1、8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 A 级基础过关练 1长方体的长，宽，高分别为 a,2a,2a 它的顶点都在球面上，则这个球的体积是( ) A27a38 B27a32 C9a32 D9a38 2已知球的表面积为 16，则它的内接正方体的表面积 S 的值是( ) A4 B32 C24 D12 3用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为 ，则球的表面积为( ) A83 B323 C8 D8 23 4把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( ) Ar h2 Br2h4 C3r2h4 Dr2h2
2、 5已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A B34 C2 D4 6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_ 7 已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3， 体积为 6， 则这个球的表面积为_ 8如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_ 9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r1，l3，试求该组合体的表面积和体积 10已知过球面上 A，B，C 三点的截面到球心的距离等于球半径的
3、一半，且 AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积 B 级能力提升练 11已知长方体共顶点的三条棱长分别是 3,4，x，且它的 8 个顶点都在同一个球面上若这个球的表面积为 125，则 x 的值为( ) A5 B6 C8 D10 12已知某圆柱形容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为( ) A4 B23 C D43 13鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、 左右
4、、 前后完全对称， 从外表上看， 六根等长的正四棱柱分成三组， 经 90 榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为 8，底面正方形的边长为 2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，则该球形容器的表面积的最小值为( ) A21 B40 C41 D84 14若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( ) AS球S圆柱S正方体 BS正方体S球S圆柱 CS圆柱S球S正方体 DS球S正方体S圆柱 15若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为 5，面积为 15 的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为_ 16如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器
5、，容器高 4 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 3 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为_cm2. 17已知盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中若取出这两个小球，则水面将下降多少厘米？ 18已知一倒置圆锥的母线长为 10 cm，底面半径为 6 cm. (1)求该圆锥的高； (2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中， 求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积 C 级探索创新练 19有三个球，第一个球可内切于正方形，第二个球可与这个正方体的各条棱相切，第三个球可过这个正方体的各个顶点，这三
6、个球的表面积之比为( ) A1 2 3 B149 C111 D123 参考答案 A 级基础过关练 1 【答案】C 【解析】设这个球的半径为 R，根据条件可知，外接球直径 2R a22a22a23a，则R32a，所以该球的体积为43R392a3.故选 C 2 【答案】B 【解析】设球的内接正方体的棱长为 a，由题意知球的半径为 2，则 3a216，所以 a2163，正方体的表面积 S6a2616332.故选 B 3 【答案】C 【解析】设球的半径为 R，则截面圆的半径为 R21，截面圆的面积为 S()R212(R21).R22.球的表面积 S4R28. 4 【答案】C 【解析】设铁球的半径为 R
7、，因为13r2h43R3，所以 R3r2h4.故选 C 5 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形r112232.圆柱的体积为 Vr2h34134.故选 B 6 【答案】3 【解析】设此球的半径为 R，则 4R243R3，R3. 7 【答案】16 【解析】设正四棱锥的高为 h，底面边长为 a.由 V13a2ha26，得 a 6.由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 r，则(3r)2( 3)2r2，解得 r2，则 S球4r216. 8 【答案】32 【解析】设球 O 的半径为
8、R，球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 R.V1V2R2 2R43R332. 9解：该组合体的表面积 S4r22rl41221310. 该组合体的体积 V43r3r2l4313123133. 10解：因为 ABBCAC182430345，所以ABC 是直角三角形，B90 . 又球心 O 到截面ABC 的投影 O为截面圆的圆心，也即是 RtABC 的外接圆的圆心，所以斜边 AC 为截面圆 O的直径(如图所示) 设 OCr，OCR，则球半径为 R，截面圆半径为 r. 在 RtOCO 中， 由题设知 sin OCOOOOC12， 所以OCO30
9、， 所以rRcos 3032，即 R23r，(*) 又 2rAC30r15，代入(*)得 R10 3. 所以球的表面积为 S4R24(10 3)21 200. 球的体积为 V43R343(10 3)34 000 3. B 级能力提升练 11 【答案】D 【解析】 设球的半径为 r， 则 4r2125， r21254.又 3242x2(2r)2， 916x2125，x2100，即 x10.故选 D 12 【答案】B 【解析】圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，故圆柱底面半径为 r1，母线长为 l2.当小球与圆柱的侧面或上、下底面相切时，所余液体容量最小又 rl2，故小球恰好与圆柱侧面和底面同时相
10、切，此时小球的体积为43，所余液体容量为 24323.故选 B 13 【答案】D 【解析】表面积最小的球形容器可看成长、宽、高分别为 4,2,8 的长方体的外接球，设其半径为 R，则(2R)2422282，即 4R284，所以球的最小表面积为 4R284.故选 D 14 【答案】A 【解析】设等边圆柱底面圆半径为 r，球半径为 R，正方体棱长为 a，则 r2 2r43R3a3，Rr332，ar32.S圆柱6r2，S球4R2，S正方体6a2，S球S圆柱4R26r223Rr23231， S正方体S圆柱6a26r21ar2341.故选 A 15 【答案】39 【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为
11、 l，则扇形的侧面展开图面积 S122r 515，r3.该圆锥的高 h 52324，V圆锥1332 412.设球的半径为 R，由题意得43R312，R39. 16 【答案】25 【解析】设球的半径为 R，则球的截面圆的半径为 2，且球心到截面圆的距离是 R(43)R1，故 R2(R1)222，解得 R52，所以球的表面积 S4R225. 17解：设取出小球后，容器中的水面下降了 h cm， 两个小球的体积为 V球2435231253(cm3) 该体积等于它们在容器中排开水的体积 V52h，所以125352h，解得 h53. 故取出这两个小球，水面将下降53 cm. 18解：(1)设圆锥的高为
12、h cm，底面半径为 R cm，母线长为 l cm， 则 h l2R2 102628，所以圆锥的高为 8 cm. (2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为 r cm. 易得OCDACO1，则OCACODAO1，即8r10r6，解得 r3. 圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积， 即V圆锥V球136284333963660(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为 60 cm3. C 级探索创新练 19 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为 2，则内切球的半径为 1，与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离，也就是面对角线长的一半为2 22 2，外接球的半径为2 32 3.球的表面积 S4R2，这三个球的表面积之比为 414243123.故选 D