1、8.3.28.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第一课时第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 基础达标 一、选择题 1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32，则母线长为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.8 解析 圆台的轴截面如图，由题意知， l12(rR)， S圆台侧(rR) l2l l32，l4. 答案 C 2.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4 B.3 C.2 D. 解析 底面圆半径为 1，高为 1，侧面积 S2rh2112.故
2、选 C. 答案 C 3.如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，则该几何体的体积为( ) A.5 B.6 C.20 D.10 解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为 22520，故所求几何体的体积为 10. 答案 D 4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于( ) A.6 B.6 C.3 5 D.6 5 解析 圆台的母线长为 （21）222 5， S圆台侧(12) 53 5. 答案 C 5.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324R3 B.38R3 C.524R3 D.58R3 解析
3、 设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则有 2rR，则 r12R.又由已知，得圆锥母线长为 R，所以圆锥的高 h R2r232R，故体积 V13r2h324R3. 答案 A 二、填空题 6.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_. 解析 设新的底面半径为 r，则有13r2 4r2 813524228，解得 r 7. 答案 7 7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_. 解析 S圆柱2a222 a2
4、a32a2，S圆锥a22a2 a34a2， S圆柱S圆锥21. 答案 21 8.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为_. 解析 由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为 a，圆柱的底面半径为 r， 则正方体的侧面面积为 4a2， 圆柱的侧面面积为 2ra.又 4a22ra，所以 r2a，所以正方体的体积为 V正方体a3，圆柱的体积为 V圆柱r2a4a3，故V正方体V圆柱4，即这个正方体和圆柱的体积的比值为4. 答案 4 三、解答题 9.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面
5、的圆锥，求所得几何体的表面积. 解 如图所示， 所得几何体的表面积为 SS底S柱侧S锥侧 ( 3)22 3 6 33(36 23 3)(cm2). 10.已知一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在其内部有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积； (2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示. 因为rRHxH，所以 rRRHx， 所以 S圆柱侧2rx2Rx2RHx2(0 xH). (2)因为2RH0， 所以当 x2R4RHH2时，S圆柱侧最大. 故当 xH2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大. 能力提升 11.体积为 52 的圆台，一个底面积
6、是另一个底面积的 9 倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( ) A.54 B.54 C.58 D.58 解析 设上底面半径为 r，则由题意求得下底面半径为 3r，设圆台高为 h1，则5213h1(r29r23r r)， r2h112.令原圆锥的高为 h，由相似知识得r3rhh1h，h32h1， V原圆锥13(3r)2 h3r232h1921254. 答案 A 12.圆台的母线长为 8 cm， 母线与底面成 60 角， 轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积. 解 如图所示的是圆台的轴截面 ABB1A1，其中A1AB60 ，过 A1作 A1HAB于 H，则 O1OA1HA1A sin 60
7、4 3(cm)， AHA1A cos 60 4(cm). 设 O1A1r1，OAr2， 则 r2r1AH4(cm). 设 A1B 与 AB1的交点为 M， 则 A1MB1M.又A1BAB1， A1MO1B1MO145 . O1MO1A1r1.同理 OMOAr2. O1OO1MOMr1r24 3(cm)， 由可得 r12( 31)(cm)，r22( 31)(cm). S表r21r22(r1r2)l32(1 3)(cm2). 创新猜想 13.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是 10 和 20，它的侧面展开图扇环的圆心角为 180 ，则圆台的( ) A.母线长是 20 B.表面积是 1 100 C
8、.高是 10 2 D.体积是7 000 33 解析 如图所示，设圆台的上底面周长为 C，因为扇环的圆心角为 180 ， 所以 CSA，又 C102， 所以 SA20，同理 SB40， 故圆台的母线 ABSBSA20， 高 h AB2（2010）210 3，体积 V1310 3(1021020202)7 000 33，表面积 S(1020)201004001 100，故选 A，B，D. 答案 ABD 14.(多空题)把底面半径为 8 cm 的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了 2.5 周，则圆锥的母线长为_，表面积等于_. 解析 设圆锥的母线长为 l，如图，以 S 为圆心，SA 为半径的圆的面积 Sl2. 又圆锥的侧面积 S圆锥侧rl8l. 根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了 2.5 周， l22.58l，l20(cm). 圆锥的表面积 SS圆锥侧S底82082224(cm2). 答案 20 cm 224 cm2