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8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习(含答案)

1、8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 A 级基础过关练 1长方体的长,宽,高分别为 a,2a,2a 它的顶点都在球面上,则这个球的体积是( ) A27a38 B27a32 C9a32 D9a38 2已知球的表面积为 16,则它的内接正方体的表面积 S 的值是( ) A4 B32 C24 D12 3用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面圆的面积为 ,则球的表面积为( ) A83 B323 C8 D8 23 4把一个铁制的底面半径为 r,高为 h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为( ) Ar h2 Br2h4 C3r2h4 Dr2h2

2、 5已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A B34 C2 D4 6若一个球的表面积与其体积在数值上相等,则此球的半径为_ 7 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3, 体积为 6, 则这个球的表面积为_ 8如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则V1V2的值是_ 9某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 r1,l3,试求该组合体的表面积和体积 10已知过球面上 A,B,C 三点的截面到球心的距离等于球半径的

3、一半,且 AB18,BC24,AC30,求球的表面积和体积 B 级能力提升练 11已知长方体共顶点的三条棱长分别是 3,4,x,且它的 8 个顶点都在同一个球面上若这个球的表面积为 125,则 x 的值为( ) A5 B6 C8 D10 12已知某圆柱形容器的轴截面是边长为 2 的正方形,容器中装满液体,现向此容器中放入一个实心小球,使得小球完全被液体淹没,则此时容器中所余液体的最小容量为( ) A4 B23 C D43 13鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、 左右

4、、 前后完全对称, 从外表上看, 六根等长的正四棱柱分成三组, 经 90 榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为 8,底面正方形的边长为 2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器的表面积的最小值为( ) A21 B40 C41 D84 14若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,则它们的表面积的大小关系是( ) AS球S圆柱S正方体 BS正方体S球S圆柱 CS圆柱S球S正方体 DS球S正方体S圆柱 15若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开,其展开图是半径为 5,面积为 15 的扇形,则与该圆锥等体积的球的半径为_ 16如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器

5、,容器高 4 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 3 cm,如果不计容器的厚度,则球的表面积为_cm2. 17已知盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm,两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中若取出这两个小球,则水面将下降多少厘米? 18已知一倒置圆锥的母线长为 10 cm,底面半径为 6 cm. (1)求该圆锥的高; (2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中, 求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积 C 级探索创新练 19有三个球,第一个球可内切于正方形,第二个球可与这个正方体的各条棱相切,第三个球可过这个正方体的各个顶点,这三

6、个球的表面积之比为( ) A1 2 3 B149 C111 D123 参考答案 A 级基础过关练 1 【答案】C 【解析】设这个球的半径为 R,根据条件可知,外接球直径 2R a22a22a23a,则R32a,所以该球的体积为43R392a3.故选 C 2 【答案】B 【解析】设球的内接正方体的棱长为 a,由题意知球的半径为 2,则 3a216,所以 a2163,正方体的表面积 S6a2616332.故选 B 3 【答案】C 【解析】设球的半径为 R,则截面圆的半径为 R21,截面圆的面积为 S()R212(R21).R22.球的表面积 S4R28. 4 【答案】C 【解析】设铁球的半径为 R

7、,因为13r2h43R3,所以 R3r2h4.故选 C 5 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为 r,球的半径为 R,且 R1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R 及圆柱的高的一半构成直角三角形r112232.圆柱的体积为 Vr2h34134.故选 B 6 【答案】3 【解析】设此球的半径为 R,则 4R243R3,R3. 7 【答案】16 【解析】设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a.由 V13a2ha26,得 a 6.由题意知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为 r,则(3r)2( 3)2r2,解得 r2,则 S球4r216. 8 【答案】32 【解析】设球 O 的半径为

8、R,球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切,圆柱 O1O2的高为 2R,底面半径为 R.V1V2R2 2R43R332. 9解:该组合体的表面积 S4r22rl41221310. 该组合体的体积 V43r3r2l4313123133. 10解:因为 ABBCAC182430345,所以ABC 是直角三角形,B90 . 又球心 O 到截面ABC 的投影 O为截面圆的圆心,也即是 RtABC 的外接圆的圆心,所以斜边 AC 为截面圆 O的直径(如图所示) 设 OCr,OCR,则球半径为 R,截面圆半径为 r. 在 RtOCO 中, 由题设知 sin OCOOOOC12, 所以OCO30

9、, 所以rRcos 3032,即 R23r,(*) 又 2rAC30r15,代入(*)得 R10 3. 所以球的表面积为 S4R24(10 3)21 200. 球的体积为 V43R343(10 3)34 000 3. B 级能力提升练 11 【答案】D 【解析】 设球的半径为 r, 则 4r2125, r21254.又 3242x2(2r)2, 916x2125,x2100,即 x10.故选 D 12 【答案】B 【解析】圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形,故圆柱底面半径为 r1,母线长为 l2.当小球与圆柱的侧面或上、下底面相切时,所余液体容量最小又 rl2,故小球恰好与圆柱侧面和底面同时相

10、切,此时小球的体积为43,所余液体容量为 24323.故选 B 13 【答案】D 【解析】表面积最小的球形容器可看成长、宽、高分别为 4,2,8 的长方体的外接球,设其半径为 R,则(2R)2422282,即 4R284,所以球的最小表面积为 4R284.故选 D 14 【答案】A 【解析】设等边圆柱底面圆半径为 r,球半径为 R,正方体棱长为 a,则 r2 2r43R3a3,Rr332,ar32.S圆柱6r2,S球4R2,S正方体6a2,S球S圆柱4R26r223Rr23231, S正方体S圆柱6a26r21ar2341.故选 A 15 【答案】39 【解析】设圆锥的底面半径为 r,母线长为

11、 l,则扇形的侧面展开图面积 S122r 515,r3.该圆锥的高 h 52324,V圆锥1332 412.设球的半径为 R,由题意得43R312,R39. 16 【答案】25 【解析】设球的半径为 R,则球的截面圆的半径为 2,且球心到截面圆的距离是 R(43)R1,故 R2(R1)222,解得 R52,所以球的表面积 S4R225. 17解:设取出小球后,容器中的水面下降了 h cm, 两个小球的体积为 V球2435231253(cm3) 该体积等于它们在容器中排开水的体积 V52h,所以125352h,解得 h53. 故取出这两个小球,水面将下降53 cm. 18解:(1)设圆锥的高为

12、h cm,底面半径为 R cm,母线长为 l cm, 则 h l2R2 102628,所以圆锥的高为 8 cm. (2)球放入圆锥后的轴截面如图所示,设球的半径为 r cm. 易得OCDACO1,则OCACODAO1,即8r10r6,解得 r3. 圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积, 即V圆锥V球136284333963660(cm3),故此时圆锥剩余空间的体积为 60 cm3. C 级探索创新练 19 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为 2,则内切球的半径为 1,与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离,也就是面对角线长的一半为2 22 2,外接球的半径为2 32 3.球的表面积 S4R2,这三个球的表面积之比为 414243123.故选 D