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8.6.1直线与直线垂直 课时对点练(含答案)

1、8.68.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.18.6.1 直线与直线垂直直线与直线垂直 1若空间三条直线 a,b,c 满足 ab,bc,则直线 a 与 c( ) A一定平行 B一定垂直 C一定是异面直线 D一定相交 答案 B 解析 ab,bc,ac. 2.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是( ) A直线 AA1 B直线 A1B1 C直线 A1D1 D直线 B1C1 答案 D 解析 根据异面直线的概念可看出直线 AA1,A1B1,A1D1都和直线 EF 为异面直线;B1C1和EF 在同一平面内,且这

2、两直线不平行 直线 B1C1和直线 EF 相交,即选项 D 正确 3在空间四边形 ABCD 中,AB,BC,CD 的中点分别是 P,Q,R,且 PQ2,QR 5,PR3,那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是( ) A90 B60 C45 D30 答案 A 解析 PQR(或其补角)为所求,由勾股定理的逆定理可知PQR90 . 4如图所示,在等边三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边中点,G,H,I,J 分别为 AF,AD, BE, DE 的中点 将ABC 沿 DE, EF, DF 折成三棱锥后, GH 与 IJ 所成角的度数为( ) A90 B60 C45 D0 答案 B 解析 将三角形

3、折成三棱锥, 如图所示, GH 与 IJ 为异面直线, 在三棱锥 ADEF 中, IJAD,GHDF,所以ADF 即为所求, 因此 GH 与 IJ 所成角为 60 . 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CC1的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A.22 B.32 C.52 D.72 答案 C 解析 如图,连接 BE,ABCD, 异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角,即EAB(或其补角) 不妨设正方体的棱长为 2,则 CE1,BC2,由勾股定理得 BE 5,AC2 2,AE3. AB2BE2AE2,ABBE, tanEA

4、BBEAB52. 6.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,AC 与 B1D1所成的角为_,AC 与 D1C1所成的角为_ 答案 90 45 解析 B1D1与 AC 是异面直线,连接 BD,交 AC 于点 O,易知 BDB1D1, 所以DOC 或其补角为 B1D1与 AC 所成的角 因为 BDAC,所以DOC90 , 所以 B1D1与 AC 所成的角是 90 . 因为 DCD1C1,所以ACD 是 AC 与 D1C1所成的角, 又ACD45 ,所以 AC 与 D1C1所成的角是 45 . 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为 C1D1的中点,则异面直线 AE 与 A1B1所

5、成角的余弦值为_ 答案 13 解析 设棱长为 1,连接 AD1,A1B1C1D1, AED1(或其补角)就是异面直线 AE 与 A1B1所成的角 AD1 2,AE32, 在 RtAED1中,cosAED1D1EAE123213. 8.如图,空间四边形 ABCD 的对角线 AC8,BD6,M,N 分别为 AB,CD 的中点,并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90 ,则 MN_. 答案 5 解析 如图,取 AD 的中点 P,连接 PM,PN, 则 BDPM,ACPN, MPN 或其补角即为异面直线 AC 与 BD 所成的角, MPN90 , PN12AC4,PM12BD3, MN5. 9.

6、如图所示,在等腰直角三角形 ABC 中,BAC90 ,BC 2,DAAC,DAAB,若DA1,且 E 为 DA 的中点,求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 解 如图,取 AC 的中点 F,连接 EF,BF. 在ACD 中,E,F 分别是 AD,AC 的中点,EFCD, BEF(或其补角)即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 在 RtABC 中,BC 2,ABAC,ABAC1. 在 RtEAB 中,AB1, AE12AD12,BE52. 在 RtAEF 中,AF12AC12,AE12,EF22. 在 RtABF 中,AB1,AF12,BF52. 在等腰三角形 EBF 中,cosF

7、EB12EFBE24521010, 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为1010. 10.如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,A1AAB,E,F 分别是 BD1和 AD 的中点求证:CD1EF. 证明 如图,取 CD1的中点 G,连接 EG,DG. E 是 BD1的中点, EGBC,EG12BC, F 是 AD 的中点,且 ADBC,ADBC, DFBC,DF12BC, EGDF,EGDF,四边形 EFDG 是平行四边形, EFDG, DGD1(或其补角)是异面直线 CD1与 EF 所成的角 又A1AAB, 四边形 ABB1A1,四边形 CDD1C1都是正方形, 又 G 为 CD

8、1的中点, DGCD1,D1GD90 , 异面直线 CD1与 EF 所成的角为 90 , CD1EF. 11.如图,在三棱锥 DABC 中,ACBD,且 ACBD,E,F 分别是棱 DC,AB 的中点,则EF 和 AC 所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 答案 B 解析 如图所示,取 BC 的中点 G,连接 FG,EG. E,F 分别是 CD,AB 的中点, FGAC,EGBD, 且 FG12AC,EG12BD. EFG 为 EF 与 AC 所成的角(或其补角) 又ACBD,FGEG. 又ACBD,FGEG,FGE90 , EFG 为等腰直角三角形, EFG45 ,即 EF 与

9、 AC 所成的角为 45 . 12当动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上运动时,异面直线 D1P 与 BC1所成角的取值范围是( ) A.6,4 B.6,3 C.4,3 D.3,2 答案 C 解析 设正方体棱长为 1,DPx,则 x0,1,连接 AD1,AP, 由 AD1BC1可知,AD1P(或其补角)即为异面直线 D1P 与 BC1所成角, 在AD1P 中,AD1 2,APD1P 1x2, 故 cosAD1P221x2, 又x0,1, cos AD1P221x212,22, 又AD1P(0,),AD1P4,3,故选 C. 13.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原

10、正方体纸盒中有如下结论,正确的是( ) AABEF BAB 与 CM 所成的角为 60 CEF 与 MN 是异面直线 DMNCD 答案 AC 解析 把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知,ABEF,EF 与 MN 是异面直线,ABCM,MNCD,只有 AC 正确 14在正方体 ABCDA1B1C1D1中,AB 的中点为 M,DD1的中点为 N,则异面直线 B1M 与CN 所成的角为_ 答案 90 解析 如图,取 AA1的中点 E,连接 EN,BE, 设 BE 交 B1M 于点 O,易知 ENBC,且 ENBC, 四边形 BCNE 是平行四边形, BECN, BOM 或其补角即为异面直线 B

11、1M 与 CN 所成的角 由 BB1AB,AEBM,EABMBB1, 得 RtBB1MRtABE, BMB1AEB,BOM90 . 15.如图所示,圆锥的底面直径 AB4,高 OC2 2,D 为底面圆周上的一点,且AOD120 ,则直线 AD 与 BC 所成的角为_ 答案 60 解析 如图, 延长 DO 交底面圆于点 E, 连接 BE, CE, 由 AB, DE 均为圆的直径知 ADBE,且 ADBE, 所以CBE 即为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角 在AOD 中,AD2OAsin 60 2 3, 在CBE 中,CBCEBE2 3,所以CBE 为正三角形, 所以CBE60 . 16

12、在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 是菱形,且 AB2 3,ABC120 ,若A1BAD1,求 AA1的长 解 如图所示,连接 CD1,AC. 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,A1D1BC,A1D1BC2 3, 四边形 A1BCD1是平行四边形,A1BCD1, AD1C(或其补角)为异面直线 A1B 和 AD1所成的角, A1BAD1,即异面直线 A1B 和 AD1所成的角为 90 , AD1C90 . 又易知 AD1D1C,ACD1是等腰直角三角形, AD122AC. ABBC2 3,ABC120 , AC2 3sin 60 26, AD122AC3 2, AA1 AD21A1D21 6.