1、8.6.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 第一课时第一课时 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 基础达标 一、选择题 1.直线 l平面 ，l平面 ，则 与 的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.垂直 D.相交不垂直 解析 由面面垂直的判定定理，得 与 垂直，故选 C. 答案 C 2.下列命题中正确的是( ) A.平面 和 分别过两条互相垂直的直线，则 B.若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条平行直线，则 C.若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，则 D.若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 解析 当平面 和 分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面
2、和 有可能平行，故 A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D 错，C 正确. 答案 C 3.一个二面角 (0 90 )的两个半平面分别垂直于另一个二面角 (0 90)的两个半平面，则这两个二面角的关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补 解析 画出图象易得到 与 相等或互补.而 ， 均为锐角， 与 相等. 答案 A 4.从空间一点 P 向二面角 l 的两个面 ， 分别作垂线 PE，PF，E，F 为垂足，若EPF60 ，则二面角 l 的平面角的大小是( ) A.60 B.120 C.60 或 120 D.不确定 解析 PE，PF， P，E，F 三点确定的平面垂直
3、于 和 . 过点 E 作 l 的垂线，垂足为 O，连接 OF，易知 lOF 且 P，E，O，F 四点共面，则FOE 为二面角的平面角，如图 1 所示. 图 1 此时，FOEEPF180 ， 所以二面角 l 的平面角为 120 . 当点 P 的位置如图 2 所示时， 图 2 此时FOEEPF， 所以二面角 l 的平面角为 60 . 答案 C 5.如图所示，AB 是圆 O 的直径，C 是异于 A，B 两点的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆 O 所在的平面，则PAB，PAC，ABC，PBC 中，直角三角形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 AB 是O 的直径， ACB90 ，即 B
4、CAC. ABC 为直角三角形. 又 PAO 所在平面，AC，AB，BC 都在O 所在平面内，PAAC，PAAB，PABC， PAC，PAB 是直角三角形， 又 PAACA，BC平面 PAC. PC平面 PAC，BCPC， PBC 是直角三角形， 从而PAB，PAC，ABC，PBC 均为直角三角形. 答案 D 二、填空题 6.在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 的中点，有下列四个命题： BC平面 PDF； 平面 PDF平面 ABC； DF平面 PAE； 平面 PAE平面 ABC.其中正确命题的序号是_(把所有正确命题的序号都填上). 解析 因为 D，F 分别是 AB
5、，AC 的中点，所以 DFBC，又 DF平面 PDF，BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF， 故正确； 因为 E 是 BC 的中点， 所以 BCAE，BCPE.因为 AEPEE，所以 BC平面 PAE.因为 BC平面 ABC，所以平面PAE平面 ABC，故正确；因为 DFBC，所以 DF平面 PAE，故正确；只有不正确.故正确的命题为. 答案 7.已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC 3，BC2，则二面角 DBCA 的大小为_. 解析 如图，由题意知 ABACBDCD 3，BCAD2. 取 BC 的中点 E，连接 DE，AE， 则 AEBC，DEBC， 所以DEA 为
6、所求二面角的平面角. 易得 AEDE 2， 又 AD2，所以 DE2AE2AD2，即DEA90 ，即所求二面角的大小为 90 . 答案 90 8.在 RtABC 中，D 是斜边 AB 的中点，AC6，BC8，EC平面 ABC，且 EC12，则 ED_. 解析 如图，连接 CD，则在 RtABC 中，CD12AB. 因为 AC6，BC8， 所以 AB 628210. 所以 CD5. 因为 EC平面 ABC，CD平面 ABC，所以 ECCD. 所以 ED EC2CD2 1225213. 答案 13 三、解答题 9.如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD，
7、ABBD. 证明：平面 ACD平面 ABC. 证明 由题设可得ABDCBD. 从而 ADCD，又ACD 为直角三角形， 所以ADC90 ， 取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO， 又由于ABC 是正三角形，故 BOAC， 所以DOB 为二面角 DACB 的平面角. 在 RtAOB 中，BO2OA2AB2， 又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90 ，所以平面 ADC平面 ABC. 10.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D 为 AB 的中点. (1)求点 C 与平面 A1ABB1的距离； (
8、2)若 AB1A1C，求二面角 A1CDC1的平面角的余弦值. 解 (1)由 ACBC，D 为 AB 的中点，得 CDAB，又 CDAA1，ABAA1A，AB，AA1平面 A1ABB1，得 CD平面 A1ABB1，所以 C 到平面 A1ABB1的距离为CD BC2BD2 5. (2)如图，取 D1为 A1B1的中点，连接 DD1， 则 DD1AA1CC1. 又由(1)知 CD平面 A1ABB1， 故 CDA1D，CDDD1， 所以A1DD1为所求的二面角 A1CDC1的平面角. 因 CD平面 A1ABB1，AB1平面 A1ABB1， 所以 AB1CD， 又已知 AB1A1C，A1CCDC，A1
9、C，CD平面 A1CD， 所以 AB1平面 A1CD，故 AB1A1D，从而A1AB1，A1DA 都与B1AB 互余，因此A1AB1A1DA， 所以 RtA1ADRtB1A1A. 因此AA1ADA1B1AA1，即 AA21AD A1B18， 得 A1A2 2.从而 A1D AA21AD22 3. 所以，在 RtA1DD1中， cos A1DD1DD1A1DAA1A1D63. 能力提升 11.如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB，Bl，AB 与 l 所成的角为 30 ，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_. 解析 如图，作 AO 于 O，ACl 于 C，连接 OB，OC，则 OCl，则
10、ACO为二面角 l 的平面角，ABC 为 AB 与 l 所成的角. 设 AB 与 所成的角为 ， 则ABO.由图得 sin AOABACABAOACsin 30 sin 6034. 答案 34 12.由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形， O为 AC 与BD的交点， E为AD的中点， A1E平面ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以
11、A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1OO1C， 又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1， 所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EMBD，又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 A1EBD， 因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1， 又 A1E，EM平面 A1EM，A1EEME，A1E，EM平面 A1EM， 所以 B1D1平面 A1EM， 又 B1D1平面 B1CD1， 所以平面 A1EM平面 B1CD1. 创新猜想 13.(多选题)如图所示，四边形
12、 ABCD 中，ADBC，ADAB1，BCD45 ，BAD90 ，将ABD 沿 BD 折起，点 A 到达 A的位置，此时 AC 3，构成三棱锥 ABCD，则( ) A.平面 ABD平面 BDC B.平面 ABD平面 ABC C.平面 ADC平面 BDC D.平面 ADC平面 ABC 解析 在三棱锥 ABDC 中， ADAB1， 故 BD 2， DC 2， 又 AC 3，故 AC2AD2DC2，则 CDAD，又 CDBD，ADBDD，所以 CD平面ABD， 故平面 ABD平面 BDC.又 CD平面 ABD， 所以 CDAB.又 ABAD，ADCDD，所以 AB平面 ADC，故平面 ADC平面 ABC. 答案 AD 14.(开放题)， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： mn；n；m. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(答案不唯一，写出一个即可). 解析 若mn，n 成立，则 m 与 可能平行也可能相交，也可能 m，即m 不一定成立；若mn，m 成立，则 n 与 可能平行也可能相交， 也可能 n， 即n 不一定成立； 若mn， n，m 成立，则 一定成立；若，n，m 成立，则mn一定成立. (或) 答案 (或)