1、8.6.1 直线与直线垂直直线与直线垂直 A 级基础过关练 1一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A相交 B异面 C相交或异面 D平行 2如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为 AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) A45 B60 C90 D120 3 一个正方体的展开图如图所示， A， B， C， D 为原正方体的顶点， 则在原来的正方体中( ) AABCD BAB 与 CD 相交 CABCD DAB 与 CD 所成的角为 60 4在下列图形中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所
2、在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有( ) A B C D 5如图，空间四边形 ABCD 的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为 AB，CD 的中点，并且异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90 ，则 MN( ) A3 B4 C5 D6 6已知正四棱锥 P-ABCD，PA2，AB 2，M 是侧棱 PC 的中点，且 BM 2，则异面直线 PA 与 BM 所成角为_ 7如图，已知正方体 ABCD-ABCD. (1)BC与 CD所成的角为_； (2)AD 与 BC所成的角为_ 8在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F
3、 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小 9在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 A1B1，B1C1的中点，求异面直线 DB1与 EF所成角的大小 B 级能力提升练 10在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 AB 2BB1，则 AB1与 BC1所成的角的大小是( ) A60 B75 C90 D105 11(多选)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述错误的是( ) ACC1与 B1E 是异面直线 BC1C 与 AE 共面 CAE 与 B1C1是异面直线 DAE 与 B1C1所成的角为
4、 60 12已知 a 和 b 是成 60 角的两条异面直线，则过空间一点且与 a，b 都成 60 角的直线共有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 13在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A15 B56 C55 D22 14如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正
5、确结论的序号都填上) 15在四面体 A-BCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点若 BD，AC 所成的角为 60 ，且BDAC1，求 EF 的长度 16如图所示，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90 ，BC 2，DAAC，DAAB，若DA1，且 E 为 DA 的中点，求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值 C 级探索创新练 17如图，三棱锥 A-BCD 中，ACBD，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，并使 AEEBCFFDm(m0)，设 为异面直线 EF 和 AC 所成的角， 为异面直线 EF 和 BD 所成的角，试求 的值 参考答案 A 级基础过关练 1 【答案】C 【解析
6、】如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 AA1与直线 B1C1是异面直线，与 B1C1平行的直线有 A1D1，AD，BC，显然直线 AA1与 A1D1相交，与 BC 异面 2 【答案】B 【解析】连接 A1B，BC1.E，F，G，H 分别是 AA1，AB，BB1，B1C1的中点，A1BEF，BC1GH.A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角(或其补角) 连接A1C1知， A1BC1为正三角形，故A1BC160 . 3 【答案】D 【解析】将展开图还原成正方体如右图ABDE，CDE(或其补角)是 AB 与 CD 所成角 CDDECE， CDE60 .在原来的正方体中AB与
7、CD所成的角为60 .故选D 4 【答案】B 【解析】图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面； 图中， 连接 MG(图略)， GMHN， 因此 GH 与 MN 共面； 图中， G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面故选 B 5 【答案】C 【解析】取 AD 的中点 P，连接 PM，PN，则 BDPM，ACPN，MPN 即异面直线 AC与 BD 所成的角，MPN90 ，PN12AC4，PM12BD3，MN5. 6 【答案】45 【解析】 如图， 连接 AC， BD 交于点 O， 连接 OM， 则OMB 为异面
8、直线 PA 与 BM 所成角 由O，M 分别为 AC，PC 中点，得 OM12PA1.在 RtAOB 中，易得 OBAB tan 45 1.又BM 2，即 OB2OM2BM2，所以OMB 为直角三角形，且OMB45 . 7 【答案】(1)60 (2)45 【解析】 连接 BA， 则 BACD.连接 AC， 则ABC(或其补角)为 BC与 CD所成的角由ABC为正三角形，可知ABC60 .由 ADBC，可知CBC(或其补角)为 AD 与 BC所成的角，易知CBC45 . 8解：(1)如图所示，连接 B1C，AB1. 由 ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知 A1DB1C，从而 B1C 与 A
9、C 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角(或其补角) AB1ACB1C， B1CA60 ，即 A1D 与 AC 所成的角为 60 . (2)如图所示，连接 BD，交 AC 于 O. 易知 BDEF，ACA1C1， AOB(或其补角)为 A1C1与 EF 所成的角 ACBD，AOB90 ，即 A1C1与 EF 所成角为 90 . 9解：如图所示，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取 DD1的中点 G，连接 OG，A1G， C1G， 则 OGB1D， EFA1C1， GOA1为异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) GA1GC1，O 为 A1C1的中点， GOA1C1.
10、异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . B 级能力提升练 10 【答案】C 【解析】设 BB11，如图，延长 CC1至 C2，使 C1C2CC11，连接 B1C2，则 B1C2BC1，所以AB1C2为 AB1与 BC1所成的角(或其补角)连接 AC2，因为 AB1 3，B1C2 3，AC2 6，所以 AC22AB21B1C22，则AB1C290 . 11 【答案】ABD 【解析】由于 CC1与 B1E 都在平面 C1B1BC 内，故 C1C 与 B1E 共面，A 错误；由于 C1C 在平面 C1B1BC 内，而 AE 与平面 C1B1BC 相交于 E 点，点 E 不在 C1C 上，故
11、C1C 与 AE 是异面直线，B 错误；同理 AE 与 B1C1是异面直线，C 正确；AE 与 B1C1所成的角就是 AE 与 BC所成的角，而 E 为 BC 中点，ABC 为正三角形，所以 AEBC，即 AE 与 B1C1所成的角为90 ，D 错误 12 【答案】C 【解析】把 a 平移至 a与 b 相交，其夹角为 60 ，60 角的补角的平分线 c 与 a，b 成 60角，过空间这一点作直线 c 的平行线即满足条件在 60 角的“平分面”上还有两条满足条件故选 C 13 【答案】C 【解析】如图，连接 BD1，交 DB1于点 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM.易知 O 为 BD1
12、的中点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角(或其补角)因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1， AA1 3， AD1 AD2DD212， DMAD212AB252， DB1 AB2AD2DD21 5，所以 OM12AD11，OD12DB152.于是在DMO 中，由余弦定理，得 cosMOD12522522215255，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为55.故选 C 14 【答案】 【解析】中 AM 与 CC1是异面直线；中 AM 与 BN 是异面直线；易知正确 15解：如图，取 BC 中点 O，连接 OE，OF.OEAC，OFBD，OE 与
13、 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角 而 AC，BD 所成的角为 60 ， EOF60 或EOF120 . 当EOF60 时，EFOEOF12； 当EOF120 时，取 EF 的中点 M，连接 OM，则 OMEF，EF2EM23432. 16解：取 AC 的中点 F，连接 EF，BF.在ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，所以EFCD所以BEF(或其补角)即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 在 RtABC 中，BC 2，ABAC，所以 ABAC1. 在 RtEAB 中，AB1，AE12AD12，所以 BE52.在 RtAEF 中，AF12AC12，AE12，所以 EF22.在 RtABF 中，AB1，AF12，所以 BF52. 在等腰三角形 EBF 中， cosFEB12EFBE24521010. 所以异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为1010. C 级探索创新练 17解：过点 F 作 MFBD，交 BC 于点 M，连接 ME， 则 CMMBCFFDm. 又因为 AEEBCFFDm， 所以 CMMBAEEB 所以 EMAC 所以 MEF，MFE. 所以 AC 与 BD 所成的角为EMF. 又因为 ACBD，所以EMF90 . 所以 90 .