1、8 8. .4 4 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 8 8. .4.14.1 平平 面面 基础达标 一、选择题 1.下列有关平面的说法正确的是( ) A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示平面 解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故 A项不正确； 平面图形和平面是两个概念， 平面图形是有大小的， 而平面无法度量，故 B 项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故 C 项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面
2、，故D 项正确. 答案 D 2.下列命题中正确的是( ) A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若 A，B，C，D 既在平面 内，又在平面 内，则平面 和平面 重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 解析 共线的三点不能确定一个平面，故 A 错；当 A，B，C，D 四点共线时，这两个平面可以是相交的，故 C 错；四边都相等的四边形可以是空间四边形. 答案 B 3.已知平面 与平面 ， 都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A.1 条或 2 条 B.2 条或 3 条 C.1 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条 解析 当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有 1
3、 条交线；当平面 和 平行时，它们的交线有 2 条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3 条交线. 答案 D 4.已知 ， 为平面，A，B，M，N 为点，a 为直线，下列推理错误的是( ) A.Aa，A，Ba，Ba B.M，M，N，NMN C.A，AA D.A，B，M，A，B，M，且 A，B，M 不共线，重合 解析 A，A，A(). 由基本事实可知 为经过 A 的一条直线而不是 A. 故 A 的写法错误. 答案 C 5.空间四点 A，B，C，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 解析 如图所示，A，C，
4、D 均不正确，只有 B 正确. 答案 B 二、填空题 6.平面 ， 相交， ， 内各取两点， 这四点都不在交线上， 这四点能确定_个平面. 解析 (1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定 1 个平面； (2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定 4 个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点. 答案 1 或 4 7.给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是_. 解析 命题错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内； 命题错， 若交于同
5、一点时， 可以不共面， 如正方体同一顶点的三条棱；命题错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上；命题错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为 0. 答案 0 8.(1)空间任意 4 点，没有任何 3 点共线，它们最多可以确定_个平面. (2)空间 5 点，其中有 4 点共面，它们没有任何 3 点共线，这 5 个点最多可以确定_个平面. 解析 (1)可以想象三棱锥的 4 个顶点，它们总共确定 4 个平面. (2)可以想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面. 答案 (1)4 (2)7 三、解答题 9.如图，若 l，A，B，C，且 AB 与 l 不平行，试画出平面
6、 ABC 与平面 ， 的交线. 解 若 l，A，B， AB 是平面 ABC 与 的交线. 延长 BA 交 l 于 D，则 D平面 ABC， C， CD 是平面 ABC 与 的交线， 则对应的图示如图. 10.已知ABC在平面外， 其三边所在的直线满足ABP， BCQ， ACR，如图所示，求证：P，Q，R 三点共线. 证明 法一 ABP， PAB，P平面 . 又 AB平面 ABC， P平面 ABC. 由基本事实 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 的交线上. P，Q，R 三点共线. 法二 APARA， 直线 AP 与直线 AR 确定平面
7、 APR. 又ABP，ACR， 平面 APR平面 PR. B平面 APR，C平面 APR， BC平面 APR. QBC， Q平面 APR， 又 Q，QPR， P，Q，R 三点共线. 能力提升 11.在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，若 EF 与 HG 交于点 M，则( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上，也不在 BD 上 解析 由题意得 EF平面 ABC，HG平面 ACD，又 EFHGM，故 M平面ABC，且 M平面 ACD，又平面 ABC平面
8、ACDAC，所以 M 一定在直线 AC上. 答案 A 12.如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 CB 上的点，G，H 分别是CD 和 AD 上的点，且AEEBCFFB1，AHHDCGGD2.求证：EH，BD，FG 三条直线相交于同一点. 证明 连接 EF，GH，AC. 因为AEEBCFFB1，AHHDCGGD2， 所以 EFAC，HGAC 且 EFHG， 所以 EH，FG 共面，且 EH 与 FG 不平行， 不妨设 EHFGP， 则 PEH，EH平面 ABD， 所以 P平面 ABD； 同理 P平面 BCD. 又因为平面 ABD平面 BCDBD， 所以 PBD， 所以 E
9、H，BD，FG 三条直线相交于同一点 P. 创新猜想 13.(多选题)已知 A，B，C 表示不同的点，l 表示直线， 表示不同的平面，则下列推理正确的是( ) A.Al，A，Bl，Bl B.A，A，B，BAB C.l，AlA D.A，Al，llA 解析 显然 A，B，D 正确.C 中 l分两种情况：l 与 相交或 l.当 l 与 相交时，若交点为 A，则 A，C 错误.故选 ABD. 答案 ABD 14.(多选题)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E，F，G 分别为棱 BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形 ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( ) A.A，C，
10、O1，D1四点共面 B.D，E，G，F 四点共面 C.A，E，F，D1四点共面 D.G，E，O1，O2四点共面 解析 因为正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别为棱 BC，CC1，B1C1的中点， O1， O2分别为四边形 ADD1A1， A1B1C1D1的中心， 所以 O1是 AD1的中点，所以 O1在平面 ACD1内，故 A 正确；因为 E，G，F 在平面 BCC1B1内，D 不在平面 BCC1B1内， 所以 D， E， G， F 四点不共面， 故 B 错误； 由已知可知 EFAD1，所以 A，E，F，D1四点共面，故 C 正确；连接 GO2并延长，交 A1D1于 H，则 H为 A1D1的中点，连接 HO1，则 HO1GE，所以 G，E，O1，O2四点共面. 答案 ACD