1、8 8. .6.36.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 1下列命题正确的是( ) A平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的无数条直线，则 B若平面 ，则 内的直线垂直于平面 C若平面 ，且 l，则过 内一点 P 与 l 垂直的直线垂直于平面 D若直线 a 与平面 内的无数条直线都垂直，则不能说一定有 a 答案 D 解析 A 项，平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 ，故 A 错误； B 项，由面面垂直的性质定理知，只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故 B 错误； C 项，平面 ，且 l，则过 内一点 P 与 l 垂直的直线，只有当此直线在 内时才垂直于 ，故 C 错
2、误； D 项，a 与平面 内的任意一条直线都垂直可以推出 a，故 D 正确 2设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( ) A若 m，n，mn，则 B若 m，n，mn，则 C若 m，n，mn，则 D若 m，n，mn，则 答案 C 解析 m，mn，n 或 n， 又 n，. 3 已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面， 若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是( ) A相等 B互补 C相等或互补 D既不相等也不互补 答案 A 解析 画图(图略)易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这两个二面角相等 4
3、.如图所示，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，ADDB，则( ) APD平面 ABC BPD平面 ABC CPD 与平面 ABC 相交但不垂直 DPD平面 ABC 答案 B 解析 因为 PAPB，ADDB，所以 PDAB. 又因为平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PD平面 PAB， 所以 PD平面 ABC. 5.(多选)如图，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，则下列说法正确的有( ) A平面 PAD平面 PAB B平面 PAD平面 PCD C平面 PBC平面 PAB D平面 PBC平面 PCD 答案 ABC 解析 由题意可得 CD平面 PAD
4、，AB平面 PAD， BC平面 PAB， 平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 PAD，平面 PBC平面 PAB，故选 ABC. 6在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，有下列四个命题： BC平面 PDF； 平面 PDF平面 ABC； DF平面 PAE； 平面 PAE平面 ABC. 其中正确命题的序号是_ 答案 解析 因为 D，F 分别是 AB，AC 的中点， 所以 DFBC， 又 DF平面 PDF，BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF，故正确； 因为 E 是 BC 的中点，所以 BCAE，BCPE. 因为 AEPEE，所以 BC平面 PAE. 因
5、为 BC平面 ABC，所以平面 PAE平面 ABC，故正确； 因为 DFBC，所以 DF平面 PAE，故正确； 只有不正确故正确的命题为. 7已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角的大小为_ 答案 60 解析 正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 2 6， 则底面边长为 2 3，底面积为 12，所以正四棱锥的高为 3， 所以侧面与底面所成的二面角的正切值为 3，故所求的二面角为 60 . 8 已知正三棱锥 SABC的所有棱长均为 2， 则侧面与底面所成二面角的余弦值为_ 答案 13 解析 如图，取 BC 的中点 E，连接 SE，AE， SBSCABA
6、C， SEBC，AEBC， SEA 即为所求二面角， SA2，SEAE 3， cosSEA3342 3 313. 9.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1的中点求证：平面 ABM平面 A1B1M. 证明 由长方体的性质可知 A1B1平面 BCC1B1， 又 BM平面 BCC1B1， 所以 A1B1BM. 又 CC12，M 为 CC1的中点， 所以 C1MCM1. 在 RtB1C1M 中，B1M B1C21MC21 2， 同理 BM BC2CM2 2， 又 B1B2， 所以 B1M2BM2B1B2，从而 BMB1M. 又 A1B1B1MB1，A1
7、B1，B1M平面 A1B1M， 所以 BM平面 A1B1M， 因为 BM平面 ABM， 所以平面 ABM平面 A1B1M. 10.如图所示， P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点， 四边形 ABCD 是DAB60 且边长为 a的菱形，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，G 为 AD 的中点求证： (1)BG平面 PAD； (2)ADPB. 证明 (1)由题意知PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点， PGAD. 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PG平面 PAD， PG平面 ABCD，又 BG平面 ABCD， PGBG. 又四边形 ABC
8、D 是菱形且DAB60 ， ABD 是正三角形，BGAD. 又 ADPGG，AD，PG平面 PAD， BG平面 PAD. (2)由(1)可知 BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面 PBG， AD平面 PBG， 又 PB平面 PBG，ADPB. 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1BDA 的正切值等于( ) A.33 B.22 C. 2 D. 3 答案 C 解析 如图所示， 连接 AC 交 BD 于点 O， 连接 A1O， A1OA 为二面角 A1BDA 的平面角， 设 A1Aa，则 AO22a， 所以 tanA1OAa22a
9、2. 12如图，平面 平面 ，A，B，AB 与两平面 ， 所成的角分别为4和6.过 A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A，B，则 ABAB等于( ) A21 B31 C32 D43 答案 A 解析 由已知条件可知BAB4，ABA6， 设 AB2a，则 BB2asin 4 2a， AB2acos 6 3a， 在 RtBBA中，得 ABa， ABAB21. 13.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结论中正确的是( ) APBAD B平面 PAB平面 PBC C直线 BC平面 PAE D直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 答案 D
10、解析 PA平面 ABC， ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角 六边形 ABCDEF 是正六边形，AD2AB， tanADPPAAD2AB2AB1， 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 . 14， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： mn；n；m. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_ 答案 解析 mn，将 m 和 n 平移到一起，则确定一平面， n，m， 该平面与平面 和平面 的交线也互相垂直， 从而平面 和平面 的二面角的平面角为 90 ，. 故答案为. 15.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，
11、PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案 DMPC(或 BMPC 等) 解析 由题意得 BDAC， PA平面 ABCD，PABD. 又 PAACA，PA，AC平面 PAC， BD平面 PAC，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD， 而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 16如图所示，在直角梯形 ABCD 中，ABBC，BCAD，AD2AB4，BC3，E 为AD 的中点，EFBC，垂足为 F.沿 EF 将四边形 ABFE 折起，连接 AD，A
12、C，BC，得到如图所示的六面体 ABCDEF.已知折起后 AB 的中点 M 到点 D 的距离为 3. (1)求证：平面 ABFE平面 CDEF； (2)求六面体 ABCDEF 的体积 (1)证明 取 EF 的中点 N，连接 MN，DN，MD. 根据题意可知，四边形 ABFE 是边长为 2 的正方形， 又 M，N 分别为 AB，EF 的中点， MNEF，MN2. 由题意得 DN DE2EN2 5，又 MD3， MN2DN222( 5)29MD2， MNDN， 又EFDNN， MN平面 CDEF. 又 MN平面 ABFE， 平面 ABFE平面 CDEF. (2)解 连接 CE，则 V六面体ABCDEFV四棱锥CABFEV三棱锥ACDE. 由(1)知 MN平面 CDEF， 又 MNBFAE， BF平面 CDEF，AE平面 CDEF， BFCF，又 CFEF，BFEFF， CF平面 ABFE， V四棱锥CABFE13 S正方形ABFE CF43， V三棱锥ACDE13 SCDE AE43， V六面体ABCDEF434383.