1、8 8. .4.24.2 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 基础达标 一、选择题 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). 答案 D 2.如果直线 a平面 ，那么直线 a 与平面 内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 解析 直线 a平面 ，则 a 与 无公共点，与 内的直线当然均无公共点. 答案 D 3.两平面 ， 平行，a，下列四个命题： a 与 内的所有直线平行；a 与
2、 内无数条直线平行； 直线 a 与 内任何一条直线都不垂直；a 与 没有公共点. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 错误，a 不是与 内的所有直线平行，而是与 内的无数条直线平行，有一些是异面；正确；错误，直线 a 与 内无数条直线垂直；根据定义，a 与 没有公共点，正确. 答案 B 4.若直线 a 不平行于平面 ，则下列结论成立的是( ) A. 内的所有直线均与 a 异面 B. 内不存在与 a 平行的直线 C. 内的直线均与 a 相交 D.直线 a 与平面 有公共点 解析 若直线 a 不平行于平面 ，则 aA 或 a，故 D 项正确. 答案 D 5.与两个相交平面
3、的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在两个平面内 D.至少与其中一个平面平行 解析 一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行； 其二是在一个平面内且平行于另一个平面， 符合至少与其中一个平面平行. 答案 D 二、填空题 6.在四棱锥 PABCD 中，各棱所在的直线互相异面的有_对. 解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形 ABCD 是平面图形，4 条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与 2 条侧棱组成 2 对异面直线，所以共有 428(对)异面直线. 答案 8 7.下列命题： 两个平面有无数个公共点，
4、则这两个平面重合； 若 l，m 是异面直线，l，m，则 . 其中错误命题的序号为_. 解析 对于， 两个平面相交， 则有一条交线， 也有无数多个公共点， 故错误；对于， 借助于正方体 ABCDA1B1C1D1， AB平面 DCC1D1， B1C1平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1异面，而平面 DCC1D1与平面 AA1D1D 相交，故错误. 答案 8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是_(填序号). 不可能只有两条交线；必相交于一点；必相交于一条直线；必相交于三条平行线. 解析 空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点. 答案 三、
5、解答题 9.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么 AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解 还原的正方体如图所示： 根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为 AB 与 CD，AB 与 GH，EF 与 GH. 10.如图，平面 ， 满足 ，a，b，判断 a 与 b、a 与 的位置关系并证明你的结论. 解 ab，a.证明如下： 由 a 知 a且 a， 由 b 知 b且 b， ，a，b，a，b 无公共点. 又a且 b，ab. ，与 无公共点. 又 a，a 与 无公共点，a. 能力提升 11.已知下列说法： 若两个平面 ，a，b，则 ab； 若两个
6、平面 ，a，b，则 a 与 b 是异面直线； 若两个平面 ，a，b，则 a 与 b 一定不相交； 若两个平面 ，a，b，则 a 与 b 平行或异面； 若两个平面 b，a，则 a 与 一定相交. 其中正确的序号是_(将你认为正确的序号都填上). 解析 错，a 与 b 也可能异面；错，a 与 b 也可能平行；对，与 无公共点，又a，b，a 与 b 无公共点；对，由已知及知：a与 b 无公共点，那么 ab 或 a 与 b 异面；错，a 与 也可能平行. 答案 12.如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图 1 中，E，F 分别是 C1D1，BB1的中点，画出图 1，图 2 中有阴影的平面与平面
7、ABCD 的交线，并给出证明. 解 在图 1 中，设 N 为 CD 的中点，连接 NE，NB，则 ENBF，B，N，E，F四点共面.EF与NB的延长线相交， 设交点为M， 连接AM.MEF， 且MNB，EF平面 AEF，NB平面 ABCD，M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点，又点 A 是平面 ABCD 和平面 AEF 的公共点，AM 为两平面的交线. 在图 2 中， 延长 DC 到点 M， 使 CMDC， 连接 BM， C1M， 则 C1MD1CA1B，M 在平面 A1BC1内. 又M 在平面 ABCD 内，M 是平面 A1BC1与平面 ABCD 的公共点，又点 B 是平面 A1B
8、C1与平面 ABCD 的公共点，BM 是平面 A1BC1与平面 ABCD 的交线. 创新猜想 13.(多选题)下列命题中的真命题是( ) A.若直线 a 不在平面内，则 a B.若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l C.若 l，则直线 l 与平面 内任何一条直线都没有公共点 D.平行于同一平面的两直线可以相交 解析 A 中，直线 a 也可能与平面 相交，故 A 是假命题；B 中，直线 l 与平面 相交时，l 上也有无数个点不在平面 内，故 B 是假命题；C 中，l 时，l与 没有公共点，所以 l 与 内任何一条直线都没有公共点，故 C 是真命题；D中，长方体 ABCDA1B1C1D1中，A1C1与 B1D1都与平面 ABCD 平行，且 A1C1与 B1D1相交，故 D 是真命题. 答案 CD 14.(多选题)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( ) A.CDGH B.AB 与 EF 异面 C.ADEF D.AB 与 CD 相交 解析 把展开图还原成正方体，如图所示.由正方体的性质得 CDGH，AB 与EF 异面，AD 与 EF 异面，AB 与 CD 相交，故选 ABD. 答案 ABD