1、2 202120220212022 学年九年级第一学期期中学业质量监测数学试卷学年九年级第一学期期中学业质量监测数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 点 P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （1，2） B （2，1） C （12） D （1，2） 3P 为O 内一点，OP3，O 半径为 5，则经过 P 点的最短弦长为（ ） A5 B6 C8 D10 4已知 a、b、c 为互不相等
2、的实数，则方程（ab）x2+（cb）x+ca0 必有一个根等于（ ） A1 B1 C0 D2 （第 5 题图） （第 6 题图） （第 7 题图） 5如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在BC 边上，且 ABCB，则C的度数为（ ） A18 B20 C24 D28 6 如图，AB 是O 的直径，点 C，D 为O 上的点若CAB20，则D 的度数为（ ） A70 B100 C110 D140 7 如图，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在O 上，边 BC 与O 相切，若正方形 ABCD 的周长记为 C1，O的周长记为 C2，则 C1、C2
3、的大小关系为（ ） AC1C2 B C1C2 CC1C2 D无法判断 8若函数 yx2+3x+c 的图象过点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3） ，则下列说法正确的是（ ） Ay1y3y2 By2y3y1 Cy2y1y3 Dy1y2y3 9如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，O 是矩形的对称中心，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，连接OE、OF，若 AEBF2，则 OE+OF 的值为（ ） A2 B5 C D2 （第（第 9 题图）题图） （第（第 10 题图）题图） 10如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标为（1，n） ，与
4、 y 轴的交点在（0，2） ，（0，3）之间（包含端点） ，有下列结论：a0；2a+b0；a+b+c0；当1x3 时，y0；n4其中正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（本大题共 8 小题，第 1112 题每小题 3 分，第 1318 题每小题 4 分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11若关于 x 的一元二次方程 kx26x+90 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12二次函数 yx2+3x+a 与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则另一个交点为 13用一个圆心角为 150，半径为 12 的扇形作一个圆锥的侧面，则这
5、个圆锥的底面半径 为 14已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2且 x1，x2满足 x12+x22x1x216，则 a 的值为 15二次函数 y（xh）2+k（h、k 均为常数）的图象经过 P1（3，y1） 、P2（1，y2） 、P3（1，y3）三点若 y2y1y3，则 h 的取值范围是 （第（第 16 题图）题图） （第（第 17 题图）题图） （第（第 18 题图）题图） 16如图，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 40到ABC的位置，连接 CC，若 CCAB，则BAC 的度数为 17如图，O 的半径为 6，如果弦 AB 是O 内接
6、正方形的一边，弦 AC 是O 内接正十二边形的一边，那么弦 BC 的长为 18如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，将ABC 绕点 C 旋转，得到ABC，点 A 的对应点为 A，P 为 AB的中点，连接 BP在旋转的过程中，线段 BP 长度的最大值为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （本小题满分 10 分） 解下列方程： （1）x24x120； （2）x（2x4）58x 20 （本小题满分 10 分） 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的
7、坐标为（4，4） ，请解答下列问题： （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的A2B2C； （3）在（2）的条件下，求 AC 扫过的面积 21 （本小题满分 10 分） 已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0） （1）若 a2，求抛物线解析式，并判断图象与 x 轴的交点的个数； （2）在 a0 的条件下，点 A（m，y1） ，B（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围 22. （本小题满分 11 分） 如图，四边形 ABCD 为菱形，以 AD 为直径作O 交 AB 于点 F，连接 DB 交O 于点 H，E
8、是 BC 上的一点，且 BEBF，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线 （2）若 BF2，DH，求O 的半径 23 （本小题满分 12 分） 新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品某药店销售一种口罩，每包进价为 9 元，日均销售量 y（包）与每包售价 x（元）成一次函数关系，且 10 x16当每包售价为 12 元时，日均销售量是 40 包当每包售价为 10 元时，日均销售量是 56 包 （1）求 y 关于 x 的函数表达式 （2）要使日均利润达到最大，每包售价应定为多少元？ （3）若进价提高了 a 元，要使日均利润达到最大，则每包售价应定为 14 元，求 a 的值 24 （本小题满分 12
9、 分） 如图，点 P 是等边ABC 内的一点，且 PA5，PB4，PC3，将APB 绕点 B 逆时针旋转 60，得到CQB （1）求点 P 与点 Q 之间的距离； （2）求BPC 的度数； （3）求ABC 的面积 25 （本小题满分 13 分） 如图 1， 抛物线 yx2+bx4 交 x 轴于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C， 且 OC2OB （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，BC，点 P 在抛物线上，且满足PBCACB，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 D 是抛物线上位于线段 AC 下方的一个动点，当点 D 在什么位置时，四边形 ABC
10、D 的面积最大？最大是多少？ 26. （本小题满分 12 分） 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形” 理解： （1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使ABC 为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹） ； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF=CD，试判断AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由； 运用： （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y=3 上的一点，若在O 上存在一
11、点 P，使得OPQ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐标 九年级数学期中测试参考答案九年级数学期中测试参考答案 一、 （每小题 3 分，共 30 分） 15 题题 A D CB C 610 题题 C B A D C 二、 （11-12 每小题 3 分，13-18 每小题 4 分，共 30 分） 11k1 且 k0； 12（2，0）； 135； 141； 152h1； 1670； 17 ； 18 11. 三、19(5 分+5 分) 解： （1）分解因式得： （x+2） （x6）0， 2 分 可得 x+20 或 x60， 解得：x12，x26； 5 分 （2）方程变形
12、得：2x2+4x50， 7 分 这里 a2，b4，c5， 16+40560， x， 9 分 解得：x1，x2 10 分 （其它解法对照给分） 20 （3 分+3 分+4 分） 解： （1）如图，A1B1C1即为所求 3 分 （2）如图，A2B2C 即为所求 6 分 （3）AC，AC 扫过的面积10 分 21.（4 分+6 分） 解： （1）当 a2 时，抛物线解析式为 y2x24x+5， （4）2425240， 抛物线与 x 轴的交点个数为 0； 4 分 （2）抛物线的对称轴为直线 x1， a0， 抛物线开口向上， 而 y1y2， |m1|31|， 即|m1|2， 2m12， 1m3 10 分
13、 22 （5 分+6 分） 证明：如图 1，连接 DF， 四边形 ABCD 为菱形， ABBCCDDA，ADBC，DABC， BFBE， ABBFBCBE， 即 AFCE， DAFDCE（SAS） ， DFADEC， AD 是O 的直径， DFA90， DEC90 ADBC， ADEDEC90， ODDE， OD 是O 的半径， DE 是O 的切线； 5 分 （2）解：如图 2，连接 AH， AD 是O 的直径， AHDDFA90， DFB90， ADAB，DH， DB2DH2， 在 RtADF 和 RtBDF 中， DF2AD2AF2，DF2BD2BF2， AD2AF2DB2BF2， AD2
14、（ADBF）2DB2BF2， ， AD5 O 的半径为 2.5 11 分 （其它解法对照给分）（其它解法对照给分） 23. （3 分+4 分+5 分） 解： （1）设 ykx+b， 将 x12、y40，x10、y56 代入，得： ， 解得， y8x+136； 3 分 （2）设日均毛利润为 w， 则 w（8x+136） （x9） 8x2+208x1224， 其对称轴 x13， 当 x13 时，日均毛利润达到最大； 7 分 （3）由题意， w（8x+136） （x9a） 8x2+（208+8a）x1224136a， 对称轴 x13+a， 13+a14， 解得 a2 12 分 24. （4 分+4
15、分+4 分） 解： （1）连接 PQ，如图 1， ABC 是等边三角形， ABC60，BABC， QCB 是PAB 绕点 B 逆时针旋转得到的， QCBPAB， BPBQ，PBQABC60，CQAP5， BPBQ4，PBQ60， PBQ 是等边三角形， PQPB4； 4 分 （2）QC5，PC3，PQ4， 而 32+4252， PC2+PQ2CQ2， PCQ 是直角三角形，且QPC90， PBQ 是等边三角形， BPQ60， BPCBPQ+QPC60+90150； 8 分 （3）如图 2，过点 C 作 CHBP，交 BP 的延长线于 H， BPC150， CPH30， CHPC，PHHC， B
16、H4+， BC2BH2+CH2+（4+）225+12， SABCBC2， SABC（25+12）+9 12 分 （其它解法对照给分）（其它解法对照给分） 25.（3 分+5 分+5 分） 解： （1）令 x0，则 y4， C（0，4） ， OC4， OC2OB， OB2， B（2，0） ， 将点 B（2，0）代入 yx2+bx4， 可得 b1， y12 x2+x4； 3 分 （2）延长 CA、BP 交于点 Q，设点 Q（m，n） ， PBCACB， QCQB， QC2QB2， m2+（n+4）2（2m）2+n2， m+2n+30， 令 y0，则x2+x40， 解得 x2 或 x4， A（4，0
17、） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， 得， ， yx4， 点 Q 在直线 AC 上， nm4， ， 解得， Q（5，1） ， 设直线 BQ 的解析式为 ypx+q， ， 解得， yx+， 联立， 解得 x2（舍）或 x， P（307，4449） 8 分 （3）过点 D 作 x 轴的垂线交线段 AC 于 N， 设 D（t，t2+t4） ，则 N（t，t4） ， DNt22t， SADC（t22t）4t24t， SABCABOC12， S四边形ABCDSADC+SABCt24t+12（t+2）2+16， 4t0， 当 t2 时，四边形 ABCD 的面积最大值为 16， D（2，4） 13
18、 分 （其它解法对照给分）（其它解法对照给分） 26. （4 分+4 分+4 分） 解： （1）如图 1 所示： 4 分 （画对一个得两分） （2）AEF 是否为“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为 4a， E 是 DC 的中点， DE=CE=2a， BC：FC=4：1， FC=a，BF=4aa=3a， 在 RtADE 中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2， 在 RtECF 中，EF2=（2a）2+a2=5a2， 在 RtABF 中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2， AE2+EF2=AF2， AEF 是直角三角形， 斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半， AEF 为“智慧三角形”； 8 分 （3）如图 3 所示： 由“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短， 则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3， 由勾股定理可得 PQ=2， PM=123=， 由勾股定理可求得 OM=， 故点 P 的坐标（，） ， （，） 12 分 （写对一个得两分）（写对一个得两分）