1、8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A 组 基础巩固练 一、选择题 1如图，ABC- ABC是体积为 1 的棱柱，则四棱锥 C- AABB 的体积是( ) A13 B12 C23 D34 2正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( ) A48 6 B64 C16 D96 3棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成 12(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A19 B18 C14 D13 4若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( ) A 3 B 2 C
2、23 D32 5四棱台的两底面分别是边长为 x 和 y 的正方形，各侧棱长都相等，高为 z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( ) A1x1y1z B1y1x1z C1z1x1y D1z1xy 二、填空题 6已知一个长方体的三个面的面积分别是 2， 3， 6，则这个长方体的体积为_ 7(一题两空)已知棱长为 1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是_，体积是_ 8.如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中， 则点 A 到平面 A1BD 的距离 d_. 三、解答题 9已知四面体 ABCD 中，ABCD 13，BCAD2 5，BDAC5，求四面体 ABCD
3、的体积 10如图，已知正三棱锥 S- ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO3，求此正三棱锥的表面积 B 组 素养提升练 11正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( ) A3 B43 C32 D1 12正三棱锥的底面周长为 6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( ) A4 23 B 2 C2 23 D23 13(一题两空)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为 4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为 4,3 的直角三角形，侧棱长为 3，则此几何体的体积是_，表面积是_ 14 如图， 在多面体 ABCD
4、EF 中， 已知平面 ABCD 是边长为 4 的正方形， EFAB， EF2，EF 上任意一点到平面 ABCD 的距离均为 3，求该多面体的体积 C 组 思维提升练 15一个正三棱锥 P- ABC 的底面边长为 a，高为 h.一个正三棱柱 A1B1C1- A0B0C0的顶点 A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面ABC 上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？ 参考答案 A 组 基础巩固练 一、选择题 1 【答案】C 【解析】VC- ABC13VABC- ABC13，VC- AABB11323. 2 【答案】B 3 【答案】B 【解析】两个锥体的侧面积之比为 19，小锥体与台体
5、的侧面积之比为 18，故选 B 4 【答案】A 【解析】如图所示，正方体的 A、C、D、B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为 a， 则正四面体边长为 2a. 正方体表面积 S16a2， 正四面体表面积为 S2434( 2a)22 3a2， S1S26a22 3a2 3. 5 【答案】C 【解析】由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为 h， 则根据条件得， 4xy2 hx2y2，z2yx22h2， 消去 h得，4z2(xy)2(yx)2(yx)2(x2y2)2. 4z2(xy)24x2y2， z(xy)xy， 1z1x1y. 二、填空题 6 【答案】 6 【解析】 设长方体从一点
6、出发的三条棱长分别为 a， b， c， 则 ab 2，ac 3，bc 6，三式相乘得(abc)26，故长方体的体积 Vabc 6. 7 【答案】 3 212 【解析】S表43412 3， V体133412 1233 2212. 8.【答案】33a 【解析】在三棱锥 A1- ABD 中，AA1是三棱锥 A1- ABD 的高，ABADAA1a，A1BBDA1D 2a， V 三棱锥 A1- ABDV 三棱锥 A- A1BD， 1312a2a1312 2a32 2ad， d33a. 点 A 到平面 A1BD 的距离为33a. 三、解答题 9解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图 设长方体的长、宽
7、、高分别为 x，y，z， 则 x2y213，y2z220，x2z225， x3，y2，z4. VD- ABE13DE SABE16V长方体， 同理，VC- ABFVD- ACGVD- BCH16V长方体， V四面体ABCDV长方体416V长方体13V长方体 而 V长方体23424，V四面体ABCD8. 10解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h，过点 O 作 OEAB，与 AB 交于点E，连接 SE，则 SEAB，SEh. S侧2S底， 12 3a h34a22. a 3h. SOOE，SO2OE2SE2. 3236 3h2h2. h2 3，a 3h6. S底34a234629 3，
8、S侧2S底18 3. S表S侧S底18 39 327 3. B 组 素养提升练 11 【答案】B 【解析】 如图所示， 由图可知， 该几何体由两个四棱锥构成， 并且这两个四棱锥体积相等 四棱锥的底面为正方形，且边长为 2，故底面积为( 2)22；四棱锥的高为 1，故四棱锥的体积为132123.则几何体的体积为 22343. 12 【答案】D 【解析】由题意，正三棱锥的底面周长为 6，所以正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形， 可知侧棱长均为 2， 三条侧棱两两垂直， 所以此三棱锥的体积为1312 2 2 223. 13 【答案】90 138 【解析】该几何体的体积 V463124339
9、0，表面积 S2(464363)3312432 3242334138. 14解：如图，连接 EB，EC四棱锥 E- ABCD 的体积 V四棱锥E- ABCD1342316. AB2EF，EFAB， SEAB2SBEF. V三棱锥F- EBCV三棱锥C- EFB12V三棱锥C- ABE12V三棱锥E- ABC1212V四棱锥E- ABCD4. 多面体的体积 VV四棱锥E- ABCDV三棱锥F- EBC16420. C 组 思维提升练 15解：设三棱锥的底面中心为 O，连接 PO(图略)，则 PO 为三棱锥的高，设 A1，B1，C1所在的底面与 PO 交于 O1点，则A1B1ABPO1PO，令 A1B1x，而 POh，则 PO1hax， 于是 OO1hPO1hhaxh1xa. 所以所求三棱柱的侧面积为 S3x h1xa3ha(ax)x3haa24xa22. 当 xa2时，S 有最大值为34ah，此时 O1为 PO 的中点