1、8 8. .6.26.2 直线与平面垂直直线与平面垂直 第一课时第一课时 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 基础达标 一、选择题 1.已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( ) A.有且只有一个 B.至多有一个 C.有一个或无数个 D.不存在 解析 若异面直线 m，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在. 答案 B 2.线段 AB 的长等于它在平面 内的射影长的 2 倍，则 AB 所在直线与平面 所成的角为( ) A.30 B.45 C.60 D.120 解析 如图， AC， ABB， 则 BC 是 AB 在平面 内的射影， 且 BC12AB，AB
2、C 为 AB 所在直线与平面所成的角. 在 RtABC 中，cosABCBCAB12，ABC60 ，即 AB 与平面 所成的角为 60 . 答案 C 3.已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出 m 的是( ) A.，且 m B.mn，且 n C.mn，且 n D.mn，且 n 解析 A 中，由 ，且 m，知 m；B 中，由 n，知 n 垂直于平面 内的任意直线，再由 mn，知 m 也垂直于 内的任意直线，所以 m，符合题意；C，D 中，m或 m 或 m 与 相交，不符合题意.故选 B. 答案 B 4.空间四边形 ABCD 的四边相等，则它
3、的两对角线 AC，BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 解析 取 BD 中点 O，连接 AO，CO， 则 BDAO，BDCO，且 AOCOO， BD平面 AOC， 又 AC平面 AOC， BDAC， 又 BD，AC 异面，选 C. 答案 C 5.如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P，PB，C 是平面 内异于 A 和 B 的动点，且 PCAC，则ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 解析 易证 AC平面 PBC，又 BC平面 PBC，所以 ACBC. 答案 B 二、填空题 6.如图
4、所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若B1MN 是直角，则C1MN_. 解析 B1C1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1MB1C1B1，MN平面 C1B1M，MNC1M，即C1MN90 . 答案 90 7.平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O，点 P 在平行四边形 ABCD 所在平面外，且 PAPC，PDPB，则 PO 与平面 ABCD 的位置关系是_. 解析 因为 PAPC， O 是 AC 的中点， 所以 POAC， 同理 POBD， 又 ACBDO，AC，BD平面 ABCD，所以 PO平面 AB
5、CD. 答案 垂直 8.如图，四棱锥 SABCD 底面为正方形，SD底面 ABCD，则下列结论中正确的有_个. ACSB； AB平面 SCD； SA 与平面 ABCD 所成的角是SAD； AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角. 解析 SD平面 ABCD，AC平面 ABCD， SDAC.四边形 ABCD 为正方形， BDAC，又 SDBDD， AC平面 SBD，而 SB平面 SBD， ACSB，故正确. ABCD，AB平面 SDC，CD平面 SDC， AB平面 SCD，故正确. SD平面 ABCD， SA 在底面上的射影为 AD， SA 与底面 ABCD 所成的角为SAD，正确
6、. ABCD，故也正确. 答案 4 三、解答题 9.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，求证：EF平面 BB1O. 证明 四边形 ABCD 为正方形， ACBO. 又BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD， ACBB1， 又BOBB1B，BO，BB1平面 BB1O， AC平面 BB1O， 又 EF 是ABC 的中位线， EFAC，EF平面 BB1O. 10.如图，AB 为O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，ANPM，N 为垂足. (1)求证：AN平面 PBM； (2)若 AQPB，垂足为 Q
7、，求证：NQPB. 证明 (1)AB 为O 的直径， AMBM. 又 PA平面 ABM，BM平面 ABM， PABM. 又PAAMA，PA，AM平面 PAM， BM平面 PAM. 又 AN平面 PAM， BMAN. 又 ANPM，且 BMPMM，BM，PM平面 PBM， AN平面 PBM. (2)由(1)知 AN平面 PBM， 又 PB平面 PBM， ANPB. 又AQPB，ANAQA，AN，AQ平面 ANQ， PB平面 ANQ. 又 NQ平面 ANQ，PBNQ. 能力提升 11.已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面 ABC，SA3，那么直线
8、AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为_. 解析 如图所示，取 BC 的中点 D，连接 SD，AD，则 BCAD. 过点 A 作 AGSD 于点 G，连接 GB. SA底面 ABC，BC平面 ABC， BCSA，又 SAADA， BC平面 SAD. 又 AG平面 SAD，AGBC. 又 AGSD，SDBCD， AG平面 SBC. ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. AB2，SA3， AD 3，SD2 3. 在 RtSAD 中，AGSA ADSD32. sinABGAGAB32234. 答案 34 12.如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5，AA1
9、 7，BB12 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (1)求证：EF平面 A1B1BA； (2)求证：直线 AE平面 BCB1； (3)求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小. (1)证明 如图，连接 A1B. 在A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，所以 EFBA1. 又因为 EF平面 A1B1BA，BA1平面 A1B1BA， 所以 EF平面 A1B1BA. (2)证明 因为 ABAC，E 为 BC 的中点， 所以 AEBC. 因为 AA1平面 ABC，BB1AA1， 所以 BB1平面 ABC， 又 AE平面 ABC， 从而 BB1AE.
10、 又因为 BCBB1B，BC，BB1平面 BCB1， 所以 AE平面 BCB1. (3)解 取 BB1的中点 M 和 B1C 的中点 N， 连接 A1M，A1N，NE. 因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点， 所以 NEB1B，NE12B1B， 故 NEA1A 且 NEA1A， 所以 A1NAE，且 A1NAE. 又因为 AE平面 BCB1， 所以 A1N平面 BCB1， 从而A1B1N 为直线 A1B1与平面 BCB1所成的角. 在ABC 中，可得 AE2， 所以 A1NAE2. 因为 BMAA1，BMAA1， 所以四边形 MBAA1为平行四边形， 所以 A1MAB，A1MAB
11、， 又由 ABBB1，得 A1MBB1. 在 RtA1MB1中， 可得 A1B1 B1M2A1M24. 在 RtA1NB1中， sinA1B1NA1NA1B112， 因此A1B1N30 . 所以，直线 A1B1与平面 BCB1所成的角为 30 . 创新猜想 13.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线 AB 与平面 CDE 垂直的是( ) 解析 对于 A，由 AB 与 CE 所成角为 45 ，可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于 B，由 ABCE，ABED，且 CEEDE，可得 AB平面 CDE；对于 C，由 AB 与 CE 所成角为 60 ， 可得直线 AB 与平面 CDE 不垂直
12、； 对于 D， 连接 AC，由 ED平面 ABC，可得 EDAB，同理可得 ECAB，又 EDECE，所以AB平面 CDE.故选 BD. 答案 BD 14.(开放题)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有 AB1BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可). 解析 如图所示， 连接 B1C， 由 BCCC1， 可得 BC1B1C， 因此， 要证 AB1BC1，则只要证明 BC1平面 AB1C，即只要证 ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证 ACBC 即可.因为 A1C1AC，B1C1BC，故只要证 A1C1B1C1即可(或者能推出 A1C1B1C1的条件，如A1C1B190 等). 答案 A1C1B1C1(答案不唯一)