在比例尺为 1：300000的地图上，量得 A、B两地的图上距离 AB=2cm，则 A、B 两
3、地的实际距离为_km 8. 若23ba，则abab的值为_ 9. 正八边形的中心角为_度 10. 一种药品经过两次降价，药价从每盒 126 元下调至 100元，设平均每次降价百分率为 x，根据题意，可列方程_ 11. 已知圆锥的母线长为 5cm，侧面展开图的圆心角为 72 ，则该圆锥的底面半径为_cm 12. 已知 O是 ABC 的内心，若A=50 ，则BOC=_. 13. 如图，在O中，直径 AB=4，C是O上一点，CAB=30 ，则BC的长为_ 14. 如图， 在扇形ABC中，90BAC，6AB， 若以点C为圆心，CA为半径画弧， 与BC交于点D，则图中阴影部分的面积和是_ 15. 如图，
4、在边长为 1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，VABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点 O为位似中心，画VA1B1C1，使VABC 与VA1B1C1的位似比为 2，则点 B 的对应点 B1的坐标是_ 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，8)，点 B(-3，4)，直线 l：y=kx，过点 A 作 AQl，垂足为点Q，连接 AB、QB，则VAQB面积的最大值为_ 三、解答题三、解答题 17. 解下列方程： （1） x2 =2x （2）x2-4x+1=0(用配方法求解) 18. 关于 x 的一元二次方程 x2-(k-3)x-2k+2=0 （1）求证：方程总有
5、两个实数根； （2）若方程的两根分别为 x1、x2，且 x1+x2=-6，求方程的两根 19. 如图， 小明用自制直角三角形纸板 DEF 测量水平地面上树 AB 的高度，已知两直角边 EF：DE=3： 4，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，DM垂直于地面，测得 AM=16m，边 DF离地面的距离为 1.5m，求树高 AB 20. 如图，在正方形 ABCD中，点 E、F 分别在 BC、CD上，CF=14CD请从下列两个信息：BE=CE，AEEF 中选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个正确命题，并给予证明 你选择的条件是 ，结论
6、是 (填写序号) 21. 如图，矩形 ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，点 P从 B 点以 1cm/s 的速度沿 BC向点 C移动 （1）当点 P出发几秒后，PA=PC； （2）当点 P出发几秒后，PA=2PD 22. 如图，VABC中，AD是高，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在 AB、AC上，QM 在 BC 上，AD交 PN 于点 E，BC=48，AD=16 （1）若 PN=18，求 DE长； （2）若矩形 PQMN的周长为 80，求矩形 PQMN 的面积 23. 某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为 30 元/只，根据市场调查发现，批发价定为 50 元/只时，每天可销售 400只，为增
7、大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低 1 元，每天销量可增加 40 只 （1） 写出养殖户每天的销量 y只与降价 x 元之间的函数关系 当降价 2 元时， 养殖户每天的利润为多少元？ （2）若养殖户每天的利润要达到 8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 24. 如图 1，在梯形 ABCD中，ADBC，BC=2AD，E为边 BC 的中点，请仅用无刻度的直尺作图： （1）作 BD的中点 F； （2）作 BE的中点 G； （3） 如图 2， BDE的中线 EF、 DG交于点 H， 若EGH的面积为 1， 则四边形 BGHF 的面积为 25. 如图，V
8、ABC是O的内接三角形，ACF=B，CF交 BA的延长线于点 F （1）求证：CF为O的切线； （2）若 FC=AB，求证：点 A 是 BF 的黄金分割点； （3）若 AF=1，CF=22，AC=5，求O的直径 26. 问题情境： 已知线段 BC=23，使用作图工具作BAC=30 ，尝试操作后思考： （1）VABC中，如果B=90 ，BAC=30 ，探索 AC与 BC的数量关系？ （2）让含 30 的三角板中 30 角的两边分别经过点 B、C，这时 30 角的顶点 A位置唯一吗？ （3）思考点 A 的位置有什么规律？你能用所学知识解释吗？ 某学习小组通过操作、观察、讨论后汇报如下： 如图 1，
9、作正VACD 的高 AB，易得 BC=12AC，即直角三角形中，30 角所对直角边等于斜边一半 30 角的顶点的位置不唯一，它在以 BC为弦的圆弧上(点 B、C除外)，小明同学画出了符合要求的一条圆弧(如图 2) 理解应用：小明同学结合上述情况提出了下列问题，请你帮助解决： （1）若该弧的圆心为 O，则 BO 长为 （2）如图 3，已知线段 BC和直线 l，用直尺和圆规在直线 l上作出所有的点 P，使BPC=30 ，保留作图痕迹 （3）如图 4，已知矩形 ABCD，BC=23，AB=m，P为 AD 边上的点，BPC=60 求 m的范围 点 N在 CD上，BNC=60 ，连接 BN、PN，当VB
10、PN面积最大时，求 m 的值 2021 年秋学期初中期中学情调查九年级数学试题年秋学期初中期中学情调查九年级数学试题 一、选择题一、选择题 1. 平面内，若O 的半径为 3，OP2，则点 P 在（ ） A. O 内 B. O 上 C. O 外 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】 要确定点与圆的位置关系， 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系； 点与圆心的距离 dr 时，点在圆外；当 d=r时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内 【详解】OP3， 点 P 在O内部 故选 A 【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断解题关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当dr时，点
11、在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr时，点在圆内 2. 若一元二次方程 x2+2x+a=0 有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a1 且 a0 D. a0bac ，即可求出 a 的取值范围 【详解】解：一元二次方程 x2+2x+a=0有两个不相等的实数根， 22424 10baca ， 解得：a1 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式当240bac时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当240bac时，一元二次方程有两个相等的实数根；当240bac时，一元二次方程没有实数根 3. 如图，
12、在O中，C=20 ，B=35 ，则A 等于（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由题意AOB2C，则AOB40，根据A+AOB B+C，即可解答. 【详解】解：AOB2C，C=20 AOB40， 由题意A+AOBB+C， 403520A 15A ， 故选 B 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理 4. 两个相似三角形面积比是 1：4，若小三角形的周长为 8cm，则另一个三角形的周长是（ ） A. 32cm B. 4cm C. 16cm D. 4或 16cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性
13、质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解 【详解】解：设另一个三角形的周长为 x，则18:4x , 解得：x=16 故选：C 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解 （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 5. 如图， 已知O的半径为 10cm， 弦 AB的长为 16cm， P 是 AB 的延长线上一点， BP=4cm， 则 OP等于 （ ） A. 62cm B. 35cm C. 65cm D. 63cm 【答案】C 【解析】 【分析】过 O 作
14、OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC、BC，根据勾股定理求出 OC，根据勾股定理求出OP 即可 【详解】解：过 O 作 OCAB于 C， 则OCPACO90 ， OCAB，OC 过 O， ACBC12AB12 16cm8cm， BP4cm， PCBC+BP12cm， 在 RtACO 中，由勾股定理得：OC22OAAC221086（cm） ， 在 RtPCO 中，由勾股定理得：OP22PCOC2212665（cm） ， 故选 C 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦 6. 如图，在VABC 中，ACB=90 ，以 A
15、B上一点 O为圆心，OC为半径画弧交 BC于点 D，若 CD：DB=2：3，则 AO：OB 为（ ） A. 1：3 B. 1：4 C. 2：3 D. 2：5 【答案】B 【解析】 【分析】连接 OD，作 OEBC于 E 点，先由垂径定理得到 CE=DE，从而推出 CEEB 的值，然后判断出ACOE，根据平行线分线段成比例定理求解即可 【详解】解：如图所示，连接 OD，作 OEBC于 E 点， 则由题意可知，OC=OD， 由垂径定理可知，CE=DE， CDDB=23， CEEB=14， ACB=90 ， ACBC， ACOE， AOOB= CEEB=14， 故选：B 【点睛】本题考查垂径定理与平
16、行线分线段成比例定理等，理解并熟练运用垂径定理以及平行线分线段成比例定理是解题关键 二、填空题二、填空题 7. 在比例尺为 1：300000的地图上，量得 A、B两地的图上距离 AB=2cm，则 A、B 两地的实际距离为_km 【答案】6 【解析】 【分析】根据比例尺概念，可得图上距离比例尺=实际距离，代入数值，即可计算出 A、B 两地间的实际距离 【详解】解：比例尺为 1：300000，A、B 两地的图上距离 AB=2cm， 设 A、B两地的实际距离为 x， 1：300000=2：x， 解得：x=600000cm， 600000cm=6km 故答案为：6 【点睛】此题考查了比例尺的概念，解题
17、的关键是熟练掌握比例尺的概念比例尺=图上距离：实际距离 8. 若23ba，则abab的值为_ 【答案】15 【解析】 【分析】先根据已知设出3ak，2bk，代入abab即可求出答案 详解】23baQ， 设3ak，2bk， 3213255abkkkabkkk 故答案为：15 【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形 9. 正八边形的中心角为_度 【答案】45 【解析】 【分析】运用正 n边形的中心角的计算公式360n计算即可. 【详解】解：由正 n 边形的中心角的计算公式可得其中心角为360458， 故答案为 45 . 【点睛】本题考查了正 n边形中心角
18、的计算. 10. 一种药品经过两次降价，药价从每盒 126 元下调至 100元，设平均每次降价的百分率为 x，根据题意，可列方程_ 【答案】2126(1)100 x 【解析】 【分析】根据药品的原价及经过 2次降价后的价格，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解 【详解】解：依题意得：126（1-x）2=100， 故答案为：126（1-x）2=100 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 11. 已知圆锥的母线长为 5cm，侧面展开图的圆心角为 72 ，则该圆锥的底面半径为_cm 【答案】1 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一
19、扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到7252180r，然后解关于 r的方程即可 【详解】解：根据题意得7252180r， 解得 r=1（cm） 故答案为 1 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键 12. 已知 O是ABC 的内心，若A=50 ，则BOC=_. 【答案】115 【解析】 【详解】试题分析：点 O 是ABC 的内心，ABO=OBC，ACO=OCB，A=50 ，ABC+ACB=130 ， ABO
20、+ACO=OBC+OCB=65 ，则BOC=180 65 =115 故答案为 115 考点：三角形的内切圆与内心 13. 如图，在O中，直径 AB=4，C是O上一点，CAB=30 ，则BC的长为_ 【答案】23 【解析】 【分析】如图，连接 OC，利用圆周角定理和邻补角的定义求得BOC的度数，然后利用弧长公式进行解答即可 【详解】 如图，连接 OC， CAB30， BOC2CAB60， AB4， OB2， BC的长是：6022=1803 故答案是：23 【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理根据题意求得BOC的度数是解题的关键 14. 如图， 在扇形ABC中，90BAC，6AB， 若以点C为
21、圆心，CA为半径画弧， 与BC交于点D，则图中阴影部分的面积和是_ 【答案】3 【解析】 【分析】连接AD，由图形面积可知ABCCADSSS扇形扇形，所以求出CADS扇形，ABCS扇形即可求得答案 【详解】解：连接AD， 由已知可得6ABADAC, 又已知CDAC， 6CDACAD， ACD为等边三角形， =60ACD， 26066360CADS扇形， 90BAC， 29069360ABCS扇形， 阴影面积为963ABCCADSSS扇形扇形， 故答案为：3 【点睛】 本题考查扇形的面积公式，等边三角形的判定，正确找到阴影面积与扇形面积的关系是解题关键 15. 如图，在边长为 1的小正方形组成的
22、网格中，建立平面直角坐标系，VABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点 O为位似中心，画VA1B1C1，使VABC 与VA1B1C1的位似比为 2，则点 B 的对应点 B1的坐标是_ 【答案】1,2或( 1, 2) #(-1，-2)或(1，2) 【解析】 【分析】把A、B、C三点的横纵坐标都乘以12，即可得到1A、1B、1C的坐标 【详解】(0,2)AQ，(2,4)B，(1,0)C，VABC 与VA1B1C1的位似比为 2， 当ABCV与111A B C在原点同侧时，1(0,1)A，1(1,2)B，11( ,0)2C， 当ABCV与111A B C在原点两侧时，1(0, 1)A，1(
23、 1, 2)B ，11(,0)2C ， 作图如下所示： 1B的坐标是(1,2)或( 1, 2) 故答案为：(1,2)或( 1, 2) 【点睛】本题考查图形的位似，根据位似比找出位似图形对应的点坐标是解题的关键 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，8)，点 B(-3，4)，直线 l：y=kx，过点 A 作 AQl，垂足为点Q，连接 AB、QB，则VAQB的面积的最大值为_ 【答案】16 【解析】 【分析】如图，以OA的中点M为圆心,OA为直径作圆,过点M作MNAB交AB于点N,延长NM交Me于点Q，此时AQBV的面积最大，连接BM可得，BMAM，根据题意得出4QMAM，3BM
24、 ，5AB,由等面积法求出MN,从而得出QN,因此求得AQBV的面积的最大值. 【详解】 如图，以OA的中点M为圆心,OA为直径作圆,过点M作MNAB交AB于点N,延长NM交Me于点Q，此时AQBV的面积最大， 连接BM，由题可得：(0,8)A，(0,4)M，( 3,4)B ， BMAM，4QMAM，3BM ，5AB， 1122ABMNBMAM， 53 4MN ，即125MN ， 1232455QNQMMN， 1132516225AQBSAB QN V， AQBV的面积的最大值为 16. 故答案为：16. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，掌握直径所对的圆周角为90找出QN的最大值是解题的关键.
25、 三、解答题三、解答题 17. 解下列方程： （1） x2 =2x （2）x2-4x+1=0(用配方法求解) 【答案】 （1）120,2xx； （2）1223,2- 3xx 【解析】 【分析】 （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可 【详解】解： （1）x2=2x， x22x=0， x（x2）=0， 解得：x1=0，x2=2； （2）x2-4x+1=0， x2-4x+4-3=0， （x-2）2=3， x-2=3， 解得：x1=2+3，x2=2-3 【点睛】本题考查了因式分解法和配方法解解一元二次方程掌握配方法的一般步骤是解答本题的关键 18. 关于 x 的一元二次方程 x2-(k
26、-3)x-2k+2=0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根分别为 x1、x2，且 x1+x2=-6，求方程的两根 【答案】 （1）见解析； （2）122,4xx 【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出 =（k+1）20，由此可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到 x1+x2=k-3，即可求出 k 的值，代入方程，求出方程的解即可 【详解】解： （1）b2-4ac=-（k-3）2-4 1 （-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）20， 方程总有两个实数根； （2）由126xx 知，36k 所以，3k 则原方程即： 26
27、80 xx 则方程的两根为：122,4xx 【点睛】本题考查了一元二次方程20axbxc根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根； 1212(4),bcxxxxaa 19. 如图， 小明用自制的直角三角形纸板 DEF测量水平地面上树 AB的高度， 已知两直角边 EF： DE=3：4，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，DM垂直于地面，测得 AM=16m，边 DF离地面的距离为 1.5m，求树高 AB 【答案】树高 AB 长为 13.
28、5m 【解析】 【分析】设3 mEFx，4 mDEx，证明DEFDCBV: V，由相似的性质得出BCDCEFDE，算出BC，ABACBC即可得出答案 【详解】设3 mEFx，4 mDEx， EDFCDBQ，90DEFDCB， DEFDCB V: V， BCDCEFDE， 1634BCxx， 12mBC， 1.5 1213.5(m)ABACBC， 答：树高 AB 长为 13.5m 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键 20. 如图，在正方形 ABCD中，点 E、F 分别在 BC、CD上，CF=14CD请从下列两个信息：BE=CE，AEEF 中选择一个作为
29、条件，另一个作为结论，组成一个正确命题，并给予证明 你选择的条件是 ，结论是 (填写序号) 【答案】，见解析 【解析】 【 分 析 】 证 明A B EE C FV:V， 得 出BAECEF， 由90BAEAEB得 出 ，90AEBCEF，推出90AEF，即可得证 【详解】条件是 ，结论是 证明：Q四边形ABCD正方形， 90BC ，ABBCCD， 设CFx， 由14CFCD知：4ABBCCDx，则2BECEx， Q422ABxECx，22BExCFx， ABBEECCF， 90BC Q， ABEECF V: V， BAECEF， 90BAEAEBQ， 90AEBCEF， 90AEF， AEE
30、F 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定以及性质是解题的关键 21. 如图，矩形 ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，点 P从 B 点以 1cm/s 的速度沿 BC向点 C移动 （1）当点 P出发几秒后，PA=PC； （2）当点 P出发几秒后，PA=2PD 【答案】 （1）2110秒； （2）4秒 【解析】 【分析】 （1）设当点P出发x秒后，PAPC，由勾股定理列出等量关系式求解即可； （2）设当点P出发t秒后，2PAPD，根据勾股定理求出PA，PC，由2PAPD列出等量关系式求解即可 【详解】 （1）设当点P出发x秒后，PAPC，cmBPx，则(5)cmPAPC
31、x， 在Rt ABPV中，224(5)xx， 解得：2110 x ， 当点P出发2110秒后，PAPC； （2）设当点P出发t秒后，2PAPD，cmBPt，则(5)cmPCt， 在Rt PCDV中，2222(5)21029PDttt， 在Rt ABPV中，222224PAtt 2PAPDQ， 224PAPD， 2244(1029)ttt， 解得：4t 或283t ， 05t Q， 4t ， 当点P出发 4 秒后，2PAPD. 【点睛】本题考查矩形的应用与勾股定理，掌握勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键. 22. 如图，VABC中，AD是高，矩形 PQMN顶点 P、N分别在 AB
32、、AC 上，QM在 BC上，AD交 PN于点E，BC=48，AD=16 （1）若 PN=18，求 DE的长； （2）若矩形 PQMN的周长为 80，求矩形 PQMN 的面积 【答案】 （1）10； （2）144 【解析】 【分析】 （1） 矩形 PQMN中,由 PNBC 可得出APNABC,从而得到AEPNADBC， 设 DE=x， 则 AE=16-x，代入比例式即可求解； （2） 由矩形PQMN， 又AD是高， 则四边形PQDE为矩形， 则DE=PQ， 设DE=PQ=y， 则PN=802402yy，利用AEPNADBC求得y=4,即可算出矩形 PQMN的面积 【详解】解：依题意得：PNBC，
33、则APNABC， 又 AD是高，则AEPNADBC， （1）设 DE=x，则 AE=16-x， 由AEPNADBC得，16181648x，解之得，x=10 （2）由矩形 PQMN，又 AD是高，则四边形 PQDE为矩形，则 DE=PQ. 设 DE=PQ=y，则 PN=802402yy，同理得，16401648yy，解之得，y=4 则矩形 PQMN的面积=4 (404)144PQ PN 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 23. 某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为 30 元/只，根据市场调查发现，批发价定为 50 元/只时，每天可销售 40
34、0只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低 1 元，每天销量可增加 40 只 （1） 写出养殖户每天的销量 y只与降价 x 元之间的函数关系 当降价 2 元时， 养殖户每天的利润为多少元？ （2）若养殖户每天的利润要达到 8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 【答案】 （1）40400yx，8640 元； （2）定价为 44 元 【解析】 【分析】（1） 根据一只蟹的批发价每降低 1 元， 每天销量可增加 40只列出函数关系式即可求得函数关系式，再将 x2代入函数关系式即可求解； （2）根据利润销售量（单价成本）列出方程求解即可 【详解】解
35、： （1）根据题意可得：养殖户每天的销量 y只与降价 x 元之间的函数关系为40400yx， 当x=2 时，y=480， 利润为：50 3024808640（元） ， 答：当降价 2元时，养殖户的利润为 8640元； （2）设每只降x元，根据题意可得： (5030)(40040 )8960 xx， 解得：124,6xx， 因为要尽可能让利顾客，则x6， 定价为50 x44(元)， 答：若养殖户每天的利润要达到 8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为 44元 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出正确的方程是解决本题的关键 24. 如图 1，在梯形 ABCD中，ADBC，BC=2
36、AD，E为边 BC 的中点，请仅用无刻度的直尺作图： （1）作 BD的中点 F； （2）作 BE的中点 G； （3） 如图 2， BDE的中线 EF、 DG交于点 H， 若EGH的面积为 1， 则四边形 BGHF 的面积为 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形对角线互相平分，即可作 BD 的中点 F； （2）找ABE的中位线FG，即可得 BE的中点 G； （3） 连接 AE， ， 则 F、 H在 AE 上， 设ADFSx， 则BEFSxV，4ABEDSx， 推出BGDSxV，1BGHFSx，证明EGHADHV: V，由相似的性质，21()
37、4EGHADHSEGSADVV，求出ADHS，从而得出DFHSV，在DBG中，列出等量关系式，求解即可得出答案 【详解】 （1） 连接 DE，AE交 BD 与 F， QBC=2AD，E 为边 BC 的中点， AD=BE， QADBC， 四边形 ABED是平行四边形， 点 F 即为 BD中点； （2） 如图，延长 BA、CD交于点 M，连接 ME交 AD 于点 N，连接 NF交 BE 于点 G， 由题可得：MADMBCV: V， BC=2AD， A 为 MB 中点， 又 AN/BE， AN为MBE的中位线，即 N为 ME 中点， 四边形 ABED 是平行四边形， F为 AE 中点， FN/AM，
38、 FG/AB，FG为ABE中位线， G 为 BE 中点； （3） 如图，连接 AE， ，则 F、H在 AE上，设ADFSx，则BEFSxV，4ABEDSx， BGDSxV， 1EGHSVQ， 1BGHFSx， Q四边形 ABED是平行四边形， GEHDAH，EGHADH， EGHADH V: V， 2211()( )24EGHADHSEGSADVV， 44ADHEGHSSVV， 4DFHSxV， 41xxx ，即3x ， 12BGHFSx 故答案为：2 【点睛】 本题考查四边形综合问题， 掌握线段中点的作图方法以及相似三角形的判定与性质是解题的关键 25. 如图，VABC是O的内接三角形，AC
39、F=B，CF交 BA的延长线于点 F （1）求证：CF为O的切线； （2）若 FC=AB，求证：点 A 是 BF 的黄金分割点； （3）若 AF=1，CF=22，AC=5，求O的直径 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）5 2 【解析】 【分析】 （1）作直径 CE，连接 AE，证得ACF=B=E，由圆周角定理知EAC=90 ，可推出ACE+ACF=90 ，即可证明 CF为O 的切线； （2）先证明FCAFBC，推出2FCFA FB，由 FC=AB，等量代换，即可点 A 是 BF 的黄金分割点； （3）作直径 CE，连接 AE，作 CMAB 于 M，由FCAFBC 推出2 10BC
40、 ，由勾股定理得2222ACAMBCBM，计算得出 AM=1，CM=2，再由CMBCAE即可得出结果 【详解】 （1）证明：作直径 CE，连接 AE， B=E， ACF=B， ACF=B=E， CE是O的直径， EAC=90 ，则ACE+E=90 ， 又ACF=E， ACE+ACF=90 ，即FCO=90 ， CF为O的切线； （2）ACF=B、F=F， FCAFBC， FCFAFBFC=，即2FCFA FB， 又 FC=AB， 2ABFA FB，即点 A是 BF的黄金分割点； （3）作直径 CE，连接 AE，作 CMAB 于 M， 由（2）知2FCFA FB， AF=1，CF=22，AC=5
41、， FB=8，AB=7， 由FCAFBC 得，BCFCACAF， 2 10BC ， 由 CMAB得，22222ACAMCMBCBM， 即22540(7)AMAM， 解之得，AM=1， CM=222251ACAM=2， B=E，CMB=CAE=90 ， CMBCAE得， CEACBCCM， 则5 2CE ，即O的直径5 2CE 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键 26. 问题情境： 已知线段 BC=23，使用作图工具作BAC=30 ，尝试操作后思考： （1）VABC中，如果B=90 ，BAC=30 ，探索 AC
42、与 BC的数量关系？ （2）让含 30 的三角板中 30 角的两边分别经过点 B、C，这时 30 角的顶点 A位置唯一吗？ （3）思考点 A 的位置有什么规律？你能用所学知识解释吗？ 某学习小组通过操作、观察、讨论后汇报如下： 如图 1，作正VACD 的高 AB，易得 BC=12AC，即直角三角形中，30 角所对直角边等于斜边一半 30 角的顶点的位置不唯一，它在以 BC为弦的圆弧上(点 B、C除外)，小明同学画出了符合要求的一条圆弧(如图 2) 理解应用：小明同学结合上述情况提出了下列问题，请你帮助解决： （1）若该弧的圆心为 O，则 BO 长为 （2）如图 3，已知线段 BC和直线 l，用
43、直尺和圆规在直线 l上作出所有的点 P，使BPC=30 ，保留作图痕迹 （3）如图 4，已知矩形 ABCD，BC=23，AB=m，P为 AD 边上的点，BPC=60 求 m的范围 点 N在 CD上，BNC=60 ，连接 BN、PN，当VBPN面积最大时，求 m 的值 【答案】 （1）2 3； （2）见解析； （3）23m；31m 【解析】 【分析】 （1）根据圆周角定理可得BOCV是等边三角形，即求得BO； （2）分别以,B C为圆心，BC为半径作弧，交直线l与线段BC之间于一点，以这点为圆心，BC为半径作弧，交l于两点，这两点即为所求作的点； （3）由BPC=60 ，则圆心角为 120 ，易
44、证，圆心在 BC 的垂直平分线上到 BC的距离为 1，由圆的对称性知，当 AD 下移到2m时，圆心到 AD距离也为 1，此时 A、B、C、D四点均在圆上，根据直线AD与圆的位置关系进而可得m的范围； 由BPC=60 =BNC，点 N 也在上述圆上，由BCN=90 ，设 CN=x，则 BN=2x，在Rt BNCV中，求得 BN=4，要使BPN面积最大，则点 P 到 BN的距离要最大时，由圆的对称性知，BP=PN，则APB DPN，2APDNm且PDABm，进而求得m的值 【详解】 （1）如图， 30 ,BCBCBACQ 60BOC OBOCQ BOCV是等边三角形， 2 3OBBC （2）如图，
45、分别以,B C为圆心，BC为半径作弧，交直线l与线段BC之间于一点，以这点为圆心，BC为半径作弧，交l于两点，这两点即为所求作的点 （3）由BPC=60 ，则圆心角BOC为 120 ，过点O作OEBC， 160 ,302BOEBOCOBE 12OEOB OBOCQ 3BEEC 在RtBOE中， 223BEBOEOOE 1OE，2OB 即圆心在 BC 的垂直平分线上到 BC的距离为 1， 由圆的对称性知，当 AD下移到2m时，圆心到 AD 距离也为 1，此时 A、B、C、D 四点均在圆上，如图1， 当 AD下移到02m时，AD 与圆无交点， 2OE Q, 当 AD与圆相切时，3m时，如图 2，
46、当 AD上移到 m3，AD与圆无交点(圆在 BC下方) 要使 P为 AD边上的点，且BPC=60 ，则边 AD与圆必有交点， 故23m 由BPC=60 =BNC，点 N 也在上述圆上，由BCN=90 ， 则 BN为直径，CBN=30 ，由题知， 设 CN=x，则 BN=2x，在Rt BNCV中， 由勾股定理知，2222 32xx 得，CN=x=2， 则 BN=4 由 P 点在上述圆上，BN 为直径，BPN=90 ，则APBDPN，如图 3 要使BPN 面积最大，则点 P 到 BN 的距离要最大时， 由圆的对称性知，BP=PN，则APB DPN， 所以2APDNm，PDABm， 22 3ADAPPDmm ， 解得31m 【点睛】本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的对称性，矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键