1、2021-2022 学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列函数中，属于二次函数的是（ ） Ayx2（x+4） （x+2） By2（x+1） （x3） Cyax2+bx+c Dy 2 （4 分）已知抛物线 yax2+2x+（a2） ，a 是常数，且 a0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ） A B C D 3 （4 分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A2（ + ）2 +2 B如果 2 ，那么| |2| | C 是非零向量， 是
2、单位向量，那么| | | | Dm（n ）（mn） 4 （4 分）下列各组条件中，一定能够判定ABC 与DEF 相似的是（ ） AAB，DE BBE，AB3，AC4，DE：DF3：4 CABC 三边长分别为 6，18，21，DEF 三边之比为 2：7：6 DC91，E91，DE：ABEF：AC 5 （4 分）如图，已知 ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，点 G 是 BD 的中点，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，如果 AD1，BC4，那么 GE：BC 等于（ ） A3：8 B1：4 C3：5 D2：3 6（4 分） 如图， 在ABC 中， CD 是边 BC 上的高， 那么下列条
3、件不一定能推出ACB90的选项是 （ ） AAC2ADAB BACADCDCB CCD2ADBD DACBCABCD 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7 （4 分）已知 a：b3：2，则（ab） ：a 8 （4 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，如果 BP1，那么 AP 9 （4 分）如图，直线 abc，它们依次交直线 m、n 于点 A、C、E 和 B、D、F，已知 AC4，CE6，BD3，那么 BF 等于 10 （4 分）将
4、抛物线 y2（x+1）23 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 11 （4 分）已知二次函数 yx2+2x1 的一个函数值是 2，那么对应的自变量 x 的值是 12 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 y 11 2 1 2 根据表格上的信息回答问题：当 x2 时，y 13 （4 分）如果向量 与单位向量 方向相反，且长度为，那么 （用 表示） 14（4 分） 如图， 在ABC 中， AD 是中线， G 是重心， ， ， 那么 （用、 表示） 15 （4 分）如图，矩形 DEFG 的
5、边 DE 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上，已知 BC6cm，DE3cm，EF2cm，那么边 BC 上的高的长是 cm 16（4 分） 如图， 在ABC 中， D 是 AB 上一点， 如果BACD， AB6cm， AC4cm， 若 SABC36cm2，则ACD 的面积是 cm2 17 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，联结 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB，如果 AB，AD4，AE2，那么 AF 的长为 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，B30，AC2，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且 D
6、EBC，BD2，将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1，点 D、E 分别对应点 D1、E1，当 A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，满足（2 2 + ） （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 20 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A（1，5） 、B（1，9） ，C（0，8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果点 D（x1，y1）和点 E（x2，y2）在函数图象上，那么当 0 x1x21 时，请直接写出 y1与 y2的大小
7、关系：y1 y2 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx24x （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ，试求抛物线 yx24x的“不动点”的坐标 22 （10 分）如图，已知 MNBC，A 是 MN 上一点，AMAN，MC 交 AB 于 D，NB 交 AC 于 E，联结 DE （1）求证：DEBC； （2）设 MC 与 BN 的交点为点 G，如果 DE1，BC4，求的值 23 （12 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 作射线 CPAB，D
8、为射线 CP上一点，E 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，且DAE45，AC 与 DE 交于点 O （1）求证：ADEACB； （2）如果 CDCE，求证：CD2COCA 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线经过点 B（3，1） 、C（2，6） ，与 y 轴交于点 A，对称轴为直线 x1 （1）求抛物线的表达式； （2）求ABM 的面积； （3）点 P 是抛物线上一点，且PMBABM，试直接写出点 P 的坐标 25 （14 分）矩形 ABCD 中，AB2，AD4，动点 E 在边 BC 上，不与点 B、C 重合，过点 A 作 DE 的垂线，交直线 CD
9、 于点 F，交射线 BC 于点 G （1）如图，当点 G 在 BC 延长线上时，求的值；在点 E 的运动过程中，的值是否发生改变？ （2）设 BEm，用含 m 的代数式表示线段 CG 的长； （3）如果点 G 在 BC 延长线上，当DBE 与DFG 相似时，求 DF 的长 2021-2022 学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列函数中，属于二次函数的是（ ） Ayx2（x+4） （x+2） By2
10、（x+1） （x3） Cyax2+bx+c Dy 【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可 【解答】解：A、yx2（x+4） （x+2）x2x26x86x8，是一次函数，故本选项不合题意； B、y2（x+1） （x3）2（x22x3）2x24x6，是二次函数，故本选项符合题意； C、yax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项不合题意； D、y 的右边是分式，不是二次函数，故本选项不合题意； 故选：B 2 （4 分）已知抛物线 yax2+2x+（a2） ，a 是常数，且 a0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线对称轴位置和 a，b 的关系以及利用图象
11、开口方向与 a 的关系，得出图象开口向下，对称轴经过 x 轴正半轴，利用图象与 y 轴交点和 c 的符号，进而得出答案 【解答】解：抛物线 yax2+2x+（a2） ，a 是常数且 a0， 图象开口向下，a20， 图象与 y 轴交于负半轴， a0，b2， 抛物线对称轴在 y 轴右侧 故选：D 3 （4 分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A2（ + ）2 +2 B如果 2 ，那么| |2| | C 是非零向量， 是单位向量，那么| | | | Dm（n ）（mn） 【分析】根据平面向量、模、数乘向量等知识一一判断即可 【解答】解：A、2（ + ）2 +2 ，计算正确，不符合题意； B、
12、如果 2 ，那么| |2| |，计算正确，不符合题意； C、 是非零向量， 是单位向量，那么| | ，计算不正确，符合题意； D、根据数乘向量的性质即可判断 m（n ）（mn） 计算正确，不符合题意 故选：C 4 （4 分）下列各组条件中，一定能够判定ABC 与DEF 相似的是（ ） AAB，DE BBE，AB3，AC4，DE：DF3：4 CABC 三边长分别为 6，18，21，DEF 三边之比为 2：7：6 DC91，E91，DE：ABEF：AC 【分析】根据相似三角形的判定方法可得出答案 【解答】解：A、A 和B，D 和E 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意
13、； B、 根据BE，不能判定两三角形相似， 因为相等的两个角不是夹角， 故此选项不符合题意； C、ABC 三边长分别为 6，18，21，则三边之比为 2：6：7，由DEF 三边之比为 2：7：6 可知ABC与DEF 相似，故此选项符合题意； D、DE：ABEF：AC 不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意 故选：C 5 （4 分）如图，已知 ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，点 G 是 BD 的中点，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，如果 AD1，BC4，那么 GE：BC 等于（ ） A3：8 B1：4 C3：5 D2：3 【分析】由 ADBC
14、，GEBC，可证得AODCOB，OGEOBC，又由 AD1，BC4，点 G是 BD 的中点，设 ODx，OB4x，则 BD5x，可求得 OG1.5x，由 GE：BCOG：OB 即可得到答案 【解答】解：ADBC， AODCOB， AD1，BC4， OD：OBAD：BC1：4， 设 ODx，OB4x，则 BD5x， 点 G 是 BD 的中点， BGBD2.5x， OGOBBG4x2.5x1.5x， GEBC， OGEOBC， GE：BCOG：OB1.5x：4x3：8 故选：A 6（4 分） 如图， 在ABC 中， CD 是边 BC 上的高， 那么下列条件不一定能推出ACB90的选项是 （ ） A
15、AC2ADAB BACADCDCB CCD2ADBD DACBCABCD 【分析】根据相似三角形的判定方法延长进行判断即可 【解答】解：AAC2ADAB， ， AA， ABCACD， BACD， B+DCB90， ACD+DCB90， ACB90；所以 A 选项一定能推出ACB90，不符合题意； BACADCDCB， ，而 CB 和 AD 不是对应边， 如果 ACDBCDCB， ， BB， ACBCDB， ADCB， B+DCB90， B+A90， ACB90；所以 B 选项不一定能推出ACB90，符合题意； CCD2ADDB， ， ADCBDC90， ADCCDB， ACDB， B+DCB9
16、0， ACD+DCB90， ACB90；所以 C 选项一定能推出ACB90，不符合题意； D.ACBCABCD， ， AA， ABCACD， BACD， B+DCB90， ACD+DCB90， ACB90；所以 D 选项一定能推出ACB90，不符合题意； 故选：B 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7 （4 分）已知 a：b3：2，则（ab） ：a 1：3 【分析】根据两内项之积等于两外项之积用 a 表示出 b，然后代入比例式进行计算即可得解 【解答】
17、解：a：b3：2， ba， （ab） ：a（aa） ：a1：3 故答案为：1：3 8 （4 分）已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，如果 BP1，那么 AP 2 【分析】设 ABm，根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 APAB，构建方程求出 m即可 【解答】解：设 ABm 由于 P 为线段 AB 的黄金分割点， 且 AP 是较长线段； 则 APABm， mm1， 解得 m+1， AP（+1）2， 故答案为：2 9 （4 分）如图，直线 abc，它们依次交直线 m、n 于点 A、C、E 和 B、D、F，已知 AC4，CE6，BD3，那么 BF 等于 7.5 【分析】
18、根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出 DF，再求出 BF 即可 【解答】解：直线 abc， ， AC4，CE6，BD3， ， 解得：DF4.5， BD3， BFBD+DF3+4.57.5， 故答案为：7.5 10 （4 分）将抛物线 y2（x+1）23 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是 y2（x1）2 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线 y2（x+1）23 向右平移 2 个单位所得直线解析式为：y2（x+12）23； 再向上平移 3 个单位为：y2（x+12）23+3，即 y2（x1）2 故答案
19、是：y2（x1）2 11 （4 分）已知二次函数 yx2+2x1 的一个函数值是 2，那么对应的自变量 x 的值是 3 或 1 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于 x 的一元二次方程即可 【解答】解：y2 时，x2+2x12， 整理得，x2+2x30， 解得 x13，x21， 所以，对应的自变量 x 的值是3 或 1 故答案为：3 或 1 12 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 y 11 2 1 2 根据表格上的信息回答问题：当 x2 时，y 11 【分析】首先根据表格数据得到二次函数图象的对称轴为 x0，然后求出当 x
20、2 时 y 的值 【解答】解：由表格数据可知： 当 x1，y2；x1，y2， 则二次函数的图象对称轴为 x0， 又知 x2 和 x2 关于 x0 对称， 当 x2 时，y11，即当 x2 时，y11 故答案为11 13 （4 分）如果向量 与单位向量 方向相反，且长度为，那么 （用 表示） 【分析】根据平面向量的定义即可解决问题 【解答】解：向量 为单位向量，向量 与单位向量 方向相反，且长度为， 故答案是： 14 （4 分）如图，在ABC 中，AD 是中线，G 是重心， ， ，那么 （用 、表示） 【分析】根据重心定理求出，再利用三角形法则求出即可 【解答】解：根据三角形的重心定理，AGAD
21、， 于是 故 故答案为： 15 （4 分）如图，矩形 DEFG 的边 DE 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上，已知 BC6cm，DE3cm，EF2cm，那么边 BC 上的高的长是 4 cm 【分析】 过 A 作 AHBC 于 H， 交 GF 于 M， 由矩形的性质得 GFBC， DGEF2cm， GFDE3cm，再证AGFABC，求出 AM2（cm） ，则 AHAM+MH4（cm） ，即可求解 【解答】解：过 A 作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图所示： 则 MHEF2cm， 四边形 DEFG 是矩形， GFBC，DGEF2cm，GFDE3cm， GF
22、BC， AGFABC， ， 即， 解得：AM2（cm） ， AHAM+MH4（cm） ， 即边 BC 上的高的长是 4cm， 故答案为：4 16（4 分） 如图， 在ABC 中， D 是 AB 上一点， 如果BACD， AB6cm， AC4cm， 若 SABC36cm2，则ACD 的面积是 16 cm2 【分析】利用给定的条件可以判定ACDABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得ACD 的面积 【解答】解：D 是 AB 上一点 且BACD，AA， ACDABC， SABC36cm2 ACD 的面积是 3616， ACD 的面积是 16cm2 故应填：16 17 （4 分）如图，在
23、平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，联结 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB，如果 AB，AD4，AE2，那么 AF 的长为 【分析】如图，证明 AEAD，求出 DE 的长度；证明ADFDEC，得到；运用 AD4，DE2，CDAB，求出 AF 的长度，即可解决问题 【解答】解：如图，四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，BADC 而 AEBC， AEAD，ADFDEC DE2AE2+AD24+1620， DE2 AFEB， AFEADC，即ADF+DAFADF+EDC， DAFEDC ADFDEC， AD4，DE2，CDAB， AF 故答案为： 18 （
24、4 分）在 RtABC 中，C90，B30，AC2，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且 DEBC，BD2，将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1，点 D、E 分别对应点 D1、E1，当 A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 2 或 4 【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解 【解答】解：如图 1，当点 D1在线段 AE1上， ACD90，ABC30，AC2， AB4，BCAC2， 将BDE 绕点 B 旋转至BD1E1， D1B2DB，BD1E190， AD12， AD1BC，且 ACBD1， 四边形 ACBD1是平行四边形，且ACB90， 四边形 ACBD1是矩形，
25、 CD1AB4， 如图 2，当点 D1在线段 AE1的延长线上， ACBAD1B90， 点 A，点 B，点 D1，点 C 四点共圆， AD1CABC30， ACBD1，ABAB， RtABCRtBAD1（HL） D1ABABC30，且BAC60， CAD130AD1C， ACCD12， 综上所述：CD12 或 4， 故答案为：2 或 4 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）如图，已知向量 、 ，求作向量 ，满足（2 2 + ） （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【分析】由题意， 2 ，利用三角形法则画出向量 CD2 【解
26、答】解：（2 2 + ） ， 2 2 + 2 ， 2 ， 如图，即为所求 20 （10 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A（1，5） 、B（1，9） ，C（0，8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）如果点 D（x1，y1）和点 E（x2，y2）在函数图象上，那么当 0 x1x21 时，请直接写出 y1与 y2的大小关系：y1 y2 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得； （2）先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A（1，5） 、B（1，9） ，C（0，8） ， ， 解得， 二次函
27、数解析式为 yx22x+8； （2）yx22x+8（x+1）2+7， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小， 0 x1x21， y1y2 故答案为： 21 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx24x （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ，试求抛物线 yx24x的“不动点”的坐标 【分析】 （1）a10，故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（2，4） ； （2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t） ，则 tt24t，即可求解； 【解答
28、】解： （1）yx24x（x2）24， a10， 故该抛物线开口向上， 顶点 A 的坐标为（2，4） ， 当 x2，y 随 x 的增大而增大，当 x2，y 随 x 增大而减小； （2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t） ，则 tt24t， 解得：t0 或 5， 故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5） 22 （10 分）如图，已知 MNBC，A 是 MN 上一点，AMAN，MC 交 AB 于 D，NB 交 AC 于 E，联结 DE （1）求证：DEBC； （2）设 MC 与 BN 的交点为点 G，如果 DE1，BC4，求的值 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理得到ADMBDC，ANECB
29、E，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，求得 AN，得到 MN，推出MGNCGB，于是得到结论 【解答】 （1）证明：MNBC， ADMBDC，ANECBE， ， AMAN， ， DEBC； （2）解：DEBC， ADEABC， ， ， MNBC， BDEBAN， ， AN， MN， DEMN，DEBC， MNBC， MGNCGB， 23 （12 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，ACBC，过点 C 作射线 CPAB，D 为射线 CP上一点，E 在边 BC 上（不与 B、C 重合） ，且DAE45，AC 与 DE 交于点 O （1）
30、求证：ADEACB； （2）如果 CDCE，求证：CD2COCA 【分析】（1） 先由等腰直角ABC 得到BACB45， 从而结合DAE45得到DACEAB，再由平行线的性质得到ACPBACB45，从而得到ADCAEB，然后由相似三角形的性质得到 AD：AEAC：AB，转化为 AD：ACAE：AB，结合DAECAB45得证结果； （2）结合ACD45和ACB90，由 CDCE 得到CDECED22.5，从而得到DAC22.5，然后得到OCDDCA，最后得证结果 【解答】证明： （1）ABC 是等腰直角三角形， BACB45， DAE45，PCAB， DACEAB，ACDBACB45， ADCA
31、EB， ，即， DAEBAC45， ADEACB （2）ACD45，ACB90， CDE+CED180904545， CDCE， CDECED22.5， ADEACB， ADEACB90， CAD180ADECDEACD1809022.54522.5， CADCDE， 又OCDDCA， OCDDCA， ， CD2COCA 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线经过点 B（3，1） 、C（2，6） ，与 y 轴交于点 A，对称轴为直线 x1 （1）求抛物线的表达式； （2）求ABM 的面积； （3）点 P 是抛物线上一点，且PMBABM，试直接写出点 P 的坐
32、标 【分析】 （1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c，依题意得出三元一次方程组，解方程得出 a、b、c 的值，即可求出抛物线的解析式； （2）连接 AB，过点 M 作 y 轴的平行线交 AB 于点 Q，连接 AM、BM，求出直线 AB 的解析式，求出点Q 的坐标，得出 MQ 的长，再利用 SABMSMQA+SMQB，即可求出ABM 的面积； （3）分 PM 在 AB 的左侧和右侧两种情况进行讨论，即可得出点 P 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c， 抛物线经过点 B（3，1） 、C（2，6） ，对称轴为直线 x1， ， 解得：， 设抛物线解析式为：yx22x2
33、； （2）如图 1，连接 AB，过点 M 作 y 轴的平行线交 AB 于点 Q，连接 AM、BM， 当 x0 时，y2，当 x1 时，y3， A（0，2） ，M（1，3） ， 设直线 AB 的解析式为 ymx+n， 把 A（0，2） ，B（3，1）代入得： ， 解得：， yx2， 当 x1 时，y1， Q（1，1） ， MQ1（3）2， SABMSMQA+SMQB MQ|xBxA| 2|30| 3； （3）如图 2，分两种情况分类讨论： 当 PM 在 AB 的左侧时，PM 交 AB 于点 D，设 D（t，t2） ， B（3，1） 、M（1，3） ， BD，MD， PMBABM， BDMD， ，
34、 解得：t， D（，） ， 设直线 MD 的解析式为 ykx+b， ， 解得：， 直线 MD 的解析式为 y7x10， ， 解得：， P（8，46） ， 当 PM 在 AB 的右侧时，PM 交抛物线于点 P， PMBABM， ABPM， 设直线 MP 的解析式为 yx+d， 把 M（1，3）代入得：31+d， d4， 直线 MP 的解析式为 yx4， ， 解得：， P（2，2） ， 综上所述，点 P 的坐标为（8，46）或（2，2） 25 （14 分）矩形 ABCD 中，AB2，AD4，动点 E 在边 BC 上，不与点 B、C 重合，过点 A 作 DE 的垂线，交直线 CD 于点 F，交射线
35、BC 于点 G （1）如图，当点 G 在 BC 延长线上时，求的值；在点 E 的运动过程中，的值是否发生改变？ （2）设 BEm，用含 m 的代数式表示线段 CG 的长； （ 3 ） 如 果 点G在BC延 长 线 上 ， 当 DBE与 DFG相 似 时 ， 求DF的长 【分析】 （1）分点 G 在 BC 延长线上、点 G 在 BC 上两种情况，证明DCEADF，根据相似三角形的性质解答； （2）分点 G 在 BC 延长线上、点 G 在 BC 上两种情况，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案； （3）分DEBGFD、DEBDFG 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可 【
36、解答】解： （1）如图 1，设 DE 与 AG 交于点 H， 当点 G 在 BC 延长线上时， ADC90， ADH+CDE90， DEAG， ADH+DAH90， CDEDAF， DCEADF90， DCEADF， ； 如图 2，当点 G 在 BC 上时， 同理可证，DCEADF， ， 综上所述，在点 E 的运动过程中，的值不发生改变； （2）如图 1，当点 G 在 BC 延长线上时， BEm，BC4， EC4m， 由（1）可知：DF2EC82m， FCDCDF2（82m）2m6， ADCG， ，即， 解得：CG（3m4） ， 如图 2，当点 G 在 BC 上时， BEm，BC4， EC4m， 由（1）可知：DF2EC82m， FCDFDC（82m）262m， ADCG， ，即， 解得：CG（0m3） ； （3）如图 3，当DEBGFD 时，GDFDBE， DCGBCD， DCGBCD， ， CG1， ， ， 解得：DF； 当DEBDFG 时，设 DFa，则 FC2a，ECa， BE4a， ADCG， ，即， 解得：FG， DEBDFG， ，即， 整理得：3a2+8a160， 解得：a1，a24（舍去） ， 综上所述：当DBE 与DFG 相似时，DF 的长为或