1、8 8. .6.26.2 直线与平面垂直直线与平面垂直 1已知ABC，若直线 lAB，lAC，直线 mBC，mAC，则 l，m 的位置关系是( ) A相交 B异面 C平行 D不确定 答案 C 解析 依题意知 l平面 ABC，m平面 ABC， lm. 2下列说法中，正确的有( ) 如果一条直线垂直于平面内的四条直线，那么这条直线和这个平面垂直； 过直线 l 外一点 P，有且仅有一个平面与 l 垂直； 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面； 过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 C 解析
2、 不正确，其他三项均正确 3.如图，l，点 A，C，点 B，且 BA，BC，那么直线 l 与直线 AC 的关系是( ) A异面 B平行 C垂直 D不确定 答案 C 解析 AB，l，ABl， 又BC，l，BCl， 又 ABBCB，AB，BC平面 ABC， l平面 ABC， 又 AC平面 ABC，lAC. 4.如图，三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 ABC 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 答案 A 5.如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P，PB，C 是平面 内异于 A 和 B 的动点，
3、且 PCAC，则ABC 为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定 答案 B 解析 易证 AC平面 PBC，又 BC平面 PBC， 所以 ACBC. 6 平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O， 点 P 在平行四边形 ABCD 所在平面外， 且 PAPC，PDPB，则 PO 与平面 ABCD 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点， POAC， 同理 POBD，又 ACBDO， PO平面 ABCD. 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，EBD，FB1D1，且 EFAB，则 EF 与 AA1的位置关系是_ 答案 平行 解析 如图，
4、ABBB1，ABEF，且 AB 不垂直于平面 BB1D1D， EF 与 BB1不相交，EFBB1， 又 AA1BB1，EFAA1. 8在矩形 ABCD 中，AB1，BC 2，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是_ 答案 30 解析 由题意知PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角 在 RtPAC 中，tanPCAPAAC1333， PCA30 . 9.如图所示，四边形 ABCD 是正方形，DE平面 ABCD，DEDA2. (1)求证：AC平面 BDE； (2)求 AE 与平面 BDE 所成角的大小 (1)证明 四边形 ABCD 是正方形，ACBD. DE平面
5、ABCD，AC平面 ABCD，ACDE， BD，DE平面 BED，BDDED， AC平面 BDE. (2)解 设 ACBDO，连接 EO，如图所示 AC平面 BDE，EO 是直线 AE 在平面 BDE 上的射影， AEO 即为 AE 与平面 BDE 所成的角 在 RtEAD 中，EA AD2DE22 2，AO 2， 在 RtEOA 中，sinAEOAOEA12， AEO30 ，即 AE 与平面 BDE 所成的角为 30 . 10.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直求证：EFBD1. 证明 如图所示，连接 AB1，B1D1，B1C，BD， DD1平
6、面 ABCD，AC平面 ABCD，DD1AC. 又 ACBD，DD1BDD，DD1，BD平面 BDD1B1， AC平面 BDD1B1， 又 BD1平面 BDD1B1， ACBD1. 同理可证 BD1B1C， 又 ACB1CC，AC，B1C平面 AB1C， BD1平面 AB1C. EFA1D，A1DB1C，EFB1C. 又EFAC，ACB1CC，AC，B1C平面 AB1C， EF平面 AB1C，EFBD1. 11如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记
7、为 H，那么，在这个空间图形中必有( ) AAGEFH 所在平面 BAHEFH 所在平面 CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面 答案 B 解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，可推出 AH平面 EFH. 12 在四面体PABC中， 若PAPBPC， 则点P在平面ABC内的射影一定是ABC的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 答案 A 解析 如图，设点 P 在平面 ABC 内的射影为点 O，连接 OP，则 PO平面 ABC， 连接 OA，OB，OC， POOA，POOB，POOC， 又 PAPBPC， RtPOARtPOB RtPOC， 则 OAOBOC， O 为ABC
8、的外心 13.如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ABBB1 21，则 AB1与平面 BB1C1C 所成角的大小为( ) A45 B60 C30 D75 答案 A 解析 取 BC 的中点 D，连接 AD，B1D， ADBC 且 ADBB1，BCBB1B，BC，BB1平面 BCC1B1， AD平面 BCC1B1， AB1D 即为 AB1与平面 BB1C1C 所成的角 设 AB 2，则 AA11，AD62，AB1 3， sinAB1DADAB122，AB1D45 . 即 AB1与平面 BB1C1C 所成的角为 45 . 14.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面
9、A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 答案 A1C1B190 解析 如图所示，连接 B1C，由 BCCC1，可得 BC1B1C，因此，要证 AB1BC1，则只要证明 BC1平面 AB1C，即只要证 ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证 ACBC 即可因为 A1C1AC，B1C1BC，故只要证 A1C1B1C1即可(或者能推出 A1C1B1C1的条件，如A1C1B190 等) 15(多选)如图所示，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中正确的是( ) AACSB BAB平面 SCD CSA 与平面
10、SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 答案 ABC 解析 对于选项 A， 由题意得 SDAC， ACBD， SDBDD， SD， BD平面 SBD， AC平面 SBD，故 ACSB，故 A 正确；对于选项 B，ABCD，AB平面 SCD，CD平面 SCD，AB平面 SCD，故 B 正确；对于选项 C，由对称性知 SA 与平面SBD 所成的角与 SC 与平面 SBD 所成的角相等，故 C 正确 16.如图，PA矩形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点 (1)求证：MN平面 PAD； (2)若 PD 与
11、平面 ABCD 所成的角为 ，当 为多少度时，MN平面 PCD? (1)证明 取 PD 的中点 E，连接 NE，AE，如图 又N 是 PC 的中点， NEDC 且 NE12DC， 又DCAB 且 DCAB， AM12AB， AMCD 且 AM12CD，NEAM，且 NEAM， 四边形 AMNE 是平行四边形，MNAE. AE平面 PAD，MN平面 PAD， MN平面 PAD. (2)解 当 45 时，MN平面 PCD，证明如下 PA平面 ABCD， PDA 即为 PD 与平面 ABCD 所成的角， PDA45 ，APAD，AEPD. 又MNAE，MNPD. PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD. 又CDAD，PAADA，PA，AD平面 PAD， CD平面 PAD. AE平面 PAD，CDAE， CDMN.又 CDPDD，CD，PD平面 PCD， MN平面 PCD.