1、2021-2022 学年湖北省武汉市洪山区学年湖北省武汉市洪山区九年级九年级上测评数学试卷（上测评数学试卷（10 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 将一元二次方程 x（x6）3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为 1，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 6，3 B. 6，3 C. 6，3 D. 6，3 2. 已知 x1，x2是一元二次方程 2x2+6x50的两个实数根，则 x1+x2等于（ ） A. 3 B. 52 C. 3 D. 6 3. 一元二次方程 2x2-26x+3=0 根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B
2、. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 用配方法解方程 x2+6x+40，下列变形正确的是（ ） A. （x+3）213 B. （x3）24 C. （x+3）25 D. （x+3）25 5. 将抛物线y=2 （x+1）22的图象先向左平移1个单位长度， 再向上平移3个单位长度， 则顶点坐标为 （ ） A. （2，1） B. （2，1） C. （0，1） D. （2，5） 6. 已知二次函数 y4（x1）2+k的图象上有三点 A（2，y1） ，B（2，y2） ，C（5，y3） ，则 y1、y2、y3的大小关系为（ ） A y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3
3、y1y2 D. y3y2y1 7. 某学校加强教育信息化的建设的投入，今年投入了 50 万元，计划明年、后年两年共投入 120万元，设明年、后年两年平均每年增长率为 x，根据题意，可列出方程为（ ） A 50+50 （1+x）2120 B. 50（1+x）+50 （1+x）2120 C. 50+50 （1+x）+50 （1+x）2120 D. 50 （1+x）2120 8. 对于抛物线 y（x1）22，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 x1 C. 顶点坐标（1，2） D. 与 x轴有交点 9. 已知抛物线 yax2+bx+c 的图像如图所示，下列结论ab+c0；b24
4、ac0；b1；2a+b0；a+c+10正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知 m、n 是方程 x2+x20210 两根，则 m2+2m+2021n+1 的值（ ） A. 0 B. 2020 C. 2022 D. 无法确定 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 一元二次方程 x（x+2）x 的根为_ 12. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有 100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染中新患流感人数共有_人 13. 若二次函数 y=（k2）x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范
5、围是_ 14. 飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 y120t2.5t2在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是_m 15. 已知抛物线 ya（xh）2+k 与 x 轴交于（2，0） 、 （4，0） ，则关于 x的一元二次方程：a（xh+3）2+k0 的解为_ 16. 在平面直角坐标系中点 A（0，6） 、B（6，0） ，AC、BD 分别垂直于 y 轴、x轴，CA3，COD45 ，二次函数 y18x2+m与线段 CD有两个公共点时，m的取值范围是_ 三、解答题： （三、解答题： （72分）分） 17. 解方程：x23x20 18. 如图为二次函数
6、yx22x+3的图像，试根据图像回答下列问题： （1）方程x22x+30的解为 ； （2）二次函数 yx22x+3顶点为 ； （3）当 y0时，x 的取值范围是 ； （4）y 随 x的增大而减小的自变量 x 的取值范围 19. 已知关于 x 的方程 x22（m+1）x+m230的两实根为 x1，x2 （1）求 m的取值范围； （2）如果 x12+x22x1x2+33，求 m的值 20. 某小区在绿化工程中有一块长为 20m，宽为 8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度. 21. 已
7、知二次函数 yx2+bx+c的图象与 x 轴的一个交点坐标为 A（1，0） ，另一交点为 B，与 y 轴的交点为（0，3） ，顶点为 P （1）求此二次函数解析式； （2）用配方法把函数配成 ya（xh）2+k的形式，并写出点 P 坐标 （3）直接写出当2x2 时 y 的取值范围 22. 某商店经销一种销售成本为 30 元/kg 的水产品， 据市场分析： 若按 50 元/kg销售， 一个月能售出 300kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg针对这种水产品，请解答以下问题： （1）设售价为 x 元/kg，月销售量 ykg，请问售价涨了 元，月销售量 y（kg）与售价 x（元/kg）
8、之间的函数解析式为 （2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想在月销售成本不超过 6000元的情况下，使得月销售利润不少于 4000 元，销售单价可定在什么范围？ 23. 如图 1，点 P为等腰 RtABC 斜边 AB下侧一个动点，连 AP、BP，且APB45 ，过 C作 CEAP于点 E，AB12 （1）若ACE15 ，求ABP 的面积； （2）求CEAP的值； （3）如图 2，当APC为等腰三角形时，则其面积为 24. 如图 1，已知抛物线 yax2经过点（2，1） （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 y12x+2交抛物线于点 C、D，点 P 是直线 CD下
9、方的抛物线上一动点，若 SPCD最大，求此时点 P的坐标，并求出 SPCD的最大值； （3）如图 2，直线 ykx+2 与抛物线交于点 E，F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE，PF分别交直线 y2于 M，N两点，MN交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值 2021-2022 学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）测评数学试卷（学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）测评数学试卷（10 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 将一元二次方程 x（x6）3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为 1，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 6，3
10、 B. 6，3 C. 6，3 D. 6，3 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）的 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项 【详解】解：63x x 化为一元二次方程的一般形式2630 xx， 其中二次项系数为 1，一次项系数、常数项分别是-6，3， 故选 D 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于掌握 ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
11、 2. 已知 x1，x2是一元二次方程 2x2+6x50的两个实数根，则 x1+x2等于（ ） A. 3 B. 52 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解 【详解】解：x1，x2是一元二次方程 2x2+6x50两个实数根， a=2，b=6， 则 x1+ x2的= -ba=-3 故选 C 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式 3. 一元二次方程 2x2-26x+3=0 根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】
12、 【详解】2( 2 6)4 2 324240 ， 方程的根有两个相等的实数根； 故选 B 4. 用配方法解方程 x2+6x+40，下列变形正确的是（ ） A. （x+3）213 B. （x3）24 C. （x+3）25 D. （x+3）25 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项 4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数 6 的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案 【详解】解：x2+6x+40， x2+6x-4， x2+6x+95，即（x+3）25， 故选 C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键 5. 将抛物线y=2 （x+1）22的
13、图象先向左平移1个单位长度， 再向上平移3个单位长度， 则顶点坐标为 （ ） A. （2，1） B. （2，1） C. （0，1） D. （2，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案 【详解】解：抛物线 y=2（x+1）22 的图象先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得 y=2（x+2）2+1， 顶点坐标为（2，1） ， 故选 A 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 6. 已知二次函数 y4（x1）2+k的图象上有三点 A（2，y1） ，B（2，y2） ，C（5，y3） ，则 y1、y2、y3的大
14、小关系为（ ） A. y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y3y2y1 【答案】A 【解析】 【分析】对二次函数 y4（x1）2+k，对称轴 x=1，则 A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越大，由此判断 y1、y2、y3的大小 【详解】解：在二次函数 y4（x1）2+k，对称轴 x=1， 在图象上的三点 A（2，y1） ，B（2，y2） ，C（5，y3） ， 212 15 1 ， 则 y1、y2、y3的大小关系为 y1y2y3 故选 A 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征， 由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小 7. 某学校加强教育信息化的建
15、设的投入，今年投入了 50 万元，计划明年、后年两年共投入 120万元，设明年、后年两年平均每年增长率为 x，根据题意，可列出方程为（ ） A. 50+50 （1+x）2120 B. 50（1+x）+50 （1+x）2120 C. 50+50 （1+x）+50 （1+x）2120 D. 50 （1+x）2120 【答案】B 【解析】 【分析】设明年、后年两年平均每年增长率为 x，根据题意可得明年的投入为50 1x万元，后年的投入为250 1x，再由明年和后面一共投资 120万元列出方程即可 【详解】解：设明年、后年两年平均每年增长率为 x， 由题意得250 150 1120 xx， 故选 B
16、【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，解题的关键在于读懂题意，找出等量关系列出方程 8. 对于抛物线 y（x1）22，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 x1 C. 顶点坐标（1，2） D. 与 x 轴有交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式2()ya xhk的性质逐项分析即可 【详解】由 y（x1）22，可知，10a ，则抛物线的开口向上， A选项不正确， 对称轴为1x ， B选项不正确， 顶点坐标为(1, 2)， C选项不正确， 令0y ，则2120 x 12x 121212， xx与x轴的交点为： 12,0 , 12,0 D选项正确，符
17、合题意； 故选 D 【点睛】 本题考查了二次函数顶点式2()ya xhk的性质， 掌握2()ya xhk的图象与性质是解题的关键 9. 已知抛物线 yax2+bx+c 的图像如图所示，下列结论ab+c0；b24ac0；b1；2a+b0；a+c+10正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可，根据函数图像经过( 1, 2) ，即可判断，根据二次函数的图像判断, ,a b c的符号，进而判断，根据二次函数与x轴的交点情况可判断，根据图像可知，当1x 时，0y ，结合的结论2abc 可判断，根据对称轴可以判断，根据的分析，可判断 【详
18、解】Q二次函数2yaxbxc的开口朝下，故0a ， 由图像可知，当0 x时，0y 即0c， Q二次函数2yaxbxc经过点( 1, 2) 20a b c 故正确； 由2yaxbxc，令0y 即20axbxc 根据图像可知，二次函数与x轴的有 2 个不同的交点 b24ac0， 故正确； 由图像可知，当1x 时，0y ， 即0a b c 2a bc Q 2acb 20bb 解得1b 故不正确， Q二次函数2yaxbxc的开口朝下，故0a ， Q12bxa 0aQ 2ba- 即20ab 故正确 2a bc Q 12 11acbb 由可知1b 10b 即10ac 故正确 综上所述，正确的有， 故选 A
19、 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，从图像上获取信息是解题的关键 10. 已知 m、n 是方程 x2+x20210 两根，则 m2+2m+2021n+1值（ ） A. 0 B. 2020 C. 2022 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系求解即可，一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解 【详解】Qn，m 是方程 x2+x20210 的根，0n 220210mm,220210nn 即22021mm，202110nn 20211nn Qm、n 是方程 x2+x20210 两根， 1bmna
20、原式2mmm1 1n 202111 12022 故选 C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，理解根的定义，掌握根与系数的关系是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 一元二次方程 x（x+2）x 的根为_ 【答案】120,1xx #1210 xx ， 【解析】 【分析】先移项，再根据因式分解法解一元二次方程 【详解】x（x+2）x (2 1)0 x x， 解得10,1xx ， 故答案为：120,1xx 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 12. 卫生部门为控制流感
21、的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有 100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染中新患流感人数共有_人 【答案】1000 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人，则第一轮过后有（x+1）人感染，第二轮过后有11xx x 人感染，再由两轮传染后，患流感人数为 100 人，列出方程求出 x，由此即可求解 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 x 人，则第一轮过后有（x+1）人感染，第二轮过后有11xx x 人感染， 由题意得11100 xx x ，即22990 xx， 解得19x ，211x （舍去） ， 第三轮传染后，患流感人数100
22、100 91000 人， 故答案为：1000 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出不同阶段患流感的人数 13. 若二次函数 y=（k2）x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是_ 【答案】k3 且 k2 【解析】 【分析】 根据二次函数图象与 x 轴有交点可得出关于 x的一元二次方程有解， 根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于 k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论 【详解】二次函数 y=（k-2）x2+2x+1的图象与 x轴有交点， 一元二次方程（k-2）x2+2x+1=0有解， 2202421240kkk， 解得：k
23、3且 k2 故答案为 k3且 k2 【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式0 结合二次项系数非零找出关于 k的一元一次不等式组是解题的关键 14. 飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 y120t2.5t2在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是_m 【答案】1440 【解析】 【分析】先将解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求出飞机滑行 24s 停止，此时滑行距离为 1440m，即可求得 【详解】Q y120t2.5t222.5(24)1440t 飞机滑行 24s 停止 在飞机从开始滑行到最后停止
24、一共滑行的距离是 1440m 故答案为：1440 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求得飞机从开始滑行到停止所用的时间是解题的关键 15. 已知抛物线 ya（xh）2+k 与 x 轴交于（2，0） 、 （4，0） ，则关于 x的一元二次方程：a（xh+3）2+k0 的解为_ 【答案】15x ，21x 【解析】 【分析】将抛物线 ya（xh）2+k 向左平移 3 个单位得到 ya（xh+3）2+k，然后根据抛物线 ya（xh）2+k经过（-2，0） ， （4，0）两点，可以得到 a（xh+3）2+k0 的解 【详解】解：将抛物线 ya（xh）2+k向左平移 3个单位长度后的函数解析式为 ya
25、（xh+3）2+k， 抛物线 ya（xh）2+k经过（-2，0） ， （4，0）两点， a（xh+3）2+k=0 的解是 x1-5，x21， 故答案为：x1-5，x21 【点睛】本题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 16. 在平面直角坐标系中点 A（0，6） 、B（6，0） ，AC、BD 分别垂直于 y 轴、x轴，CA3，COD45 ，二次函数 y18x2+m与线段 CD有两个公共点时，m的取值范围是_ 【答案】581392m 【解析】 【分析】将CAO以 O 为旋转中心旋转90o，得到EBO，证明CODEOD，得到CDED
26、，再根据点 C 的坐标推出点 D 的坐标，由二次函数图象与线段有两个交点，列出满足条件的不等式组，计算求解即可 【详解】解：(0,6), (6,0)AB 6AOBO 将CAO以点 O为旋转中心旋转90o，得到EBO，作图如下： 45CODoQ 45AOCDOBo 又旋转 AOCBOE,OCOE，ACBE 45BOEDOBEOD o 在COD与EOD中： 45OCOECODEODODOD o CODEOD CDED CAy轴，DBx轴，且 AC=3 (3,6)C =3ACBE 设点(6, )Da,则：3EDa 223EDa，222(6 3)(6)CDa， 2223(63)(6)aa 解得：2a
27、(6,2)D 设线 CD 所在的直线表达式为：(0)ykxb k， 将(3,6)C，(6,2)D代入得：3662kbkb ，解得：4310kb 线段 CD所在的直线表达式为：4103yx （36x） 又二次函数218yxm 与线段 CD有两个公共点 21+84103yxmyx 232+80803xxm 又有两个公共点 0 ，即2324(808 )03m 解得：589m 又与线段 CD相交，36x，且232+80803xxm对称轴为：3216323x 232880663m 解得：132m m 的取值范围是581392m 【点睛】本题考查三角形的全等的判定和性质、一元二次方程的判别式，以及二次函数
28、与不等式的综合，根据相关知识点解题是关键 三、解答题： （三、解答题： （72分）分） 17. 解方程：x23x20 【答案】x13172，x23172 【解析】 【分析】 公式法的步骤： 化方程为一般形式； 找出 a， b， c； 求 b24ac； 代入公式 x=242bbcaa 【详解】 a=1， b=3， c=2； b24ac= （3）241 （2） =9+8=17； x=242bbcaa =3172，x1=3172，x2=3172 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法要会熟练运用公式法求解一元二次方程 18. 如图为二次函数 yx22x+3的图像，试根据图像回答下列问题： （1）方程
29、x22x+30的解为 ； （2）二次函数 yx22x+3 的顶点为 ； （3）当 y0时，x 的取值范围是 ； （4）y 随 x的增大而减小的自变量 x 的取值范围 【答案】 （1）12=1xx，； （2）( 1,4)； （3）3x或1x ； （4）1x 【解析】 【分析】 （1）解一元二次方程2x2x30即可； （2）将二次函数的一般式转化成顶点式即可； （3）观察抛物线图象知，0y ，即函数图象在 x轴的下方，对应自变量取值范围有两个； （4）由于抛物线开口向下，求出对称轴，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小，写出对应自变量取值范围即可 【详解】 （1）解：2x2x30， 2+230
30、 xx， 310 xx， 即30 x 或10 x ， 解得：123,1xx （2）2223(1)4yxxx=-+ =-+， 顶点坐标为( 1,4) （3）当 y0时，3x或1x （4）由顶点坐标知( 1,4)知，对称轴1x，当1x时，y 随 x 的增大而减小 【点睛】本题考查二次函数图象性质，根据图象数形结合是解题关键 19. 已知关于 x 的方程 x22（m+1）x+m230的两实根为 x1，x2 （1）求 m的取值范围； （2）如果 x12+x22x1x2+33，求 m的值 【答案】 （1）m-2； （2）m=2 【解析】 【分析】 （1）根据判别式在大于等于 0时，方程有两个实数根，确定
31、 m的值； （2）根据根与系数的关系可以求出 m的值 【详解】解： （1）0时，一元二次方程有两个实数根， =2（m+1）2-4 1 （m2-3）=8m+160， m-2， m-2 时，方程有两个实数根 （2）x12+x22x1x2+33， 21212()3xxx x=33， 1222bxxma ，2123cxxma， 22(22)3(3)mm=33， 解得 m=2或-10（舍去） ， 故 m 的值是 m=2 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记住12bxxa ，12cxxa 20. 某小区在绿化工程中有一块长为 20m，宽为 8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使
32、它们的面积之和为 102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度. 【答案】人行通道的宽度为 1米. 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为 x 米，根据矩形绿地的面积和为 102 平方米，列出关于 x 的一元二次方程，求解即可. 【详解】设人行通道的宽度为 x 米，根据题意得， (203x)(82x)102， 解得：x11，x2293(不合题意，舍去). 答：人行通道的宽度为 1米. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用-面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键. 21. 已知二次函数 yx2+bx+c的图象与 x 轴的一个交点坐标为 A（1
33、，0） ，另一交点为 B，与 y 轴的交点为（0，3） ，顶点为 P （1）求此二次函数的解析式； （2）用配方法把函数配成 ya（xh）2+k的形式，并写出点 P 坐标 （3）直接写出当2x2 时 y 的取值范围 【答案】 （1）2yx2x3 ； （2）214yx ，P（1，4） ； （3）54y 【解析】 分析】 （1）把（-1，0） ， （0，3）代入二次函数解析式进行求解即可； （2）把二次函数化为顶点式即为22221421414yxxxxx ，由此求解即可； （3）根据二次函数图像的性质可知当21x 时，y 随 x 的增大而增大，当12x时，y 随 x 的增大而减小，即可知当二次函数
34、在1x 时有最大值 4，即22x 时，y的最大值为 4，然后分别求出当2x时，222235y ，当2x时， 222233y ，由此即可得到答案 【详解】解： （1）二次函数2yxbxc 经过点（-1，0） ， （0，3） ， 103bcc ， 解得23bc， 二次函数解析式为2yx2x3 ； （2）二次函数解析式为2yx2x3 ， 22221421414yxxxxx ， P（1，4） ； （3）由（2）可知二次函数的对称轴为直线1x ， 二次函数解析式为2yx2x3 ，-10， 二次函数开口向下， 当21x 时，y 随 x 的增大而增大，当12x时，y随 x的增大而减小， 二次函数在1x 时有
35、最大值 4，即当22x 时，y的最大值为 4， 当2x时，222235y ，当2x时， 222233y ， 当22x 时，54y ， 故答案为：54y 【点睛】 本题主要考查了求二次函数解析式，去二次函数的顶点坐标，根据自变量的范围求函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 22. 某商店经销一种销售成本为 30 元/kg 的水产品， 据市场分析： 若按 50 元/kg销售， 一个月能售出 300kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg针对这种水产品，请解答以下问题： （1）设售价为 x 元/kg，月销售量 ykg，请问售价涨了 元，月销售量 y（kg）与售价 x（
36、元/kg）之间的函数解析式为 （2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想在月销售成本不超过 6000元的情况下，使得月销售利润不少于 4000 元，销售单价可定在什么范围？ 【答案】 （1）50 x，10800yx ， （2）当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元；（3）6070 x 【解析】 【分析】 （1）根据售价减去原价即可求得售价涨了多少，根据题意，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少10kg，列出销售量的关系式； （2）根据题意，设利润为w，根据二次函数的性质即可求得； （3）根据题意列出一元一次不等式，进而设4000w求得x的最大值，进
37、而求得销售单价x的取值范围 【详解】 （1）设售价为 x元/kg，月销售量 ykg，售价涨了50 x元； 月销售量 y（kg）与售价 x（元/kg）之间的函数解析式为：300 10(50)yx10800 x， 故答案为：50 x，10800yx ； （2）设利润为w， 则(30)( 10800)wxx 210110024000 xx 210(55)6250 x 100Q，w的图象是开口朝上的二次函数， 当55x 时，max6250w， 当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元， （3）由30( 10800)6000 x， 解得60 x， 令4000w， 即210(55)6250
38、4000 x， 解得1270,40 xx， 6070 x 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，一元一次不等式的应用，根据题意理清各数据之间的关系列出解析式、方程、不等式是解题的关键 23. 如图 1，点 P为等腰 RtABC 斜边 AB下侧一个动点，连 AP、BP，且APB45 ，过 C作 CEAP于点 E，AB12 （1）若ACE15 ，求ABP 的面积； （2）求CEAP的值； （3）如图 2，当APC为等腰三角形时，则其面积为 【答案】 （1）18 18 3； （2）12CEAP； （3）18或36 18 3 【解析】 【分析】 （1）过点 B作 BHAP于 H，证明BAH=30 ，然
39、后求出 BH，AH，PH即可解决问题； （2） 过点B作BFCE于F， 先证明四边形BFEH是矩形， 得到EF=BH=PH， BF=EH， 再证明ACECBF，得到 CE=BF=EH，AE=CF，即可推出 AP=AE+PH+EH=2CE； （3）分当 PA=PC 时，当 AP=AC时，两种情况根据（1） （2）的结论进行求解即可 【详解】解： （1）如图所示，过点 B作 BHAP于 H， BHA=BHP=90 ABC是等腰直角三角形，且 AB是斜边， AC=BC，ACB=90 ， CAB=CBA=45 ， CEAP， AEC=90 ， ACE=15 ， CAE=90 -ACE=75 ， BAH
40、=CAE-CAB=30 ， 162BHAB， 226 3AHABBH， APB=45 ， HBP=HPB=45 6BHPH， 66 3APAHHP， 11=666 3 =1818 322ABPSAP BH ； （2）如图，过点 B 作 BFCE于 F， BFCE，CEAP，BHAP， BFE=FEH=BHE=90 ， 四边形 BFEH 是矩形， EF=BH=PH，BF=EH， ACE+BCE=ACB=90 ，BCE+CBF=90 ， ACE=CBF， 又AC=BC， ACECBF（AAS） CE=BF=EH，AE=CF， AE+PH=AE+EF=CF+EF=CE， AP=AE+PH+EH=2C
41、E， 12CEAP； （3）如图所示，当 PA=PC时， PA=PC，AP=2CE， PC=2CE，PAC=PCA CEAP， CEP=90 ， CPE=30 ， PCE=60 ，1=180=752PACPCACPAoo， ACE=15 ， 由（1）可知66 3AP ， 133 32CEAP， 11=66 333 33618 322APCSAP CE 如图所示，当 AP=AC时， CA=CB，ACB=90 ， 222ACBCAB即222=2=144ACBC， 6 2ACBC， 6 2PAAC， 13 22CEAP， 11=6 23 2=1822APCSAP CE， 综上所述，当APC为等腰三角
42、形时，则其面积为 18 或36 18 3 故答案为：18或36 18 3 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含 30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 24. 如图 1，已知抛物线 yax2经过点（2，1） （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 y12x+2交抛物线于点 C、D，点 P 是直线 CD下方的抛物线上一动点，若 SPCD最大，求此时点 P的坐标，并求出 SPCD的最大值； （3）如图 2，直线 ykx+2 与抛物线交于点 E，F，点 P 是抛物线上的动点，延长 PE，PF分别交直线 y2于 M，N
43、两点，MN交 y 轴于 Q 点，求 QMQN 的值 【答案】 （1）214yx； （2）11,4P，PCDSV最大值为274： （3）8 【解析】 【分析】 （1）把点（-2，1）代入抛物线解析式进行求解即可； （2） 过点P作直线PEy轴交CD于E， 设21,4P m m， 则1,22E mm， 即可得到211224PEmm，然后求出 C（-2，1） ，D（4，4） ，再由11=22PCDPCEPDEPCDpSSSxxPExxPE得到2327144PCDSm ，由此即可得到答案； （3）设2111,4E xx，2221,4F xx，21,4P nn，直线 PE的解析式为1yk xb，利用待定
44、系数法即可得到直线 PE的解析式为：1144PExnnxyx， 同理求得直线 PF 的解析式为：2244PFxnnxyx，然后求出118Mnxxxn，228Nnxxxn，再联立2214ykxyx得2124xkx即可推出124xxk，128x x ，再由MNQM QNxx进行求解即可 【详解】解： （1）抛物线2yax经过点（-2，1） ， 2124aa， 解得14a ， 抛物线的解析式为214yx； （2）过点 P作直线 PEy轴交 CD于 E， 设21,4P mm，则1,22E mm， 211224PEmm C、D 是直线122yx与抛物线214yx的交点， 212214yxyx， 解得21
45、xy 或44xy， C（-2，1） ，D（4，4） ， 11=22PCDPCEPDEPCDpSSSxxPExxPE， 2111=32224DCPExxmm 2233272191444mmm ， 当1m时，PCDSV最大，最大值为274， 11,4P； （3）设2111,4E xx，2221,4F xx，21,4P nn，直线 PE 的解析式为1yk xb， 21 11211414x kbxnkbn， 解得11144xnknxb 直线 PE的解析式为：1144PExnnxyx， 同理求得直线 PF 的解析式为：2244PFxnnxyx， 当2y 时11244Mxnnxx ，解得118Mnxxxn， 同理求得228Nnxxxn， 联立2214ykxyx得2124xkx即2480 xkx， 124xxk，128x x ， 2121212212121286488MNn x xn xxnxnxQM QNxxxnxnx xn xxn， 22228488326484848nknnknnknnkn 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解