1、九年级第二次月考数学试题九年级第二次月考数学试题 一选择题一选择题 (310=30 分分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程（3x2） （x+1）0的解是（ ） A. x23 B. x1 C x123 ，x21 D. x123，x21 3. 已知关于x的方程240 xxc的一个根是1x则方程2410 xxc 的根的情况是（ ） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 有一个根是1x D. 有两个相等的实数根 4. 二次函数21yaxbx的图象与一次函数2yaxb在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A.
2、B. C. D. 5. 若点 P（a+1，a2）关于原点对称的点位于第二象限，则 a 的取值范围表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，ABC 内接于O，A50E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交O 于点 D，连接 BD，则D的大小为（ ） A. 55 B. 65 C. 60 D. 75 7. 如图，铅球的出手点 C 距地面 1 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后 4 秒钟达到最大高度 3 米，则铅球运行路线的解析式为（ ） A. h=316t2 B. y=316t2+t C. h=18t2+t+1 D. h=-13t2+2t+1 8. 已知点 A（3，y1） ，B
3、（4，y2） ，C（3，y3）均在抛物线 y2x24x+m 上，下列说法中正确的是（ ） A. y3y2y1 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y1y2y3 9. 如图，顶点坐标为2,n的抛物线2yaxbxc经过点5,0A，与 y轴的交点在0,2，0,3之间（含端点） ， 则下列结论： 40ab； 0a b c ； 81255b； 关于 x的方程21axbxcn 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图，在等腰ABC 中，ABAC4cm，B30 ，点 P从点 B出发，以3cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点
4、 C 停止，同时点 Q从点 B出发，以 1cm/s的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列最能反映 y与 x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：二、填空题：(36=18分分) 11. 冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 科学记数法表示为_ 12. 如果关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，那么 k的取值范围是_ 13. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90个红包，那么这个微信群共有_人
5、14. 如图，将 ABC绕点 A 逆时针旋转得到 ABC，延长 CB交 BC于点 D，若BAB40 ，则CDC的度数是_ 15. 如图所示，已知ABC内接于O，BC 是O的直径，ODAC 于点 D，连接 BD，半径 OEBC，连接 EA， EABD于点 F若 BC5，则 OD_ 16. 如图，在等腰 RtABC中，ACB90，点 P 是ABC内一点，且 CP1，BP2，AP2，将CP 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CD，连接 PD下列结论：点 A与点 D的距离为2；APPC；AB22；SAPB2，其中正确结论有_ 三；解答题：三；解答题： 17. 先化简，再求值：213(2)211aaaaa
6、，其中 a 是方程 x22x30 的一个根 18. “赏中华诗词， 寻文化基因， 品文学之美”， 某校对全体学生进行了古诗词知识测试， 将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数 19. 如图，在平面直角坐标系中，ABCV的顶点坐标分别为1,0A ，4,1B ，2,2C （1）直接写出点B关于原点
7、对称的点B的坐标：_； （2）平移ABCV，使平移后点A的对应点1A的坐标为2,1，请画出平移后的111A B C； （3）画出ABCV绕原点O逆时针旋转90后得到的222A B C 20. 如图，正方形 ABCD中，P是对角线 AC上的一个动点（不与 A、C重合） ，连结 BP，将 BP绕点 B顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若正方形的边长为 4，且 PC3AP，求线段 PQ的长 21. 如图，已知抛物线 y=2x+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为（
8、3，0） ， （1）求 m的值及抛物线的顶点坐标 （2）点 P 是抛物线对称轴 l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标 22. 已知 AB是O的直径，ACD是AD所对的圆周角，ACD30 （1）求DAB 的度数； （2）过点 D作 DEAB，垂足为 E，DE的延长线交O 于点 F若 AB4，求 DF的长 23. 某水果超市以每千克 20 元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于 40 元，经市场调查发现，樱桃的日销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价 x（元） 25 30 35 日销售量 y（千克）
9、110 100 90 （1）求 y与 x 之间的函数关系式； （2）该超市要想获得 1000 的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图 1，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC，点 D在 AB边上，点 E在 AC边上，ADAE，连接 DE，取 BC边中点 O，连接 DO并延长到点 F，使 OFOD，连接 CF （1）填空：判断CEF的形状为 （2）将（1）中ADE绕点 A 旋转，连接 CE， （1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图 2 所示情况给出证明，若不成立，请说明理由； （3）若 AB
10、6，AD4，将ADE由图 1位置绕点 A 旋转，当点 B，E，D三点共线时，请直接写出CEF的面积 25. 如图，对称轴 x1抛物线 yax2+bx+c与 x轴交于 A（2，0） ，B 两点，与 y轴交于点 C（0，2） ， （1）求抛物线和直线 BC的函数表达式； （2）若点 Q是直线 BC 上方的抛物线上的动点，求 BQC 的面积的最大值； （3）点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作过点 P作 PDx轴于点 D，交直线 BC于点 E若点 P在第四象限内，当 OD4PE时， PBE 的面积； （4）在（3）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N为平面直角坐标系内一点，是否存在
11、这样的点 M和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 九年级第二次月考数学试题九年级第二次月考数学试题 一选择题一选择题 (310=30 分分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可 【详解】A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称
12、图形，故此选项不符合题意， 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键 2. 方程（3x2） （x+1）0的解是（ ） A. x23 B. x1 C. x123 ，x21 D. x123，x21 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个因式的乘积得 0，则每个因式至少有一个为 0即可得出答案； 【详解】解：（3x2） （x+1）0， 3x2=0或 x+1=0， x123，x2=-1； 故选：D 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握利用因分解法解方程的特征是解题的关键 3. 已知关于x的方程240 xxc的一个根是1x则方程2410
13、 xxc 的根的情况是（ ） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是1x D. 有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】把1x代入240 xxc得出 c 的值，从而得出方程2440 xx，继而根据判别式得出方程根的情况 【详解】解：把 x=-1 代入方程240 xxc得 1-4+c=0， 解得：c=3， 则方程2410 xxc 2440 xx； =16-16=0， 有两个相等的实数根， 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型 4. 二次函数21yaxbx的图象与一次函数2yaxb在同一平
14、面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数21yaxbx的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数2yaxb的图像恒过定点(,0)2ba，即可得出正确选项 【详解】 二次函数21yaxbx的对称轴为2bxa ， 一次函数2yaxb的图像恒过定点(,0)2ba，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(,0)2ba，只有 A 选项符合题意 故选 A 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数2yaxb的图像恒过定点(,0)2ba，本题蕴含了数形结合的思想方法等 5. 若点 P（a+1，
15、a2）关于原点对称的点位于第二象限，则 a 的取值范围表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 P 点位置，进而得出答案 【详解】解：点 P（a+1，a2）关于原点的对称的点在第二象限， 点 P在第四象限， a+10，a20， 解得：1a2， a的取值范围表示正确的是 C 故选：C 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 P点位置是解题关键 6. 如图，ABC 内接于O，A50E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交O 于点 D，连接 BD，则D的大小为（ ） A. 55 B. 65 C. 60 D. 75
16、【答案】B 【解析】 【分析】 连接 CD， 根据圆内接四边形的性质得到CDB180 A130 ， 根据垂径定理得到 ODBC，求得 BDCD，根据等腰三角形的性质即可得到结论 【详解】解：连接 CD， A50 ， CDB180 A130 ， E是边 BC的中点， ODBC， BDCD， ODBODC12BDC65 ， 故选：B 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识正确理解题意是解题的关键 7. 如图，铅球的出手点 C 距地面 1 米，出手后的运动路线是抛物线，出手后 4 秒钟达到最大高度 3 米，则铅球运行路线的解析式为（ ） A. h=316t2 B. y
17、=316t2+t C. h=18t2+t+1 D. h=-13t2+2t+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 【详解】 根据题意， 设二次函数的表达式为243ha t， 抛物线过(0,1)， 即代入二次函数解得18a ，这个二次函数的表达式为221143188httt ，故 C选项是正确答案. 【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 8. 已知点 A（3，y1） ，B（4，y2） ，C（3，y3）均在抛物线 y2x24x+
18、m 上，下列说法中正确的是（ ） A. y3y2y1 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y1y2y3 【答案】D 【解析】 【分析】求得抛物线对称轴为直线 x1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案 【详解】解：抛物线 y2x24x+m， 抛物线的开口向上，对称轴是直线 x4221， 抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， 点 C（3，y3）离对称轴最远，点 A（3，y1）离对称轴最近， y1y2y3 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称
19、轴越远，对应的函数值就越大 9. 如图，顶点坐标为2,n的抛物线2yaxbxc经过点5,0A，与 y轴的交点在0,2，0,3之间（含端点） ， 则下列结论： 40ab； 0a b c ； 81 255b； 关于 x 的方程21axbxcn 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，抛物线开口向下，得到 a0，再由抛物线的对称轴方程得到 b4a，则 4a+b0，于是可对进行判断； 利用对称性可知与 x 轴的另一个交点为1,0， 故当-1x5 时， 抛物线在 x 轴上方，可对进行判断；利用可 2c3 和
20、 c5a ，b4a，可对进行判断；根据抛物线 yax2+bx+c 与直线 yn+1 没有交点可对进行判断 【详解】 解： 抛物线开顶点坐标为2,n的抛物线2yaxbxc经过点5,0A， 与 y轴的交点在0,2，0,3之间（含端点） ， 可得抛物线开口向下， a0， 而抛物线的对称轴为直线 x22ba，即 b4a， 4a+b4a4a0，所以正确； 由对称性可知与 x轴的另一个交点为1,0， 故当-1x0， 即0a b c ，故正确； 2c3， 而 c3a，b4a， 又抛物线2yaxbxc经过点5,0A 即 0=255ab c 54cb 254b3， 85b125，所以正确； 抛物线的顶点坐标（2
21、，n） ， 抛物线 yax2+bx+c与直线 yn+1 没有交点， 关于 x的方程 ax2+bx+c1n 无实数根，所以错误 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解本题的关键 10. 如图，在等腰ABC 中，ABAC4cm，B30 ，点 P从点 B出发，以3cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q从点 B出发，以 1cm/s的速度沿 BAAC 方向运动到点 C停止，若BPQ的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（s） ，则下列最能反映 y与 x之间函数关系的图象是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作 AH
22、BC于 H,分别算出当 0 x4 时和当 4x8 时的函数表达式,从而得出图象. 【详解】解：作 AHBC于 H， ABAC4cm， BHCH， B30 ， AH12AB2，BH3,AH23， BC2BH43， 点 P运动的速度为3cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s， 点 P从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C需 8s， 当 0 x4 时，作 QDBC于 D，如图 1，BQx，BP3x， 在 RtBDQ中，DQ12BQ12x， y1212x3x34x2， 当 4x8时，作 QDBC于 D，如图 2，CQ8x，BP43 在 RtBDQ中，DQ12CQ12（8x） ， y1212
23、（8x）433x+83， 综上所述，y2304438 3 48xxxx 故选：D 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质,关键在于对动点情况进行分类讨论. 二、填空题：二、填空题：(36=18分分) 11. 冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 科学记数法表示为_ 【答案】1.2 10-7 【解析】 【分析】将 0.00000012写成 a 10n(1|a |10,n 为负整数)的形式即可 【详解】解: 0.00000012=1.2 10-7 故填 1.2 10-7 【点睛】本题主要考查运用科学记数法, 将原数写成 a 10n(
24、1|a |10,n 为负整数),确定 a 和 n的值成为解答本题的关键 12. 如果关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，那么 k的取值范围是_ 【答案】k94且 k0 【解析】 【分析】根据关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，知=（3）24 k10 且 k0，解之可得 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根， ak，3b，1c， 2243410back V且0k ， 解得94k 且0k 故答案为：94k 且0k 【点睛】本题主要考查了根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-
25、4ac 有如下关系： 当0 时， 方程有两个不相等的实数根； 当=0时， 方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 13. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90个红包，那么这个微信群共有_人 【答案】10 【解析】 【分析】设这个微信群共有 x人，则每人需发（x1）个红包，根据该微信群共发了 90 个红包，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】解：设这个微信群共有 x人，则每人需发（x1）个红包， 依题意得：x（x1）90， 整理得：x2x900， 解得：x110，x29（不合题意，舍去） 故答案为：1
26、0 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 14. 如图，将ABC 绕点 A逆时针旋转得到ABC，延长 CB 交 BC于点 D，若BAB40 ，则CDC的度数是_ 【答案】40 【解析】 【分析】由旋转的性质得到BACBAC，CC，进而推出CAC40 ，根据三角形内角和定理证得CDCCAC，即可求得CDC的度数 【详解】将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC， ABCABC， BACBAC，CC， BAB40 ， CAC40 ， CDC180 DECC，CAC180 CAEC，DECAEC， CDCCAC40 ， 故答案为：40 【点睛】本题主要
27、考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键 15. 如图所示，已知ABC内接于O，BC 是O的直径，ODAC 于点 D，连接 BD，半径 OEBC，连接 EA， EABD于点 F若 BC5，则 OD_ 【答案】52 【解析】 【分析】 根据垂径定理得到 ADDC， 得到BAECAE12BAC12 90 45 ， 求得ABDADB45 ，求得 ADAB，根据勾股定理求出 AB的长，即可得到结论 【详解】解：BC是O的直径， BAC90 ， OEBC， BOECOE90 ， BECE， BAECAE12BAC12 90 45 ， EABD， ABDADB45 ， AD
28、AB， ODAC， DCAD， 设 ABx，则 AC2x， BC5，AB2AC2BC2， x2（2x）252， 解得5x AB5 ODAC，ABAC， ODAB， BOCO， 1522ODAB， 故答案为：52 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键 16. 如图，在等腰 RtABC中，ACB90，点 P 是ABC内一点，且 CP1，BP2，AP2，将CP 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CD，连接 PD下列结论：点 A与点 D的距离为2；APPC；AB22；SAPB2，其中正确结论有_ 【答案】# 【解析】 【分析】连接 AD，证明
29、ACDVBCPV，得到2ADPB，即可判断由勾股定理的逆定理证明90ADP，进而证明ADP是等腰直角三角形，即可判断；利用勾股定理即可判断；利用三角形的面积公式即可判断 【详解】如图，连接 AD， 90DCPACB， ACDBCP 在ACD和BCPV中， DCPCACDBCPACBC ACDBCP SAS， 2ADPB，故正确； 90 ,1DCPDCPCQ， 22DP， 2DPAD 2224APADDPQ， 90ADP， ADP是等腰直角三角形， 45APD， 45DPCQ， 90APC， 即 APPC，故正确； 135ADCADPCDPCPBQ， 180CPBDPC， 点 P，B，D共线，
30、2 2,2BDBPPDADQ， 2210ABADBD，故不正确； 12 2222ADBSQ， 12212ADPS， 1ABPS，故不正确； 故答案为： 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键 三；解答题：三；解答题： 17. 先化简，再求值：213(2)211aaaaa，其中 a 是方程 x22x30 的一个根 【答案】11a ；14 【解析】 【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到 a的值，代入计算即可求出值 【详解】解：213(2)211aaaaa
31、 21223(1)1aaaaa 211(1)1aaaa 11a， a是方程 x22x30的一个根 3a或a1， 当 a=1时，原式无意义，舍去； 当 a=-3 时，原式113 14 【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18. “赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美” ，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的人数； （2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 ； （3）将
32、条形统计图补充完整； （4）该校共有 1500 名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数 【答案】 （1）120人； （2）90 ； （3）见解析； （4）500人 【解析】 【分析】 （1）由良好的人数除以占的百分比求本次抽样调查的人数； （2）根据一般的人数所占百分比即可求出圆心角的度数； （3）求出优秀的人数即可画出条形图； （4）求出优秀占的百分比，乘以 1500即可得到结果 【详解】解： （1）总人数50150360120（人） ； （2）阴影部分扇形的圆心角360 3012090 ， 故答案为：90 ； （3）优秀的人数为：120305040（人） ， 条形统
33、计图如图所示： （4）测试成绩达到优秀的学生人数有：150040120500（人） ， 答：该校 1500 名学生中测试成绩达到优秀的学生有 500人 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19. 如图，在平面直角坐标系中，ABCV的顶点坐标分别为1,0A ，4,1B ，2,2C （1）直接写出点B关于原点对称的点B的坐标：_； （2）平移ABCV，使平移后点A的对应点1A的坐标为2,1，请画出平移后的111A B C； （3）画出ABCV
34、绕原点O逆时针旋转90后得到的222A B C 【答案】 （1）41,； （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据关于原点对称的点的特点求解即可； （2）首先判断出平移的方式，然后根据点的平移规律平移各点，最后顺次连接111,A B C即可得出答案； （3）分别找到, ,A B C对应点222,A B C，顺次连接222,A B C即可 【详解】解： （1）4,1B 点B关于原点对称的点B的坐标为41,； （2）如图所示，111A B C即为所求； （3）如图所示，222A B C即为所求 【点睛】本题主要考查作图能力，掌握平移，旋转的性质是关键 20. 如图，正方形 AB
35、CD中，P是对角线 AC上的一个动点（不与 A、C重合） ，连结 BP，将 BP绕点 B顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若正方形的边长为 4，且 PC3AP，求线段 PQ的长 【答案】 （1）见解析； （2）2 5 【解析】 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是正方形可得，ABBC，90ABC，由图形旋转可得，BPBQ，90PBQ，从而可证APBCQBVV，故APCQ； （2） 如图所示， 由四边形 ABCD 是正方形可得，45PAM， 故PAM是等腰直角三角形且AMPM，由勾股定理可得，4
36、 2AC ，故2AP ，进而推断出1AMPM，由勾股定理得，10BP ，再由勾股定理可得2 5PQ 【详解】 （1） 如图所示，过点 P 作PMAB交于 M， 由题意得：PBQB，90PBQPBCCBQ ， Q四边形 ABCD是正方形， ABBC，90ABCABPPBC， ABPCBQ ， 在APB与CQB中， ABCBABPCBQBPBQ ， APBCQBVV， APCQ； （2）由（1）知：90ABC，ABCB， 在Rt ABCV中，222244 24ACBBAC ， 3PCAPQ， 344 2ACAPPCAPAPAP， 2AP， Q四边形 ABCD是正方形， 45PAM， QPMAB交于
37、 M， 90PMAPMB， 180180904545APMAMPPAM， PAMAPM ， AMPM， 在VRt APM中，90AMP， 222APAMPM， 222( 2)AM， 1AMPM， 4 13BMABAM ， 在Rt PMBV中，22223110BPPMMB， 10PBQB， 在Rt PBQV中，2222( 10)( 10)2 5PQPBQB 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键 21. 如图，已知抛物线 y=2x+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y
38、轴交于点 C，点 B的坐标为（3，0） ， （1）求 m的值及抛物线的顶点坐标 （2）点 P 是抛物线对称轴 l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标 【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）. 【解析】 【分析】 （1）首先把点 B 的坐标为（3，0）代入抛物线 y=2x+mx+3，利用待定系数法即可求得 m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接 BC交抛物线对称轴 l于点 P，则此时 PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线 BC的解析式，继而求得答案 【详解】解： （1）把点 B的坐标为（3，0）代入抛物线 y=2x+mx+3得：0=2
39、3+3m+3， 解得：m=2， y=2x+2x+3=214x， 顶点坐标为： （1，4） （2）连接 BC交抛物线对称轴 l于点 P，则此时 PA+PC的值最小， 设直线 BC的解析式为：y=kx+b， 点 C（0，3） ，点 B（3，0） ， 033kbb，解得：13kb ， 直线 BC的解析式为：y=x+3， 当 x=1时，y=1+3=2， 当 PA+PC的值最小时，点 P 的坐标为： （1，2） 考点：二次函数的性质 22. 已知 AB是O的直径，ACD是AD所对的圆周角，ACD30 （1）求DAB度数； （2）过点 D作 DEAB，垂足为 E，DE的延长线交O 于点 F若 AB4，求
40、DF的长 【答案】 （1）60； （2）2 3 【解析】 【分析】 （1）连接 BD，根据 AB是O的直径，可得ADB90 ，进而可以求DAB 的度数； （2）根据直角三角形 30度角所对直角边等于斜边的一半可得 AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得 EFDE 的值，进而可得 DF的长 【详解】解： （1）如图，连接 BD， ACD30 ， BACD30 ， AB 是O直径， ADB90 ， DAB90 B60 ； （2）ADB90 ，B30 ，AB4， AD12AB2， DAB60 ，DEAB，且 AB 是直径， EFDEADsin60 3， DF2DE2 3 【点睛】本题考查了圆
41、周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理 23. 某水果超市以每千克 20 元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于 40 元，经市场调查发现，樱桃的日销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价 x（元） 25 30 35 日销售量 y（千克） 110 100 90 （1）求 y与 x 之间的函数关系式； （2）该超市要想获得 1000 的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）2160yx （2）30元 （
42、3）40元；1600 元 【解析】 【分析】 （1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得( 2160)(20)1000 xx，解出方程； （3）构造(20)( 2160)wxx，利用二次函数的最大值问题解决 【详解】解： （1）设一次函数表达式为ykxb， 将(25,110),(30,100)代入，得25110,30100.kbkb 解得2,160.kb 2160yx （2）根据题意，得( 2160)(20)1000 xx， 整理，得210021000 xx， 解得1230,70 xx（不合题意，舍去） 答：该超市要想获得
43、1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为 30元 （3）方法 1： 设日销售利润为 w元 (20)( 2160)wxx 222003200 xx 20a Q， 抛物线开口向下， 又502bxa Q， 当2040 x剟时，w随 x的增大而增大 当40 x时，w有最大值，1600w最大（元） 答：当每千克樱桃的售价定为 40元时，可获得最大利润，最大利润是 1600 元 方法 2： 设日销售利润为 w元 2(20)( 2160)2(50)1800wxxx ， 20aQ， 抛物线开口向下，对称轴为直线50 x 当2040 x剟时，w随着 x 的增大而增大， 当40 x时，w有最大值，1600w
44、最大（元） 答：当每千克樱桃的售价定为 40元时，可获得最大利润，最大利润是 1600 元 【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型 24. 如图 1，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC，点 D在 AB边上，点 E在 AC边上，ADAE，连接 DE，取 BC边的中点 O，连接 DO并延长到点 F，使 OFOD，连接 CF （1）填空：判断CEF的形状为 （2）将（1）中ADE绕点 A 旋转，连接 CE， （1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图 2 所示情况给出证明，若不成立，请说明理由； （3）若 AB6，AD4，将ADE由
45、图 1位置绕点 A 旋转，当点 B，E，D三点共线时，请直接写出CEF的面积 【答案】 （1）等腰直角三角形； （2）成立，理由见解析； （3）=18-414或 18+414 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的判定和性质得出 CFDB，CF=DB，进而利用等腰直角三角形的判定解答即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出 BD=CE，ABD=ACE，进而利用等腰直角三角形的判定解答即可； （3）分两种情况，如解析图，由勾股定理可求出 BH的长，从而得出 BD的长，结合（2）知CEF 是等腰三角形，BD=CF，即可解决问题 【详解】解： （1）连接 CD，BF， 取 BC 边的中点 O
46、， OC=OB， OF=OD， 四边形 CDBF是平行四边形， CF/DB，CF=DB， BAC=90 ， ECF=90 ， AB=AC，AD=AE， CE=DB， CE=CF， CEF是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）成立，理由如下： 连接 BD，如图 2， 点 O是 BC的中点， OB=OC， 在OCF 和OBD中 OCOBCOFBODOFOD OCFOBD（SAS） ， BD=CF，OCF=OBD， BAC=DAE=90 ， BAD=CAE=90 -BAE， 在ABD和ACE 中 ADAEBADCAEABAC ABDACE（SAS） ， BD=CE，ABD=ACE，
47、CE=CF，ECF=OCF+BCE， ECF=OBD+BCE=(OBA+ABD)+BCE=OBA+(ACE+BCE)=OBA+OCA=45 +45 =90 ， CEF是等腰直角三角形； （3）如图所示：若ADE不动，将ABC 绕点 A 旋转，使点 B落在直线 DE上，当点 B在点 D下方时， 过点 A作 AHDE于 H， ADE是等腰直角三角形， AH=DH=22， 在 RtABH 中，由勾股定理得：BH=222 7ABAH， BD=BH-DH= 2 72 2， 由（2）可知：CEF是等腰三角形，BD=CF， SCEF=2211(2 72 2)22CF =18-414， 当点 B在点 E上方时
48、， 同理可得 BD=BH+DH=2 72 2， SCEF=2211(2 72 2)22CF 18+414 综上：SCEF=18-414或 18+414 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质等知识，采取动静互换、数形结合的思想是解题的关键综合性较强，属于中考压轴题 25. 如图，对称轴 x1的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） ，B两点，与 y 轴交于点 C（0，2） ， （1）求抛物线和直线 BC的函数表达式； （2）若点 Q是直线 BC 上方的抛物线上的动点，求BQC的面积的最大值； （3）点 P 为抛物线上的一
49、个动点，过点 P 作过点 P作 PDx轴于点 D，交直线 BC于点 E若点 P在第四象限内，当 OD4PE时，PBE 的面积； （4）在（3）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）抛物线表达式为211242yxx ；直线表达式为122yx ； （2）BQC的面积的最大值为 2（3）PBE 的面积为58（4）点 N 的坐标为（2 555，55）或（2 555，55）或（235，45）或（92，14） 【解析】 【分析
50、】 （1）首先根据二次函数的对称性求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可； （2）过 Q点作 QH垂直 x轴交 BC 于点 H，连接 CQ，BQ，由二次函数表达式设点 Q 的坐标为（x，211242xx） ，表示出BQC的面积，根据二次函数的性质即可求出BQC的面积的最大值； （3）根据题意设出点 P 坐标为（m，211mm242） ，E 点坐标为（m，122m） ，D点坐标为（m，0） ，表示出 OD和 PE 的长度，根据 OD4PE 列出方程求出 m 的值，即可求出 PE 和 BD 的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （4）当 BD是菱形的边和对角线时两种