1、第二课时第二课时 球的表面积和体积球的表面积和体积 基础达标 一、选择题 1.两个球的半径之比为 13，那么两个球的表面积之比为( ) A.19 B.127 C.13 D.11 解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为 R21R2219. 答案 A 2.设正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是( ) A.43 B.83 C.4 3 D.32 3 解析 设正方体的棱长为 a，则由题意可知，6a224，a2. 设正方体外接球的半径为 R，则 3a2R，R 3，V球43R34 3. 答案 C 3.一个正方体的八个顶点都在半径为 1 的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8 B.8 2 C.8
2、 3 D.4 2 解析 球的半径为 1，且正方体内接于球， 球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为 2.不妨设正方体的棱长为 a，则有 3a24，即 a243. 正方体的表面积为 6a26438. 答案 A 4.如图，圆柱形容器内盛有高度为 6 cm 的水，若放入 3 个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 解析 设球的半径为 r cm， 依题意得三个球的体积和水的体积之和等于高度为 6r cm 的圆柱体的体积， 343r3r26r26r，解得 r3.故选 B. 答案 B 5.已
3、知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上， 若 AB3， AC4，ABAC，AA112，则球 O 的表面积为( ) A.153 B.160 C.169 D.360 解析 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球 O 的半径 R123242122132，所以球 O的表面积 S41322169，故选 C. 答案 C 二、填空题 6.长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_. 解析 球的直径是长方体的体对角线，所以 2R 322212 14，S4R214. 答案 14 7.
4、已知球的半径为 2， 相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆， 若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于_. 解析 设两圆的圆心分别为 O1，O2，球心为 O，公共弦为 AB，其中点为 E，则OO1EO2为矩形，于是对角线 O1O2OE，而 OE OA2AE2 3， O1O2 3. 答案 3 8.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为98， 底面周长为 3， 则这个球的体积为_. 解析 设正六棱柱的底面边长为 x，高为 h， 则有6x3，98634x2h，x12，h 3. 正六棱柱的底面外接圆的半径 r12， 球心到底面的距离 d
5、32. 外接球的半径 R r2d21，V球43. 答案 43 三、解答题 9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的表面积. 解 如图，设球心为 O，球的半径为 r，EF 为正四棱锥的高， 则在 RtAOF 中，(4r)2( 2)2r2， 解得 r94， 该球的表面积为 4r24942814. 10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解 如图， O 是球的最大截面， 它内切于ABC， 球的半径为 r.设将球取出后，水面在 MN 处， MN 与 C
6、D 交于点 E.则 DOr， AD 3r， ABACBC2 3r， CD3r.由图形知 V圆锥CEV圆锥CD13ME2 CE 13AD2 CD CE3CD3. 又V圆锥CD3( 3r)2 3r3r3， V圆锥CEV圆锥CDV球O3r343r353r3， 5r333r3CE3(3r)3，CE315r. 球从容器中取出后，水的深度为315r. 能力提升 11.已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 如图所示，当 OC平面 OAB 时，三棱锥 O
7、ABC 的体积最大.设球 O 的半径为 R，此时 VOABCVCAOB1312R2 R16R336，故 R6，则球 O 的表面积 S4R2144，故选 C. 答案 C 12.正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6，内有一个球与它的四个面都相切，求： (1)棱锥的表面积； (2)内切球的表面积与体积. 解 (1)如图，过点 P 作 PD平面 ABC 于 D， 连接 AD 并延长交 BC 于 E，连接 PE. PABC 为正三棱锥， AE 是 BC 边上的高和中线，D 为ABC 的中心. AB2 6，SABC34(2 6)26 3， DE1332AB 2，PE 3. SPABSPBCSPCA122
8、 6 33 2. S表9 26 3. (2)设球的半径为 r，以球心 O 为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥. PD1，VPABC136 312 3. 则由等体积可得 r32 39 26 3 62， S球4( 62)2(4016 6)，V球43( 62)3. 创新猜想 13.(多选题)正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，外接球的表面积为 24，则正四棱锥 PABCD 的高可能是( ) A. 62 B. 31 C. 62 D. 31 解析 设四棱锥的高为 h，外接球的半径为 R，由 4R224，得 R 6.如图(1)所示：OH2HC2OC2， 即(h 6)226，得 h2
9、6. 如图(2)所示：OH2HC2OC2， 即( 6h)226，得 h 62. 综上，正四棱锥 PABCD 的高为 62 或 62. 图(1) 图(2) 答案 AC 14.(多空题)有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切， 第三个球过这个正方体的各个顶点.设这三个球的表面积依次为 S1，S2，S3，若正方体的棱长为 a，则 S1_，S2_，S3_. 解析 设这三个球的半径分别为 r1，r2，r3，球的表面积分别为 S1，S2，S3.作出截面图，分别求出三个球的半径. 正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图所示，有 2r1a，r1a2，S14r21a2. 球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，有 2r2 2a，r222a，S24r222a2. 正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图所示，有2r3 3a，r332a，S34r233a2. 答案 a2 2a2 3a2