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上海市普陀区2021-2022学年九年级上期中考试数学试卷(含答案解析)

1、2021-2022 学年上海市普陀区九年级(上)期中数学试卷学年上海市普陀区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分)分) 1 (4 分)下列函数中,属于二次函数的是( ) Ayx2(x+4) (x+2) By2(x+1) (x3) Cyax2+bx+c Dy 2 (4 分)已知抛物线 yax2+2x+(a2) ,a 是常数,且 a0,下列选项中可能是它大致图象的是( ) A B C D 3 (4 分)下列关于向量的说法中,不正确的是( ) A2( + )2 +2 B如果 2 ,那么| |2| | C 是非零向量, 是

2、单位向量,那么| | | | Dm(n )(mn) 4 (4 分)下列各组条件中,一定能够判定ABC 与DEF 相似的是( ) AAB,DE BBE,AB3,AC4,DE:DF3:4 CABC 三边长分别为 6,18,21,DEF 三边之比为 2:7:6 DC91,E91,DE:ABEF:AC 5 (4 分)如图,已知 ADBC,AC 与 BD 相交于点 O,点 G 是 BD 的中点,过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E,如果 AD1,BC4,那么 GE:BC 等于( ) A3:8 B1:4 C3:5 D2:3 6(4 分) 如图, 在ABC 中, CD 是边 BC 上的高, 那么下列条

3、件不一定能推出ACB90的选项是 ( ) AAC2ADAB BACADCDCB CCD2ADBD DACBCABCD 二二.填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7 (4 分)已知 a:b3:2,则(ab) :a 8 (4 分)已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 APBP,如果 BP1,那么 AP 9 (4 分)如图,直线 abc,它们依次交直线 m、n 于点 A、C、E 和 B、D、F,已知 AC4,CE6,BD3,那么 BF 等于 10 (4 分)将

4、抛物线 y2(x+1)23 先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,那么平移后所得新抛物线的表达式是 11 (4 分)已知二次函数 yx2+2x1 的一个函数值是 2,那么对应的自变量 x 的值是 12 (4 分)用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格: x 2 1 0 1 y 11 2 1 2 根据表格上的信息回答问题:当 x2 时,y 13 (4 分)如果向量 与单位向量 方向相反,且长度为,那么 (用 表示) 14(4 分) 如图, 在ABC 中, AD 是中线, G 是重心, , , 那么 (用、 表示) 15 (4 分)如图,矩形 DEFG 的

5、边 DE 在ABC 的边 BC 上,顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上,已知 BC6cm,DE3cm,EF2cm,那么边 BC 上的高的长是 cm 16(4 分) 如图, 在ABC 中, D 是 AB 上一点, 如果BACD, AB6cm, AC4cm, 若 SABC36cm2,则ACD 的面积是 cm2 17 (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AEBC,垂足为 E,联结 DE,F 为线段 DE 上一点,且AFEB,如果 AB,AD4,AE2,那么 AF 的长为 18 (4 分)在 RtABC 中,C90,B30,AC2,点 D、E 分别在边 BC、AB 上,且 D

6、EBC,BD2,将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1,点 D、E 分别对应点 D1、E1,当 A、D1、E1三点共线时,CD1的长为 三三.解答题(本大题共解答题(本大题共 7 题,满分题,满分 78 分)分) 19 (10 分)如图,已知向量 、 ,求作向量 ,满足(2 2 + ) (不要求写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论) 20 (10 分)已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A(1,5) 、B(1,9) ,C(0,8) (1)求这个二次函数的解析式; (2)如果点 D(x1,y1)和点 E(x2,y2)在函数图象上,那么当 0 x1x21 时,请直接写出 y1与 y2的大小

7、关系:y1 y2 21 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx24x (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ,试求抛物线 yx24x的“不动点”的坐标 22 (10 分)如图,已知 MNBC,A 是 MN 上一点,AMAN,MC 交 AB 于 D,NB 交 AC 于 E,联结 DE (1)求证:DEBC; (2)设 MC 与 BN 的交点为点 G,如果 DE1,BC4,求的值 23 (12 分)如图,在等腰直角ABC 中,ACB90,ACBC,过点 C 作射线 CPAB,D

8、为射线 CP上一点,E 在边 BC 上(不与 B、C 重合) ,且DAE45,AC 与 DE 交于点 O (1)求证:ADEACB; (2)如果 CDCE,求证:CD2COCA 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线经过点 B(3,1) 、C(2,6) ,与 y 轴交于点 A,对称轴为直线 x1 (1)求抛物线的表达式; (2)求ABM 的面积; (3)点 P 是抛物线上一点,且PMBABM,试直接写出点 P 的坐标 25 (14 分)矩形 ABCD 中,AB2,AD4,动点 E 在边 BC 上,不与点 B、C 重合,过点 A 作 DE 的垂线,交直线 CD

9、 于点 F,交射线 BC 于点 G (1)如图,当点 G 在 BC 延长线上时,求的值;在点 E 的运动过程中,的值是否发生改变? (2)设 BEm,用含 m 的代数式表示线段 CG 的长; (3)如果点 G 在 BC 延长线上,当DBE 与DFG 相似时,求 DF 的长 2021-2022 学年上海市普陀区九年级(上)期中数学试卷学年上海市普陀区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分)分) 1 (4 分)下列函数中,属于二次函数的是( ) Ayx2(x+4) (x+2) By2

10、(x+1) (x3) Cyax2+bx+c Dy 【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可 【解答】解:A、yx2(x+4) (x+2)x2x26x86x8,是一次函数,故本选项不合题意; B、y2(x+1) (x3)2(x22x3)2x24x6,是二次函数,故本选项符合题意; C、yax2+bx+c,不一定是二次函数,故本选项不合题意; D、y 的右边是分式,不是二次函数,故本选项不合题意; 故选:B 2 (4 分)已知抛物线 yax2+2x+(a2) ,a 是常数,且 a0,下列选项中可能是它大致图象的是( ) A B C D 【分析】根据抛物线对称轴位置和 a,b 的关系以及利用图象

11、开口方向与 a 的关系,得出图象开口向下,对称轴经过 x 轴正半轴,利用图象与 y 轴交点和 c 的符号,进而得出答案 【解答】解:抛物线 yax2+2x+(a2) ,a 是常数且 a0, 图象开口向下,a20, 图象与 y 轴交于负半轴, a0,b2, 抛物线对称轴在 y 轴右侧 故选:D 3 (4 分)下列关于向量的说法中,不正确的是( ) A2( + )2 +2 B如果 2 ,那么| |2| | C 是非零向量, 是单位向量,那么| | | | Dm(n )(mn) 【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可 【解答】解:A、2( + )2 +2 ,计算正确,不符合题意; B、

12、如果 2 ,那么| |2| |,计算正确,不符合题意; C、 是非零向量, 是单位向量,那么| | ,计算不正确,符合题意; D、根据数乘向量的性质即可判断 m(n )(mn) 计算正确,不符合题意 故选:C 4 (4 分)下列各组条件中,一定能够判定ABC 与DEF 相似的是( ) AAB,DE BBE,AB3,AC4,DE:DF3:4 CABC 三边长分别为 6,18,21,DEF 三边之比为 2:7:6 DC91,E91,DE:ABEF:AC 【分析】根据相似三角形的判定方法可得出答案 【解答】解:A、A 和B,D 和E 不是两个三角形的对应角,故不能判定两三角形相似,故此选项不符合题意

13、; B、 根据BE,不能判定两三角形相似, 因为相等的两个角不是夹角, 故此选项不符合题意; C、ABC 三边长分别为 6,18,21,则三边之比为 2:6:7,由DEF 三边之比为 2:7:6 可知ABC与DEF 相似,故此选项符合题意; D、DE:ABEF:AC 不是直角三角形的对应边成比例,故不能判定两三角形相似,故此选项不符合题意 故选:C 5 (4 分)如图,已知 ADBC,AC 与 BD 相交于点 O,点 G 是 BD 的中点,过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E,如果 AD1,BC4,那么 GE:BC 等于( ) A3:8 B1:4 C3:5 D2:3 【分析】由 ADBC

14、,GEBC,可证得AODCOB,OGEOBC,又由 AD1,BC4,点 G是 BD 的中点,设 ODx,OB4x,则 BD5x,可求得 OG1.5x,由 GE:BCOG:OB 即可得到答案 【解答】解:ADBC, AODCOB, AD1,BC4, OD:OBAD:BC1:4, 设 ODx,OB4x,则 BD5x, 点 G 是 BD 的中点, BGBD2.5x, OGOBBG4x2.5x1.5x, GEBC, OGEOBC, GE:BCOG:OB1.5x:4x3:8 故选:A 6(4 分) 如图, 在ABC 中, CD 是边 BC 上的高, 那么下列条件不一定能推出ACB90的选项是 ( ) A

15、AC2ADAB BACADCDCB CCD2ADBD DACBCABCD 【分析】根据相似三角形的判定方法延长进行判断即可 【解答】解:AAC2ADAB, , AA, ABCACD, BACD, B+DCB90, ACD+DCB90, ACB90;所以 A 选项一定能推出ACB90,不符合题意; BACADCDCB, ,而 CB 和 AD 不是对应边, 如果 ACDBCDCB, , BB, ACBCDB, ADCB, B+DCB90, B+A90, ACB90;所以 B 选项不一定能推出ACB90,符合题意; CCD2ADDB, , ADCBDC90, ADCCDB, ACDB, B+DCB9

16、0, ACD+DCB90, ACB90;所以 C 选项一定能推出ACB90,不符合题意; D.ACBCABCD, , AA, ABCACD, BACD, B+DCB90, ACD+DCB90, ACB90;所以 D 选项一定能推出ACB90,不符合题意; 故选:B 二二.填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,每题题,每题 4 分,满分分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7 (4 分)已知 a:b3:2,则(ab) :a 1:3 【分析】根据两内项之积等于两外项之积用 a 表示出 b,然后代入比例式进行计算即可得解 【解答】

17、解:a:b3:2, ba, (ab) :a(aa) :a1:3 故答案为:1:3 8 (4 分)已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 APBP,如果 BP1,那么 AP 2 【分析】设 ABm,根据黄金分割点的定义,知 AP 是较长线段;则 APAB,构建方程求出 m即可 【解答】解:设 ABm 由于 P 为线段 AB 的黄金分割点, 且 AP 是较长线段; 则 APABm, mm1, 解得 m+1, AP(+1)2, 故答案为:2 9 (4 分)如图,直线 abc,它们依次交直线 m、n 于点 A、C、E 和 B、D、F,已知 AC4,CE6,BD3,那么 BF 等于 7.5 【分析】

18、根据平行线分线段成比例定理得出比例式,再代入求出 DF,再求出 BF 即可 【解答】解:直线 abc, , AC4,CE6,BD3, , 解得:DF4.5, BD3, BFBD+DF3+4.57.5, 故答案为:7.5 10 (4 分)将抛物线 y2(x+1)23 先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,那么平移后所得新抛物线的表达式是 y2(x1)2 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解:将抛物线 y2(x+1)23 向右平移 2 个单位所得直线解析式为:y2(x+12)23; 再向上平移 3 个单位为:y2(x+12)23+3,即 y2(x1)2 故答案

19、是:y2(x1)2 11 (4 分)已知二次函数 yx2+2x1 的一个函数值是 2,那么对应的自变量 x 的值是 3 或 1 【分析】把函数值代入函数解析式,解关于 x 的一元二次方程即可 【解答】解:y2 时,x2+2x12, 整理得,x2+2x30, 解得 x13,x21, 所以,对应的自变量 x 的值是3 或 1 故答案为:3 或 1 12 (4 分)用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格: x 2 1 0 1 y 11 2 1 2 根据表格上的信息回答问题:当 x2 时,y 11 【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为 x0,然后求出当 x

20、2 时 y 的值 【解答】解:由表格数据可知: 当 x1,y2;x1,y2, 则二次函数的图象对称轴为 x0, 又知 x2 和 x2 关于 x0 对称, 当 x2 时,y11,即当 x2 时,y11 故答案为11 13 (4 分)如果向量 与单位向量 方向相反,且长度为,那么 (用 表示) 【分析】根据平面向量的定义即可解决问题 【解答】解:向量 为单位向量,向量 与单位向量 方向相反,且长度为, 故答案是: 14 (4 分)如图,在ABC 中,AD 是中线,G 是重心, , ,那么 (用 、表示) 【分析】根据重心定理求出,再利用三角形法则求出即可 【解答】解:根据三角形的重心定理,AGAD

21、, 于是 故 故答案为: 15 (4 分)如图,矩形 DEFG 的边 DE 在ABC 的边 BC 上,顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上,已知 BC6cm,DE3cm,EF2cm,那么边 BC 上的高的长是 4 cm 【分析】 过 A 作 AHBC 于 H, 交 GF 于 M, 由矩形的性质得 GFBC, DGEF2cm, GFDE3cm,再证AGFABC,求出 AM2(cm) ,则 AHAM+MH4(cm) ,即可求解 【解答】解:过 A 作 AHBC 于 H,交 GF 于 M,如图所示: 则 MHEF2cm, 四边形 DEFG 是矩形, GFBC,DGEF2cm,GFDE3cm, GF

22、BC, AGFABC, , 即, 解得:AM2(cm) , AHAM+MH4(cm) , 即边 BC 上的高的长是 4cm, 故答案为:4 16(4 分) 如图, 在ABC 中, D 是 AB 上一点, 如果BACD, AB6cm, AC4cm, 若 SABC36cm2,则ACD 的面积是 16 cm2 【分析】利用给定的条件可以判定ACDABD,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得ACD 的面积 【解答】解:D 是 AB 上一点 且BACD,AA, ACDABC, SABC36cm2 ACD 的面积是 3616, ACD 的面积是 16cm2 故应填:16 17 (4 分)如图,在

23、平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AEBC,垂足为 E,联结 DE,F 为线段 DE 上一点,且AFEB,如果 AB,AD4,AE2,那么 AF 的长为 【分析】如图,证明 AEAD,求出 DE 的长度;证明ADFDEC,得到;运用 AD4,DE2,CDAB,求出 AF 的长度,即可解决问题 【解答】解:如图,四边形 ABCD 为平行四边形, ADBC,BADC 而 AEBC, AEAD,ADFDEC DE2AE2+AD24+1620, DE2 AFEB, AFEADC,即ADF+DAFADF+EDC, DAFEDC ADFDEC, AD4,DE2,CDAB, AF 故答案为: 18 (

24、4 分)在 RtABC 中,C90,B30,AC2,点 D、E 分别在边 BC、AB 上,且 DEBC,BD2,将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1,点 D、E 分别对应点 D1、E1,当 A、D1、E1三点共线时,CD1的长为 2 或 4 【分析】分两种情况讨论,由矩形的性质和全等三角形的性质可求解 【解答】解:如图 1,当点 D1在线段 AE1上, ACD90,ABC30,AC2, AB4,BCAC2, 将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1, D1B2DB,BD1E190, AD12, AD1BC,且 ACBD1, 四边形 ACBD1是平行四边形,且ACB90, 四边形 ACBD1是矩形,

25、 CD1AB4, 如图 2,当点 D1在线段 AE1的延长线上, ACBAD1B90, 点 A,点 B,点 D1,点 C 四点共圆, AD1CABC30, ACBD1,ABAB, RtABCRtBAD1(HL) D1ABABC30,且BAC60, CAD130AD1C, ACCD12, 综上所述:CD12 或 4, 故答案为:2 或 4 三三.解答题(本大题共解答题(本大题共 7 题,满分题,满分 78 分)分) 19 (10 分)如图,已知向量 、 ,求作向量 ,满足(2 2 + ) (不要求写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论) 【分析】由题意, 2 ,利用三角形法则画出向量 CD2 【解

26、答】解:(2 2 + ) , 2 2 + 2 , 2 , 如图,即为所求 20 (10 分)已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A(1,5) 、B(1,9) ,C(0,8) (1)求这个二次函数的解析式; (2)如果点 D(x1,y1)和点 E(x2,y2)在函数图象上,那么当 0 x1x21 时,请直接写出 y1与 y2的大小关系:y1 y2 【分析】 (1)根据待定系数法即可求得; (2)先求得抛物线的开口方向和对称轴,然后根据二次函数的性质即可判断 【解答】解: (1)二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A(1,5) 、B(1,9) ,C(0,8) , , 解得, 二次函

27、数解析式为 yx22x+8; (2)yx22x+8(x+1)2+7, 抛物线开口向下,对称轴为直线 x1, 当 x1 时,y 随 x 的增大而减小, 0 x1x21, y1y2 故答案为: 21 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx24x (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ,试求抛物线 yx24x的“不动点”的坐标 【分析】 (1)a10,故该抛物线开口向上,顶点 A 的坐标为(2,4) ; (2)设抛物线“不动点”坐标为(t,t) ,则 tt24t,即可求解; 【解答

28、】解: (1)yx24x(x2)24, a10, 故该抛物线开口向上, 顶点 A 的坐标为(2,4) , 当 x2,y 随 x 的增大而增大,当 x2,y 随 x 增大而减小; (2)设抛物线“不动点”坐标为(t,t) ,则 tt24t, 解得:t0 或 5, 故“不动点”坐标为(0,0)或(5,5) 22 (10 分)如图,已知 MNBC,A 是 MN 上一点,AMAN,MC 交 AB 于 D,NB 交 AC 于 E,联结 DE (1)求证:DEBC; (2)设 MC 与 BN 的交点为点 G,如果 DE1,BC4,求的值 【分析】 (1)根据相似三角形的判定定理得到ADMBDC,ANECB

29、E,根据相似三角形的性质得到,等量代换得到,于是得到结论; (2)根据相似三角形的性质得到,求得 AN,得到 MN,推出MGNCGB,于是得到结论 【解答】 (1)证明:MNBC, ADMBDC,ANECBE, , AMAN, , DEBC; (2)解:DEBC, ADEABC, , , MNBC, BDEBAN, , AN, MN, DEMN,DEBC, MNBC, MGNCGB, 23 (12 分)如图,在等腰直角ABC 中,ACB90,ACBC,过点 C 作射线 CPAB,D 为射线 CP上一点,E 在边 BC 上(不与 B、C 重合) ,且DAE45,AC 与 DE 交于点 O (1)

30、求证:ADEACB; (2)如果 CDCE,求证:CD2COCA 【分析】(1) 先由等腰直角ABC 得到BACB45, 从而结合DAE45得到DACEAB,再由平行线的性质得到ACPBACB45,从而得到ADCAEB,然后由相似三角形的性质得到 AD:AEAC:AB,转化为 AD:ACAE:AB,结合DAECAB45得证结果; (2)结合ACD45和ACB90,由 CDCE 得到CDECED22.5,从而得到DAC22.5,然后得到OCDDCA,最后得证结果 【解答】证明: (1)ABC 是等腰直角三角形, BACB45, DAE45,PCAB, DACEAB,ACDBACB45, ADCA

31、EB, ,即, DAEBAC45, ADEACB (2)ACD45,ACB90, CDE+CED180904545, CDCE, CDECED22.5, ADEACB, ADEACB90, CAD180ADECDEACD1809022.54522.5, CADCDE, 又OCDDCA, OCDDCA, , CD2COCA 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线经过点 B(3,1) 、C(2,6) ,与 y 轴交于点 A,对称轴为直线 x1 (1)求抛物线的表达式; (2)求ABM 的面积; (3)点 P 是抛物线上一点,且PMBABM,试直接写出点 P 的坐

32、标 【分析】 (1)设抛物线解析式为 yax2+bx+c,依题意得出三元一次方程组,解方程得出 a、b、c 的值,即可求出抛物线的解析式; (2)连接 AB,过点 M 作 y 轴的平行线交 AB 于点 Q,连接 AM、BM,求出直线 AB 的解析式,求出点Q 的坐标,得出 MQ 的长,再利用 SABMSMQA+SMQB,即可求出ABM 的面积; (3)分 PM 在 AB 的左侧和右侧两种情况进行讨论,即可得出点 P 的坐标 【解答】解: (1)设抛物线解析式为 yax2+bx+c, 抛物线经过点 B(3,1) 、C(2,6) ,对称轴为直线 x1, , 解得:, 设抛物线解析式为:yx22x2

33、; (2)如图 1,连接 AB,过点 M 作 y 轴的平行线交 AB 于点 Q,连接 AM、BM, 当 x0 时,y2,当 x1 时,y3, A(0,2) ,M(1,3) , 设直线 AB 的解析式为 ymx+n, 把 A(0,2) ,B(3,1)代入得: , 解得:, yx2, 当 x1 时,y1, Q(1,1) , MQ1(3)2, SABMSMQA+SMQB MQ|xBxA| 2|30| 3; (3)如图 2,分两种情况分类讨论: 当 PM 在 AB 的左侧时,PM 交 AB 于点 D,设 D(t,t2) , B(3,1) 、M(1,3) , BD,MD, PMBABM, BDMD, ,

34、 解得:t, D(,) , 设直线 MD 的解析式为 ykx+b, , 解得:, 直线 MD 的解析式为 y7x10, , 解得:, P(8,46) , 当 PM 在 AB 的右侧时,PM 交抛物线于点 P, PMBABM, ABPM, 设直线 MP 的解析式为 yx+d, 把 M(1,3)代入得:31+d, d4, 直线 MP 的解析式为 yx4, , 解得:, P(2,2) , 综上所述,点 P 的坐标为(8,46)或(2,2) 25 (14 分)矩形 ABCD 中,AB2,AD4,动点 E 在边 BC 上,不与点 B、C 重合,过点 A 作 DE 的垂线,交直线 CD 于点 F,交射线

35、BC 于点 G (1)如图,当点 G 在 BC 延长线上时,求的值;在点 E 的运动过程中,的值是否发生改变? (2)设 BEm,用含 m 的代数式表示线段 CG 的长; ( 3 ) 如 果 点G在BC延 长 线 上 , 当 DBE与 DFG相 似 时 , 求DF的长 【分析】 (1)分点 G 在 BC 延长线上、点 G 在 BC 上两种情况,证明DCEADF,根据相似三角形的性质解答; (2)分点 G 在 BC 延长线上、点 G 在 BC 上两种情况,根据平行线分线段成比例定理得到,把已知数据代入计算,得到答案; (3)分DEBGFD、DEBDFG 两种情况,根据相似三角形的性质计算即可 【

36、解答】解: (1)如图 1,设 DE 与 AG 交于点 H, 当点 G 在 BC 延长线上时, ADC90, ADH+CDE90, DEAG, ADH+DAH90, CDEDAF, DCEADF90, DCEADF, ; 如图 2,当点 G 在 BC 上时, 同理可证,DCEADF, , 综上所述,在点 E 的运动过程中,的值不发生改变; (2)如图 1,当点 G 在 BC 延长线上时, BEm,BC4, EC4m, 由(1)可知:DF2EC82m, FCDCDF2(82m)2m6, ADCG, ,即, 解得:CG(3m4) , 如图 2,当点 G 在 BC 上时, BEm,BC4, EC4m, 由(1)可知:DF2EC82m, FCDFDC(82m)262m, ADCG, ,即, 解得:CG(0m3) ; (3)如图 3,当DEBGFD 时,GDFDBE, DCGBCD, DCGBCD, , CG1, , , 解得:DF; 当DEBDFG 时,设 DFa,则 FC2a,ECa, BE4a, ADCG, ,即, 解得:FG, DEBDFG, ,即, 整理得:3a2+8a160, 解得:a1,a24(舍去) , 综上所述:当DBE 与DFG 相似时,DF 的长为或